新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱棱錐棱臺的表面積和體積素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第8章8.38.3.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若正方體的表面積為96，則正方體的體積為(B)A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96[解析]設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64.2．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是(A)A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B．eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D．eq\f(6＋\r(3),4)a2[解析]因?yàn)閭?cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，所以S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.3．已知一個(gè)正三棱臺的兩個(gè)底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為(B)A．80 B．240C．320 D．640[解析]由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底邊長分別為4和16，腰長為10的等腰梯形，則該等腰梯形的高為eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－4,2)))2)＝8.∴等腰梯形的面積為eq\f(1,2)×(4＋16)×8＝80，∴該棱臺的側(cè)面積S＝3×80＝240.故選B.4．設(shè)正棱錐的高和底面邊長都縮小為原來的eq\f(1,2)，則它的體積是原來的(B)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)[解析]底面邊長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)后，面積變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,4)，高變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，所以體積是原來的eq\f(1,8).5．棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點(diǎn)到截面與從截面究竟面)兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于(B)A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3[解析]因?yàn)槠叫杏诶忮F底面的截面將棱錐的高分成1∶2兩部分，易得兩個(gè)棱錐的側(cè)面積之比為1∶9，小錐體與臺體的側(cè)面積之比為1∶8，故選B.二、填空題6．已知一個(gè)長方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個(gè)長方體的體積為eq\r(6).[解析]設(shè)長方體從一頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的高為6，AB＝4，點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn)，則四棱錐C－A1ABD的表面積是36＋4eq\r(3)＋2eq\r(39).[解析]正三棱柱ABC－A1B1C1的高為AA1＝6，AB＝4，點(diǎn)D為棱BB1的中點(diǎn)，如圖所示：則四棱錐C－A1ABD的表面積是S＝S梯形A1ABD＋S△ABC＋S△BCD＋S△A1AC＋S△A1CD＝eq\f(1,2)×(6＋3)×4＋eq\f(\r(3),4)×42＋eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×6×4＋eq\f(1,2)×eq\r(42＋62)×2eq\r(3)×4＝36＋4eq\r(3)＋2eq\r(39).8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為_1__.[解析]如圖，S△B1DC1＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，三棱錐的高即A到面BB1C1C的距離，即AD＝eq\r(3).所以VA－B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.三、解答題9.如圖，棱錐的底面ABCD是一個(gè)矩形，AC與BD交于點(diǎn)M，VM是棱錐的高．若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求錐體的體積．[解析]∵VM是棱錐的高，∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝eq\r(VC2－VM2)＝eq\r(52－42)＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(62－42)＝2eq\r(5)(cm)．S底＝AB·BC＝4×2eq\r(5)＝8eq\r(5)(cm2)，∴V錐＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)×8eq\r(5)×4＝eq\f(32\r(5),3)(cm3)．∴棱錐的體積為eq\f(32\r(5),3)cm3.10．如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．[解析]設(shè)AB＝a，AD＝b，DD′＝c，則長方體ABCD－A′B′C′D′的體積V＝abc，又S△A′DD′＝eq\f(1,2)bc，且三棱錐C－A′DD′的高為CD＝a.∴V三棱錐C－A′DD′＝eq\f(1,3)S△A′DD′·CD＝eq\f(1,6)abc.則剩余部分的幾何體體積V剩＝abc－eq\f(1,6)abc＝eq\f(5,6)abc.故V棱錐C－A′DD′∶V剩＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)abc))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)abc))＝1∶5.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若正方體八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是(A)A.eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3)) D．eq\f(\r(3),2)[解析]如圖所示，正方體的A′，C′，D，B的四個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)正四面體，設(shè)正方體棱長為a，則正四面體棱長為eq\r(2)a.所以正方體表面積S1＝6a2，正四面體表面積為S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).2．在正六棱臺ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，A1B1＝3，AA1＝eq\r(10)，則該棱臺的體積為(D)A.eq\f(59\r(3),4) B．eq\f(59\r(3),2)C．eq\f(57\r(3),4) D．eq\f(57\r(3),2)[解析]設(shè)上、下底面的中心分別為M，N，上、下底面的面積分別為S1、S2，過A作AP⊥A1N，垂足為P，如圖所示，則AP＝MN＝eq\r(10－3－22)＝3，故該棱臺的體積V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋eq\r(S1S2))h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22×6＋\f(\r(3),4)×32×6＋\r(\f(\r(3),4)×22×6×\f(\r(3),4)×32×6)))×3＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(3)＋\f(27\r(3),2)＋9\r(3)))×3＝eq\f(57\r(3),2).故選D.3．(2024·全國Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為(C)A.eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D．eq\f(\r(5)＋1,2)[解析]如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(1＋\r(5),4)(負(fù)值舍去)．故選C.二、填空題4．某幾何體的直觀圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示，則該幾何體的表面積為20＋4eq\r(2).[解析]由直觀圖可知，該幾何體的上部為一正四棱錐，下部為一正方體，正方體的棱長為2，正四棱錐的底面為正方形，其邊長為2，正四棱錐的高為1，所以此幾何體的表面積為5×2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝20＋4eq\r(2).5．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為eq\f(7a3,24).[解析]如圖，依次連接AE，EF，F(xiàn)D1，D1A，四邊形AEFD1即為所求截面，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為棱BC、CC1的中點(diǎn)，所以EF∥D1A，可知ADD1－ECF為三棱臺，所以S△ADD1＝eq\f(1,2)×a×a＝eq\f(a2,2)，S△ECF＝eq\f(1,2)×eq\f(a,2)×eq\f(a,2)＝eq\f(a2,8)，其體積VADD1－ECF＝eq\f(1,3)(S△ADD1＋eq\r(S△ADD1·S△ECF)＋S△ECF)×CD＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)＋\r(\f(a2,2)×\f(a2,8))＋\f(a2,8)))×a＝eq\f(7a3,24)，且正方體的體積為VABCD－A1B1C1D1＝a×a×a＝a3，則另一部分的體積為V＝VABCD－A1B1C1D1－VADD1－ECF＝a3－eq\f(7a3,24)＝eq\f(17a3,24)，因?yàn)閑q\f(17a3,24)>eq\f(7a3,24)，所以體積較小的多面體的體積為eq\f(7a3,24).故答案為eq\f(7a3,24).三、解答題6．如圖，已知正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．[解析]如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h′，過點(diǎn)O作OE⊥AB，與AB交于點(diǎn)E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h′.∵S側(cè)＝2S底，∴3×eq\f(1,2)a×h′＝2×eq\f(\r(3),4)a2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S側(cè)＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S側(cè)＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).C組·探究創(chuàng)新如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在