新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第17講函數(shù)中的兩邊逼近思想和最大值中的最小值問題教師版

第17講函數(shù)中的兩邊靠近思想和最大值中的最小值問題一．選擇題（共5小題）1．（2024春?湖州期末）若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則A． B． C． D．【解答】解：記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．由題意，又因為，所以，故．另解：正實(shí)數(shù)，，，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以（1），于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時不等式取等號，又，當(dāng)且僅當(dāng)時不等式取等號，，所以且，解得，所以．故選：．2．（2024?上饒二模）已知實(shí)數(shù)，滿意，則的值為A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：不等式，化為，即，所以；設(shè)，，；則，所以時，，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以的最大值為（1）；又，所以時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以的最小值為；此時滿意，即；令，解得，所以．故選：．3．（2024?杭州期末）設(shè)函數(shù)，若對隨意的正實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：對隨意的正實(shí)數(shù)，總存在，，使得，，．令，，函數(shù)在，單調(diào)遞減，（1），（4）．①時，，則．②時，，，則．③時，，，則．④時，，則．綜上①②③④可得：．實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．4．設(shè)函數(shù)，若對隨意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減，．，．由，解得．①由，時，（b）；時，（b）．當(dāng)時，（b）．②由，（b），（b）．③由時，，（b），（b）．綜上可得：（b），．故選：．5．（2024?濟(jì)南模擬）已知函數(shù)，若對隨意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：存在，，使得成立，，對隨意的實(shí)數(shù)，，，；可看作橫坐標(biāo)相同時，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離，則問題等價于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值；如圖，記，，連接，則圖中直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點(diǎn)，，又，令，解得，切點(diǎn)，則切線的方程為，當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時，即恰好處于兩直線正中間的位置時，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離能取得最大值中的最小值，此時，此時，，．故選：．法二：記函數(shù)的最大值為，由題意可知，對隨意，恒成立，所以，依題意，，，，，分別令，0，2，可得，，，，（2），所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以．故選：．二．填空題（共15小題）6．（2024春?長沙期末）設(shè)，若時，均有，則．【解答】解：當(dāng)時，均有，（1）時，代入題中不等式，明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點(diǎn)．考查函數(shù)：令，得，，．考查函數(shù)，時均有，故的圖象經(jīng)過，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案為：．7．設(shè)，若時均有，則．【解答】解：（1）時，代入不等式，不等式明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點(diǎn)．考查函數(shù)，令，得，，因為，不等式成立；；考查函數(shù)，因為時均有，明顯此函數(shù)過點(diǎn)，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：．8．（2015秋?江陰市期中）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為3，則1或3．【解答】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到的，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的最大值只能在或處取得，若時，函數(shù)取得最大值3，則，，當(dāng)時，時，，滿意條件；當(dāng)時，時，，不滿意條件；若時，函數(shù)取得最大值3，則，，或，當(dāng)時，時，，不滿意條件；當(dāng)時，時，，滿意條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．9．（2024?南通模擬）已知，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是2，則3或．【解答】解：，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是2，可得，即，解得，即有，，由的最大值在頂點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，即，即，解得或（舍去）；（1），即，解得或；，即，解得或（舍去）．當(dāng)時，，當(dāng)時，，不符題意；當(dāng)時，，明顯當(dāng)時，取得最大值4，不符題意；當(dāng)時，，明顯當(dāng)時，取得最大值2，符合題意；當(dāng)時，，（1），，，符合題意．故答案為：3或．10．（2024?下城區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)，時，，且的最大值為2，則2．【解答】解：由已知得在，上是增函數(shù)，則（1），由，可得，解得；再由，可得，結(jié)合，，，，時，，恒成立．設(shè)，其圖象的對稱軸為，，，解得，，，故答案為：211．（2024春?西湖區(qū)校級期中）若，是實(shí)數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，，則．【解答】解：，（當(dāng)時取等號），，，此時時取等號，，（當(dāng)時取等號），，此時取等號，又，，故有且同時成立，解可得，，，此時．故答案為：12．（2024?北侖區(qū)校級期中）已知，為實(shí)數(shù)．不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則5．【解答】解：不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，可得，由，當(dāng)或4時，取得等號，即最小值為0，所以，但，所以，則，，即，，所以，故答案為：5．13．函數(shù)，，，當(dāng)時，，且的最小值為2，則．【解答】解：；在，上單調(diào)遞增；的最小值為；．故答案為：．14．（2024?浙江二模）設(shè)，若對于，，都成立，則．【解答】解：，設(shè)，，，，，則函數(shù)等價，，，若于，，都成立，即于，，都成立，即恒成立，設(shè)，要使，不等式恒成立，則函數(shù)的對稱軸，即，即，此時，則拋物線開口向上，要使恒成立，則函數(shù)，且，當(dāng)或2時，（1），即，當(dāng)時，，即，即，故答案為：．15．（2024?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)，若對隨意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：設(shè)的最大值為（a），令，，當(dāng)，時，函數(shù)單調(diào)遞減，可得，由，可得．①當(dāng)時，，（a）；②當(dāng)時，，可得（a）；③當(dāng)時，，可得（a）；綜上可得，當(dāng)時，（a），所以．故答案為：，．16．設(shè)函數(shù)，，，若對隨意的實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值是．【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)時，即時，單調(diào)遞增，此時，當(dāng)時，（b），當(dāng)時，（b），從而當(dāng)時，時，（b）取最小值，（b），當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，時，，當(dāng)時，（b），在，時，，當(dāng)時，（b），對隨意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價于恒成立，，故的最大值為，故答案為：17．（2024?諸暨市二模）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為，，為常數(shù)）且存在實(shí)數(shù)，，使得取最小值2，則2．【解答】解：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為在端點(diǎn)處或處取得．若在處取得，則，若在處取得，則，若在處取得，則．若，則頂點(diǎn)處的函數(shù)值不為2，應(yīng)為0，符合要求，若則頂點(diǎn)處的函數(shù)值的肯定值大于2，不成立．由此推斷，即有，則，可得．故答案為：2．18．（2024春?溫州期中）設(shè)函數(shù)，若對隨意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)橫坐標(biāo)相等時，縱坐標(biāo)的豎直距離，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)位于直線與直線正中間時，函數(shù)取得最大值中的最小值，直線的方程為（2），因為是對勾函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得直線的方程為（1），所以，因為對隨意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．19．（2024?包河區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)，對于隨意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：對于隨意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，設(shè)的最大值為，可得，（2），（4），即有①，②，③，②可得，④①③可得，即有，⑤④⑤可得，由，可得，可得，故答案為：．20．（2024?臺州期末）已知函數(shù)，當(dāng)，時，設(shè)的最大值為，則的最小值為．【解答】解：函數(shù)，當(dāng)，時，設(shè)的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，則的最小值為，故答案為：．三．解答題（共4小題）21．已知函數(shù)，，．若對隨意，，總有成立，求，的值．【解答】解：由題意，若對隨意，，總有成立，若對隨意，，總有成立，若對隨意，，總有成立，若對隨意，，總有成立，可得函數(shù)夾在函數(shù)和之間，經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線，解得，，此時直線，且它與相切，所以，是被和夾死的唯始終線，所以，．22．（2024?湖州模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分別記為（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）設(shè)，若對，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），①當(dāng)時，在，單調(diào)遞減，則（a），（a）（1），此時（a）（a）；②當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，則（a）（1），（a），此時（a）（a）；③當(dāng)時，，此時在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，則（a）（a），（a），（1），，此時（a）（a）；因此（a）（a），（Ⅱ）原問題等價于，由（Ⅰ）知①當(dāng)時，則，即，此時；②當(dāng)時，則，即，此時，此時；③當(dāng)時，則（a）（a），，即，此時；由得和，此時，因此．23．（2015?浙江校級模擬）設(shè)函數(shù)，，．（1）當(dāng)，時，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，記函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b），當(dāng)改變時，求（b）的最小值；（3）若對隨意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，，，由基本初等函數(shù)的單調(diào)性易知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）當(dāng)時，，令，則，由，即時，單調(diào)遞增；，即時，單調(diào)遞減可知，在區(qū)間，上，當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b），當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b）當(dāng)時，（b）取最小值，最小值為．（3）設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，此時，當(dāng)時，（b），當(dāng)時，（b），從而當(dāng)時，時（b）取最小值，（b），當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在時，，當(dāng)時，（b），在時，，當(dāng)時，（b），綜上所述，（b），對隨意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價于恒成立，．24．（2024春