廣東省吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)（本試卷22小題，滿分150分，考試用時120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中有一項是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．命題：“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．設(shè)偶函數(shù)的定義域為，當時是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．7．十六世紀中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若不相等的兩個正實數(shù)a，b滿足，且恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全對得5分，部分選對得2分，有錯得0分）9．已知集合，集合，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．10．對于任意實數(shù)a，b，c，d，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則11．下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，C．當時，D．的解集為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知函數(shù)，若，則a的值是______．14．已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．15．已知不等式的解集是，則______．16．關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是______．四、解答題（共6道小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知函數(shù)，（1）求函的定義域；（2）求，的的值．18．設(shè)全集為R，集合，．（1）分別求，；（2）已知，若，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．20．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式．21．“綠水青山就是金山銀山”，為了保護環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下進行技術(shù)改進，把二氧化碳化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該處理成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價值20萬元的某種化工產(chǎn)品．（1）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？（2）判斷該技術(shù)改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元該工廠才不會虧損？22．已知函數(shù)．（1）請在如圖所示的直角坐標系中作出時的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為；①求的表達式；②若，求的最大值．吳川市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中有一項是符合題目要求的．）1．【分析】根據(jù)并集的定義即可求解．【解答】解：∵，，則，故選：D【點評】本題考查全稱命題的否定定義，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)全稱命題的否定定義可解．【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定定義得，，的否定為：，，故選：D．3．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由得或，即“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：，，，函數(shù)是減函數(shù)，，，．又函數(shù)是上的增函數(shù)，，，即，綜上可得，，故選：B．【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義及冪函數(shù)性質(zhì)分別檢驗各選項．【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，A正確，B錯誤，為非奇非偶函數(shù)，C錯誤；為非奇非偶函數(shù)，不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，進行判斷即可．【解答】解：是偶函數(shù)且當時是增函數(shù)，，即，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．【分析】利用“乘1法”，可得，從而得解．【解答】解：，當且僅當，即時，等號成立，因為，所以，又恒成立，所以．故選：A．【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握基本不等式中的“乘1法”是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】既然在上是減函數(shù)，根據(jù)時解析式為，其過定點，且時是減函數(shù)，所以對稱軸，又時，，是減函數(shù)，所以，解答即可．【解答】解：由題意，在上是減函數(shù)，時，其過定點，且時是減函數(shù)，對稱軸，①又時，，是減函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)，，②又①②得．故選：A．【點評】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，考查學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解，屬于中檔題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全對得5分，部分選對得2分，有錯得0分）9．【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系可解．【解答】解：因為集合，集合，，根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系可得，，，，，故選：ACD．【點評】本題考查元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】可代入特例判斷選項錯，可由性質(zhì)定理判斷AB對．【解答】解：若，則，A對，由不等式同向可加性，若，，則，B對，當令，，，，則，C錯，令，，則，D錯．故選：AB．【點評】本題考查對不等式的判斷，可代入特例判斷選項錯，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】根據(jù)選項逐一求函數(shù)的最小值即可．【解答】解：A．因為，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知值域為；B．，故值域為；C．，，，故值域為；D．，當，即時取等號，故值域為；故選：BCD．【點評】本題考查了求函數(shù)的值域，也考查了雙勾函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】由奇函數(shù)在處有定義，可得，可判斷A；由的函數(shù)的解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得時的函數(shù)解析式，可判斷C；判斷時的的單調(diào)性，可得時的的單調(diào)性，不等式等價為且，且，結(jié)合，解不等式可判斷D；由的圖象與的圖象特點，結(jié)合單調(diào)性可判斷B．【解答】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，故A錯誤；當時，，設(shè)，則，，又，所以時，，故C正確；由時，，可得，又和在遞增，可得在遞增，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得在遞增，且，所以等價為或，解得或，故D錯誤；由的圖象可看作的圖象位于軸上方的圖象不變，將軸下方的圖象翻折到軸上方得到，所以的遞增區(qū)間為，，故B正確．故選：BC．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，以及函數(shù)的圖象的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．【分析】利用分類討論，分和兩種情況，分別表示出，求解即可．【解答】解：函數(shù)，當時，，解得，當時，，解得．綜上所述，a的值是或4．【點評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，由圖象過確定出解析式，然后令即可得到的值．【解答】解：設(shè)，因為冪函數(shù)圖象過，則有，，即，．故答案為：．【點評】考查學(xué)生會利用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式．會根據(jù)自變量的值求冪函數(shù)的函數(shù)值．15．【分析】根據(jù)已知可得，為方程的兩個根，根據(jù)韋達定理求出a，b，然后根據(jù)一元二次不等式求出結(jié)果．【解答】解：不等式的解集是，，2是方程的兩個根，且，由韋達定理得，解得，，．【點評】本題考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．16．【分析】討論，，，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和判別式的符號，解不等式可得所求范圍．【解答】解：由題意，當時，恒成立；當時，設(shè)，若時，的圖象為開口向上的拋物線，不恒成立；若時，要使不等式恒成立，只需，即，解得，綜上可得，．故答案為：．【點評】本題考查不等式恒成立問題解法，考查分類討論思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題（共6道小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．【分析】（1）利用根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求法求函數(shù)的定義域．（2）利用函數(shù)關(guān)系式直接代入求值．【解答】解：（1）要使函數(shù)的有意義，則，即，所以且．所以函數(shù)的定義域為（2），．【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，要求熟練掌握常見函數(shù)的定義域的求法．18．【分析】（1）根據(jù)交集的定義求出，求出B的補集，從而求出其和A的并集即可；（2）得到，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，，，解得：．【點評】本題考查了交集、并集、補集的運算，是一道基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可知，再結(jié)合冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求出的值．（2）等價于函數(shù)在上的最小值大于0即可，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）是冪函數(shù)，則，或，又在上單調(diào)遞增，則，所以．（2）即，要使此不等式在上恒成立，只需使函數(shù)在上的最小值大于0即可，在上單調(diào)遞減，，由，得，因此滿足條件的實數(shù)k的取值范圍是．【點評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，考查了不等式恒成立問題，同時考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．20．【分析】（1）根據(jù)，，待定系數(shù)即可求得函數(shù)解析式；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)解析式，即可判斷和證明；（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，是上的奇函數(shù)，故；又，故，則；（2）在單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，則，因為，故可得，即，又，則，結(jié)合，可得：，即，故在單調(diào)遞增；（3）等價于，又在是單調(diào)增函數(shù)，故可得，解得，即不等式的解集為：．【點評】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．（2）當時，該工廠獲利S，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由題意可得，二氧化碳的平均處理成本，，當時，，當且僅當，即等號成立，故取得最小值為，故當處理量為40噸時，每噸的平均處理成本最少．（2）當時，該工廠獲利S，則，當時，，故該工廠不會獲利，國家至少需要補貼700萬元，該工廠不會虧損．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握基本不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】（1）代入a的值，函數(shù)解析式即可求出，進而可以作出函數(shù)圖象，