量子力學習題答案

-..word.zl.量子力學習題答案1.2在0k附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解：由德布羅意波粒二象性的關(guān)系知：；由于所考慮的電子是非相對論的電子〔〕，故：1.3氦原子的動能是E=1.5kT，求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。解：對于氦原子而言，當時，其能量為于是有一維諧振子處于狀態(tài)中，其中為實常數(shù)，求：1.歸一化系數(shù)；2.動能平均值?！病辰猓?.由歸一化條件可知：取相因子為零，那么歸一化系數(shù)2.假設(shè)，那么該態(tài)為諧振子的基態(tài)，解法二：對于求力學量在某一體系能量本征態(tài)下的平均值問題，用F-H定理是非常方便的。一維諧振子的哈密頓量為：它的基態(tài)能量選擇為參量，那么:；由F-H定理知：可得：2.2由以下定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點)傳播的球面波。解： 在球坐標中同向。表示向外傳播的球面波。可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點)傳播的球面波。2.3一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程在各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)榱睿闷浣鉃棰芨鶕?jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得⑤⑥⑤⑥∴由歸一化條件得由可見E是量子化的。對應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。解：令，得由的表達式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。可見是所求幾率最大的位置。3.2.氫原子處在基態(tài)，求：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)最可幾半徑；(4)動能的平均值；(5)動量的幾率分布函數(shù)。解：(1) (3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為令當為幾率最小位置∴是最可幾半徑。(4)(5)動量幾率分布函數(shù)3.5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動量，求與此對應(yīng)的量子體系在以下情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，那么有哈米頓算符其本征方程為(無關(guān)，屬定態(tài)問題)令，那么取其解為(可正可負可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有即∴m=0，±1，±2，…轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為(m=0，±1，±2，…)可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件∴轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。(2)取固定點為坐標原點，那么轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為(式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值)令，那么有此即為角動量的本征方程，其本征值為其波函數(shù)為球諧函數(shù)∴轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為可見，能量是分立的，且是重簡并的。3.6設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為求此時粒子的平均動量和平均動能。解：可見，動量的可能值為動能的可能值為對應(yīng)的幾率應(yīng)為上述A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得∴∴動量的平均值為3.7一維運動粒子的狀態(tài)是其中，求：(1)粒子動量的幾率分布函數(shù)；(2)粒子的平均動量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由∴動量幾率分布函數(shù)為(2)或：被積函數(shù)是個奇函數(shù)3.8.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：一維無限深勢阱的的本征函數(shù)和本征值為粒子的幾率分布函數(shù)為先把歸一化，由歸一化條件，∴∴∴3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值。解：在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值角動量平方也有確定值角動量Z分量的可能值為；其相應(yīng)的幾率分別為，其平均值為3.11.求第3.6題中粒子位置和動量的測不準關(guān)系解：4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。解：4.3求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定諤方程為即兩邊乘以，得令跟課本P.39(2.7-4)式比擬可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為式中為歸一化因子，即4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解：4.5設(shè)在的共同表象中，算符的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。最后將矩陣對角化。解：的久期方程為∴的本征值為的本征方程其中設(shè)為的本征函數(shù)在共同表象中的矩陣當時，有∴由歸一化條件取對應(yīng)于的本征值0。當時，有∴由歸一化條件取∴歸一化的對應(yīng)于的本征值當時，有∴由歸一化條件取∴歸一化的對應(yīng)于的本征值由以上結(jié)果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為∴對角化的矩陣為按照與上同樣的方法可得的本征值為的歸一化的本征函數(shù)為從的共同表象變到表象的變換矩陣為利用S可使對角化5.2轉(zhuǎn)動慣量為I、電偶極矩為的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場在中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。解：取的正方向為Z軸正方向建立坐標系，那么轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為取，那么由于電場較小，又把視為微擾，用微擾法求得此問題。的本征值為本征函數(shù)為的基態(tài)能量為，為非簡并情況。根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知5.3設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。解：由微擾公式得得∴能量至二級修正值為課堂上講過的一些例題：例：證明在LZ本征態(tài)Ylm下，<Lx>=<Ly>=0證明：方法1同理得：方法二：同理得：例：空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：〔1〕Ψ是否是L2的本征態(tài)？〔2〕Ψ是否是Lz的本征態(tài)？〔3〕求L2的平均值；〔4〕在