高中數(shù)學(xué)14 三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)突破）解析版

專題14三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用

一、知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖

二、學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理

1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2^+cos2^=l,tan6=與應(yīng)，

COS。

2正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

3和角與差角公式

sin(?±p)-sinacos(3±cosasinB;cos(cr±/?)=cosacos/3^-smasin/?;

/c、tana±tan￡.,、2.,-?

tanta±p)=--------------—?(zsina±cosa)=1±2sinacosa

1+taneztanp

asina+Z?cosa=y/a2+b2sin(a+(p)(0由點(diǎn)(。力)的象限決定，tan^9=-).

a

3二倍角公式及降塞公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a-cos2or—sin26Z=2COS2a—\=l-2sin2a

-2tana

tan2a=-------；-.

1-tana

.21-cos2a21+cos2a

sina-------------,cosa=------------

22

4三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（ox+e）,（A,3,0為常數(shù)，且A#=0）的周期T=^；~~-；

TTTT

函數(shù)丁=1211（②工+0），xw%r+—,ZeZ（A,3,0為常數(shù)，且A#=0）的周期T=—

2Ico

三角函數(shù)的圖像：

三'重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)題型突破1和差公式的化簡及求值

例1.(1)(2019?山東高一期末)cosl00c'os20-cos80°si〃20°=()

11

A0R百r

222n2

【答案】A

【解析】

由誘導(dǎo)公式cosl0°c?s20-cos80°si〃20°=cosl00cos20’一sin10°s，〃20°

cos\0°cos2(T-sin10°5m20°=cos(l0°+20°)=cos30°=彳，所以選擇A

(2).(2018?廣東高一期末)sin49°sin190+cos19°sin41°=()

1173

A.-B.一一C.—D.

222T

【答案】C

【解析】

=sin(19°+41°)^^

sin49°sinl9o+cosl9°sin41o=cos41osinl9o+cosl9°sin41o

故選：c.

【變式訓(xùn)練1-11(1).(2019?蘭州市第五中學(xué)高一期末)sin15°=()

A.B,C.也+2

444。?亨

【答案】B

【解析】

sin(60°-45°)=sin60°cos45°-sin45°cos60°=---------

故選：B

(2).已知tan(o+6)=],tan]〃一?J=；,那么tan(a+?)=()

【答案】C

【解析】

因?yàn)閍+7=(a+Z?)_(￡_?J,所以

tan((z+/?)-tan^--J

]+tan(a+/7)tan('-f)22

故選:C

例2.（2020屆甘肅省高三第一次高考診斷）已知tana=3,則sin（2a+'）=（）

4334

A.——B.--C.一D.

555

【答案】A

cos2cz-sin2a1-tan2a4

【解析】sin2a+—=cos2a=cos2a-sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5

故選Ao

【變式訓(xùn)練2-1】、（2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三第三次適應(yīng)性考試）已知

a￡(0,—G(一萬,0),)

A,昱B.

3

【答案】C

［解析］因?yàn)閍w(0,g),,e(-g,0),所以a+gwjg,斗］,j-又

224\44；42<42j

,乃、1八”…兀(兀兀、

cos(aH—)=—>0,所以a+,

434U2)

c°s(a+EA?71.兀(3

4

=cosa+勺cos兀B兀B

+sin?+—sin

I44-7I4jW—5

=L立+迪*=述，故選c。

33339

重難點(diǎn)題型突破2二倍角公式與半角公式的順用與逆用

例3.（2020?河南省安陽市高三一模（理）已知cos（2019萬+二）=一孝，則si畤-2a）=（）

7557

C-a-

A.9-B.9-9-9-

【答案】C

Fy[^2

【解析】由cos(2019;r+a)=——1可得cos(;r+a)=———，cosa--y

sin(---2a)=cos2a=2cos2cr-1=2x——1二一二。

299

【變式訓(xùn)練3-1】、（2020?安徽省淮北市高三一模（理）已知銳角a滿足sin[a+]）=#,則tan2a=

（）

A.-72B.—2夜C.25/2D.V2

【答案】B

【解析】sinfa+-V—^cosa=—,因?yàn)閍是銳角，所以有

I2）33

./:2—v6sinarr2tana、后

sina=71—cosa-——=>tana=----=v2=>tan2a=------；-=-2,2。

3cosa1-tan^a

【變式訓(xùn)練3-2】、（2020,廣西師大附屬外國語學(xué)校高三一模（理））已知Q終邊與單位圓的交點(diǎn)

產(chǎn)且sina?tana<0,則Jl-sin2a+j2+2cos2a的值等于()

11c

A.-B.--C.3D.—3

55

【答案】C

34

【解析】。為第二象限角，且si〃a=—,cosa=一一,原式二

\sina-cosa\+2msa|=siiwc-3cosa-3。

重難點(diǎn)題型突破3輔助角公式的應(yīng)用

例4.（2020屆湖北省高三模擬）函數(shù)/（X）=6COS（2X-］）+COS（乃+2x）的單調(diào)增區(qū)間為（）

A.------卜km—Fk/r,keZB.------卜km—卜k/r,kJZ

63_36

萬757r7ip

C.-------Fk/Cy------Fkjr9kRZD.-------FK,7ly------FK7TfkeZ

12121212

【答案】A

【解析】函數(shù)/（%）=百4'osI2元——)+a、os(乃+2x)

r-TC

—\/3cos(---2x)-cos2x

2

=6sin2x-cos2x

兀

=2sin(2x一一),

6

A7t7t71

令-----F2k7C<2x---<—I-2k兀,kez；

262

,7C7C

斛得----l-k7C<x<--Fk7t,k￡Z；

63

jrJI

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[---+kn,—+kn],keZ.

63

故選Ao

【變式訓(xùn)練4-1】、（2020?福建省廈門市高三質(zhì)檢（理）已知函數(shù)/（x）=sinx（cosx—sin尤）+g.

（1）求/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

7i57r

【答案】（1）%乃H—,k7tH---,kwZ.

88

【解析】

(1)/(x)=gsin2x-g(l-cos2x)+；=(sin2x+cos2x)=2^sin(2x+?)，

yrTTSirjr3兀

由2&兀+—W2x+—<2&兀+——,kEZ,得女兀+—W&兀+一,

24288

jr57r

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為k7T+-,k7T+^-,keZ；

8o

【變式訓(xùn)練4-2】、已知函數(shù)/（x）=且〃0)=7，

（1）求〃x）的解析式;

（2）已知g（x）=f-2x+m-3,若對任意的玉e[0,;r],總存在占-2,回，使得/（玉）=8（々）成

立，求”的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2sin[j；(2)[-1,3]

【解析】⑴因?yàn)椤?）=-1，

解得。=1,b=—.

2

使+立sinx+6sinx-cosx=

122J

萬jr5萬('JT\1

(2)因?yàn)閄W[O,;T],所以x—qe——,所以sin[x-qje—y,l,則/(x)€[—1,2].

g(x)的圖象的對稱軸是x=l.

①當(dāng)—2(加<1時(shí)，g(x)min=g(m)=7/一加—3,g(x),0ax=g(—2)=加+5,

-2<m<\

則，加2一加一34一1,解得一i4m<i,符合題意；

771+5>2

②當(dāng)14屋4時(shí)，gGL=g(l)=m-4,gGL=g(-2)=m+5,

1<m<4

則—4<一1,解得14加工3,符合題意；

771+5>2

771-4

③當(dāng)機(jī)>4時(shí)，=.?(1)=-g(x)1mx=g(m)=m2一相一3，

>4

則〈機(jī)一44一1,不等式組無解，綜上，加的取值范圍是［-1,3］。

nr-m-3>2

重難點(diǎn)題型突破4五點(diǎn)法作圖

例5.(2020屆四川省成都市高三第二次診斷)已知函數(shù)〃x)=sin(2x+')則函數(shù)"X)的圖象的對稱

軸方程為()

%￡fZ乃Z

萬

X--4K€B-萬+-G

AC.4

11￡

/%ZD攵Z

X-肛E+G

2--2-4

【答案】C

【解析】由己知，/(x)=cos2x,^-2x=k7r,k&Z,得x=；4肛AeZ.,故選C。

【變式訓(xùn)練5-1】、(2020屆安徽省合肥市高三第二次質(zhì)檢)函數(shù)

/(x)=Asin(6yx+o)|4＞0,口〉0,0＜。＜5)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()

TT

A.函數(shù)/(好的圖象可由y=Asinox的圖象向左平移w個(gè)單位得到

6

7T

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=§對稱

n7i

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間一上是單調(diào)遞增的

D.函數(shù)/*)圖象的對稱中心為1三一五,0(ZeZ)

【答案】D

【解析】由圖象可知A=2,f(0)=1,

71

Vf(0)=2sin(p=l,且0V9〈耳,

兀

：.(p=一,

6

71

f(x)=2sin(coxd—),

6

Vf(―)=0且為單調(diào)遞減時(shí)的零點(diǎn),

57171?

(O'---1—=兀+2k/v,k￡Z,

126

24&

/.69=2H----,keZ,

5

由圖象知T=—>2x1j,

G)12

/12

/.co<—,

5

又???(0>0,

Aco=2,

71

Af(x)=2sin(2xH—),

?.?函數(shù)f(x)的圖象可由y=Asiniox的圖象向左平移2TT個(gè)單位得,

.'A錯(cuò)，

jrjrjrtCTT

令2x+—=—+4萬，keZ,時(shí)稱軸為*=一+——，則B錯(cuò)，

6262

71

令2x+7e，則xe則C錯(cuò),

4k兀兀

令2xH—=k;t,k￡Z,則x=------，則D對,

6212

故選Do

例6.(2019?石嘴山市第三中學(xué)高一月考)已知函數(shù)＞=3位“2工一5

717乃

(1)用五點(diǎn)作圖在下面坐標(biāo)系中做出上述函數(shù)在的圖象.(請先列表，再描點(diǎn)，圖中每個(gè)小矩

OO

7t

形的寬度為；

12

(2)請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y=sinx怎樣變換而來？

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)由題意，因?yàn)椤?—],所以2x—；w[0,2用，

663

列表如下:

兀542411萬7%

X

672T~6

c兀兀37c

2x----0n2n

37T

y=3sin(2x-^)030-30

描點(diǎn)、連線，得出所要求作的圖象如下:

■rr兀

(2)把丫=5皿》的圖象向右平移1個(gè)單位，可得y=sin(x-gO的圖象；

1JI

再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=sin(2x-§)的圖象;

TT

再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=3sin(2x-1)的圖象;

【變式訓(xùn)練6-1】、(2018?全國高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)f(x)=J5sin(2x+彳)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在所給坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖象(只作圖不寫過程).

JI

【答案】(1)兀.，k/c+—,k7i+,kwZ(2)見解析

oo

【解析】(1)T=：=7L

令2kju+坐2x+42k;r+涂，k￡Z,

715

貝ij2k7r+-r<2x<2k7c4--7i,kEZ,

44

TI5

得k;r+市x0k兀+葭，keZ,

J函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+/kJT+|Tr]kez.

⑵列表：

TI35

271

2x+-4j71271r

3n5n7n9n

XTT"a"T

f(x)=-\/2sin^2x+^

00

描點(diǎn)連線得圖象如圖:

重難點(diǎn)題型突破5三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例7.（2020?全國高一課時(shí)練習(xí)）電流強(qiáng)度/（A）隨時(shí)間f（s）變化的關(guān)系式是/=5sin（100m+。］,則當(dāng)

，=」一$時(shí)，電流強(qiáng)度/為（）

200

A.5AB.2.5AC.2AD.-5A

【答案】B

【解析】

當(dāng)才=—時(shí),J.I八八I乃](乃])u)1-2.5(A).

LI=5csin10()4x-----F—=5sin——I——=5cos—=

200(2003)1^23)3

故選：B.

【變式訓(xùn)練7-1】、（2020?浙江高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)y=/?）是某港口水的深度）（米）關(guān)于時(shí)間f（時(shí)）的

函數(shù)，其中既I24.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間f與水深丁的關(guān)系：

〃時(shí)03691215182124

y/米1215.112.19.111.914.911.98.912.1

經(jīng)長期觀察，函數(shù)y=/C）的圖像可以近似地看成函數(shù)y=Z+Asin（&+0）的圖像.下面的函數(shù)中，最

能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()

7t

A.y=12+3sin—t/w[0,24]

6

B.y=12+3sin工，+乃]/￡[0,24]

(6)

兀

C.y=12+3sin—t,ZG[0,24]

D.y=12+3sin[^7+9j￡[0,24]

【答案】A

【解析】

在給定的四個(gè)選項(xiàng)中，我們不妨代入1=0及，=3,容易看出最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是

選項(xiàng)A,故選A.

四、課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）

1.（2020屆四川省瀘州市高三二診）已知tana=L,則cos2a的值為（）

2

1343

A.一B.--C.-D.-

5555

【答案】D

,,2,1-1

_cos-cr-sin-a1-tanaA3lf,

【解析】COS2a=--------=-=-----=―豐=1,故選D。

cos-a+sina1+taira+￡5

4

sina

2.（2020屆江西省九江市高三第二次模擬）已知1-----=2,則tan。=（）

1+cosa

434

A.一B.--C.-D.2

343

【答案】A

入.aa?a

2sin—cos——2tan—

sma，？a八oA4

【解析】；,=zz=tan=2,.?.tana-------故選A。

1+cosa2cos2l-tan2^3

22

3.（2020屆河南省洛陽市高三第二次統(tǒng)考）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，終

邊上有一點(diǎn)尸（一3,4）,貝！Jsin2c=（）.

1224168

A.——B.---C.—D.—

252555

【答案】B

43

【解析】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn)「（一3,4）,所以sina=g,cosa=一一,

4

/.sin2a=2sinacosa=2x—x故選B。

5

4.（2020屆河南省駐馬店市高三第二次模擬）已知函數(shù)"x）=2sin（5+0）+》（6y>O）,

/（工+x）=/（二—x）,且生）=5,則b=（）

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

【答案】B

【解析】函數(shù)/（x）=2sin?x+0）+b?>O）,

若/（g+x）=/（g—x）,則/（x）的圖象關(guān)于x=￡對稱，

888

77

又于（一）=5,所以2+匕=5或-2+6=5,

8

所以人的值是7或3,故選B。

5.（2020屆黑龍江省齊齊哈爾高三二模）已知a為銳角，且Jjsin2a=2sina，則cos2a等于

（）

22cl4

A.-B.-C.—D.--

3939

【答案】C

【解析】因?yàn)?gsinacosa=2sina，

sinaw0,所以cosaT

21

所以cos2。=2cos~7a-l=——1=——,故選C。

33

6.（2020?浙江高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)

y=Asm（cox+（p）+Z?（A>0,69>0）,則8時(shí)的溫度大約為C（精確到19）.

O68101214二時(shí))

【答案】13

【解析】

由圖像可得Z?=20,A=10,，T=14—6=8,

2

T=16=——■co=—~,y-lOsin—x+*]+20.

s818)

?.?最低點(diǎn)坐標(biāo)為(6,10),

10sinf^x6+^j+20=10,得sin[今+Q]=-1

333

于是2—-\r(p--7i+2kn{kGZ),：.(p=—兀+兀(keZ),取°二—乃，

4244

...y=10sin[/x+：;r)+20.

當(dāng)％=8時(shí)，y-lOsin(乃+(萬］+20=20-5>/2?13.

故答案為：13

7.(2020?上海靜安?高一期末)如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)

y=3sin—x+(p+4.

16)

(1)求人的值；

(2)求這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值.

【答案】(1)%=5：(2)這段時(shí)間水深的最大值是8m.

【解析】

(1)圖知：為加=2，因?yàn)榘讼?一3+%，

所以一3+攵=2,解得：k=5.

⑵Nmax=3+后=3+5=8.

所以，這段時(shí)間水深的最大值是8”.

8、(2019?江門市第二中學(xué)期中)已知函數(shù)/(尤)=J5sin(2x-7).

(1)求函數(shù)/(x)的最小值和最大值及相應(yīng)自變量x的集合；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)畫出函數(shù)y=/(x)區(qū)間［0,句內(nèi)的圖象.

34

【答案】(1)最大值為0,取得最大值時(shí)相應(yīng)X的集合為＜工％=二-+左巴ZeZ＞；

O

最小值為一夜，取得最小值時(shí)相應(yīng)X的集合為＜xx=—*+k乃,kez｝；

JIJ乃

(2),keZ,、(3)圖象見解析.

o8

【解析】

jrjr^TT

(1)/(x)的最大值為血，當(dāng)2x—j=1+2br,即x=w+br時(shí)，等號成立,

37r

，/(x)取得最大值時(shí)相應(yīng)X的集合為｛xx=-^-+k%,ZeZ-

O

/(X)的最小值為一及，當(dāng)2%—?=-5+2版■,即x=-2+版■時(shí)?，等號成立，

,八X)取得最大值時(shí)相應(yīng)X的集合為，xx=-^+k7T,keZ^

TTTTTTTT377

(2)由+215<2x---<—+2%乃求得+k7r<x<——+k兀,

24288

437r

...)(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是一7+攵乃，P+攵乃，kwZ

OO

(3)列表：

c冗7171347萬

2x----0兀

4"7~2~2T

兀3萬517%

X071

TTT

/W-100-V2-1

“X)圖像如圖所示:

9.(2020?鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末)己知tan(a-0=,，tan且a,￡e(O,/r),求2a一-的值

27

3萬

【答案】-二

【解析】

tanP~~~>tan(a_/?)=g,

11

]_

r,、itan(a-￡)+tan￡?7

tana=tan」(a—6)+4]=---——