廣西柳州市2021屆高考數(shù)學三模試卷(文科)(含答案解析)

廣西柳州市2021屆高考數(shù)學三模試卷（文科）

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.若集合4={x\x2<l,xGR},B—[y\y=x2,xG/?},則4nB=()

A.{x|-1<%<1}B.{x|0<x<1}

C.{x\x>0]D.0

2,若函數(shù)/(%)=k2%-2—是奇函數(shù)，則9。)=1。82(%-/0的大致圖象是()

A.[-1?]B.抑1]C.僧閭D.[-1J]

4,優(yōu)章算術(shù)》是我國古代數(shù)學著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五

尺，問：積及米幾何？”其意思為：在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高

為5尺，問米堆的體積及堆放的米各為多少？已知米堆所形成的幾何體的三視圖如圖所示，一

斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有

正莊波圖側(cè)底版圖

俯視圖

A.21斛B.34斛C.55斛D.63斛

5.在下列說法中，正確的是（）

A.在循環(huán)結(jié)構(gòu)中，直到型先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體，當型先執(zhí)行循環(huán)體，后判斷條件

B.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件

C.從含有2008個個體的總體中抽取一個容量為100的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法應先剔除8

人，則每個個體被抽到的概率均為表

D.如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加上同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，方差不

變化

6.已知三棱錐￡＞一ABC的外接球的球心。恰好是線段AB的中點，旦4?=BC=BD=AD=

y[2CD=2,則三棱錐D-4BC的體積為（）

A.漁B.正C.五D.1

3333

7.已知點P為直線y=x+1上一動點，點4（2,0）,當|P4|+|P0|取

得最小值時（。為坐標原點），直線OP的斜率為（）

A.-3B.—2C.2D.3

8.2011年12月，吳某的工資納稅額是245元，若不考慮其它因素，則吳某該月工資收入為（）

級數(shù)全月應納稅所得額稅率（％）

1不超過1500元3

21500元—4500元10

注：本表所稱全月應納稅所得額是以每月收入額減去3500元（起征點）后的余額.

A.7000元B.7500元C.6600元D.5950元

9.已知0為原點，雙曲線,-y2=1上有一點P,過P作兩條漸近線的平行線，交點分別為A,B,

平行四邊形OBPA的面積為1,則雙曲線的離心率為()

A.V2B.V3C.更D.這

23

10.一頭豬服用某藥品后被治愈的概率是90%,則服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為

()

A.0.93B.C1X0.93X0.12

C.1-(1-0.9)3D.C|x0.13x0.92

4a2

X+有-4a，°<%Wa是(0,+8)上的減函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是()

｛x—xlnx,x>a

A.[l,e2]B.[e,e2]C.[e,+oo)D.[e2,+oo)

12.函數(shù)，(%)=4cos(wx+0)(4>0,W>0)的部分圖象如圖所示，則尸

“1)+/(2)+…+f(2017)值為(),—

A.0

B.2-V2

C.1

D.V2

二、單空題(本大題共3小題，共15.0分)

13.若為共為復數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,(x+y)2-3xyi=4-6i,則|%|+|y|=,.

14.化簡2/og25+lg51g2+lg22一02的結(jié)果為.

15.在等差數(shù)列｛an｝中，&=1,a3+a5=3,若%,a7,a?成等比數(shù)列，則〃=.

三、解答題(本大題共7小題，共80.0分)

16.根據(jù)下列條件解三角形：

⑴b=40,c=20,C=25°：

(2)b=13,a=26,B=30°；

(3)4=45°,C=30°,c=10.

17.在如圖所示的多面體ABCQE中,ZBJL平面AC￡>,DE_L平面AC￡>,且AC=4。=CD=DE=2,

AB=1.

(1)請在線段CE上找到點尸的位置，使得恰有直線BF〃平面AC￡>,并證明這一事實;

(2)求多面體ABCDE的體積；

(3)求直線EC與平面ABED所成角的正弦值.

18.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/+2ax+b2=o,其中小人是某范圍內(nèi)的隨機數(shù)，分別在下列條件

下，求上述方程有實根的概率.

(1)若隨機數(shù)a,be［1,2,3,4,5,6｝；

(2)若a是從區(qū)間［0,5］中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間［2,4］中任取的一個數(shù).

19.已知拋物線E：y2=4x,點F(a,0),直線/：x=-a(a>0).

(I)P為直線/上的點，R是線段尸產(chǎn)與y軸的交點，且點。滿足RQ_LFP,「(?_11.當。=1時，試問

點Q是否在拋物線E上，并說明理由；

(口)過點尸的直線交拋物線E于A,8兩點，直線OA,08分別與直線/交于M,N兩點(。為坐標原

點)，求證：以MN為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標.

20.已知函數(shù)/(x)=;同.

(I)判斷了(X)的奇偶性，并證明；

(口)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域：

(HI)若函數(shù)雙刈=0)-2&-1有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

21.已知點M是曲線G：4/_y_4=0上任意一點，以坐標原點為極點，龍軸的正半軸為極軸建

立極坐標系曲線C2的極坐標方程為p=2,菱形ABC。的頂點都在曲線C2上，且48,C,Q按

逆時針次序排列，點A的極坐標為(2,g).

O

(1)求曲線的直角坐標方程，并寫出力，B,C,。的直角坐標；

(2)求+|“c|2-J|M8|2+|MD|2的最小值

22.已知函數(shù)/1(究)=|2%—3|—3+1|.

(I)求不等式/(x)<6的解集；

(口)集合屈滿足：當且僅當xeM時，/(x)=|3x-2|.若a,beM,求證：a2+b2+2a-2b<5.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解：由A中的不等式/<1,得一14%工1,即/={x\-

--------------------?------

1<X<1}:-2-1012

由集合8中的函數(shù)y=/2o,得到B={y|y20},

則4nB={x|0WxWl}.

故選：B.

求出集合A中不等式的解集，確定出4求出集合8中函數(shù)的值域確定出8,找出A與B的交集即

可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：B

解析：解：由y=/(%)在R上為奇函數(shù)，則/(0)=0,

所以卜2°-2°=0,

所以k=1,

則g(x)=iog2(x-1),

此函數(shù)為過點(2,0)且將h(x)=10g2%向右平移一個單位可得，

故選：B.

由y=/(x)在R上為奇函數(shù)，則f(0)=0,可得k=1,函數(shù)g(x)=log2(x-1)的圖象是將九(x)=

log2%的圖象向右平移一個單位可得，故得解.

本題考查了函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬簡單題

3.答案：C

解析：試題分析：謨;標'=-常事岸，令駕=-緊叫朋，則》為直線肥:智=一圖《■般在承軸上的截距，

作出不等式組

所表示的平面區(qū)域如下圖所示，作直線副:*=-匐普岸，當直線它經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點

小

微51?，此時，直線81在裁軸上的截距最小，此時又取最小值，即詈2=：!；當直線事經(jīng)過平

面區(qū)域內(nèi)的點蹣卿厘?,此時直線篦在岸軸上的截距最大，此時又取最大值，即看必Y樣署=獸,

故南’.謝’的取值范圍是佃閭，

考點：1.線性規(guī)劃；2.平面向量的數(shù)量積

4.答案：A

解析：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則三廠=8,

解得r=

it

故米堆的體積為:X；X7TX（竺）2義5=愛，

43萬，37r

???1斛米的體積約為1.62立方，

?.?-3-2-0--.-1.6s2~21,

37r

故選：A.

根據(jù)圓錐的體積公式計算出對應的體積即可.

本題主要考查錐體的體積的計算，比較基礎(chǔ).

5.答案：D

解析：解：對于A：直到型，先循環(huán)后判斷；當型，先判斷后循環(huán)，所以A錯誤

對于B：根據(jù)定義知，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是對立事件，所以8錯誤

對于C：抽樣時，每一個個體被抽到的可能性都是相等的，都等于粽含，所以C錯誤

總體谷里

對于Q：由平均數(shù)和方差的定義和計算公式知，。正確

故選。

在熟練掌握定義的基礎(chǔ)上，可依次判斷，即可得解

本題考察知識點比較廣，主要是考察定義和一些基本運算，要求注重平時的知識積累.屬簡單題

6.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

推導出OD=OA=OC=0B=CD=V2,AB平面CDO,過。作。E1OC,交OC于E,則。E，平

面ABC,求出DE=JoD2-(y)2=y,由此能求出三棱錐。一ABC的體積.

解：???三棱錐D-ABC的外接球的球心。恰好是線段AB的中點，

且AC=BC=BD=AD=V2CD=2,

0D=0A=OC=OB=CD=V2>

OD1AB,OCLAB,

vODOOC=0,AAB1平面CDO,

過。作DEIOC,交OC于E,貝必B_LDE,

易證。E_L平面ABC,

S&ABC—xOC=x2\/2xV2=2,

DE=OD2-

???三棱錐。-ABC的體積U=ixS“BCxDE=!x2x當譽

故選:

7.答案：A

A7/\\C

\J>E7解析：

°\/本題考查了直線的斜率，當|P川+伊。|取得最小值時，尸應是點。關(guān)于直線y=

Bx+1對稱點與A連線和已知直線的交點，求出p的坐標即可求出答案，屬于中檔

題.

解：當|P川+|P0|取得最小值時，

P應是點。關(guān)于直線y=%+1對稱點與A連線和已知直線的交點，

O關(guān)于直線y=x+1對稱點為直線AB的方程為x+3y-2=0

產(chǎn)+3y-2=°

m[y=x+l'

解得x=-\,y-

44

13

4；4.

?*,k0p=-3,

故選A.

8.答案：A

解析：解：設(shè)吳某該月工資收入為x元.1500x3%=45元.

(X-3500-1500)X10%=245-45,得x=7000元.

故選A.

個人所得稅的稅率是累進稅率，利用題意，可得(X-3500-1500)X10%=245-45,即可得出

結(jié)論.

本題知識點比較單一就是考查個人所得稅的累進稅率這一個知識點，比較基礎(chǔ).

9.答案：C

解析：解：漸近線方程是：x±ay=0,設(shè)P(m,n)是雙曲線上任一點，

過P平行于。8：x+ay=0的方程是：x+ay—m—an=0與OA方程：x-ay=0交點是

.,m+anm+an、

|O*=I等|Ji+3,P點到。4的距離是：

v\OA\-d=1,

...41(771.1^=1,

?2,a2Vl+a2

m22

???瓦一層=-1,

***a=2，Ac—，

e=一75.

2

故選：c.

求出|。川，p點到OA的距離，利用平行四邊形08pA的面積為1,求出“，可得C,即可求出雙曲

線的離心率.

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ).

10.答案：B

解析：解：由題意可得，服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為C[x0.93x0.12,

故選：B.

利用n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生％次的概率公式，計算求得結(jié)果.

本題主要考查n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生人次的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

1L答案：。

解析：解：當%>。時，/(%)=x—的導數(shù)為/'(%)=1—1-Inx=—Inx,

由題意可得一"％<0在%>Q恒成立，

可得aN1，①

由0Vx工Q時，/(%)=%+—-4a的導數(shù)為/'(%)=1-?2,

)、'x+a(x+a)z

由/''(x)WO,解得-3aWxWa在0cxWa恒成立，即有a>0,②

由/Q)為(0,+8)上的減函數(shù)，

可得a+詈一4a2a—alna,即為Ina22,可得a之ez,③

由①②③可得。的范圍是a>e2,

故選：D.

分別考慮x>a,0<xWa時，f(x)的導數(shù)，由導數(shù)小于等于0恒成立，可得〃的范圍；再由函數(shù)的

連續(xù)性，可得a+至-4a?a-a，na,解不等式可得所求范圍.

2a

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和應用，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬

于中檔題.

12.答案：D

解析：解：由圖象可得：4=2,周期7=8,

???——27r=3,p即rt3_="

84

圖象過點(2,2),

即2=2coscx2+0)=-2sin(p

得：(P=~^+2kn.

則/(x)=2cos(梟—1)=2sin^x.

⑴+f(2)+f(3)+f(4)+/(5)+f(6)+f(7)=0.

那么：/(l)+/(2)+…+/(2017)=/(l)=2sin^=V2.

故選：D.

根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了圖象求出三角函數(shù)的解析式，和周期函數(shù)的計算.屬于基礎(chǔ)題.

13.答案:2V2

解析：解：.:X、y為共物復數(shù),

.,.設(shè)x=a+bi,y=a—bi,a,b&R,

則x+y=2a,xy=a2+b2,

二由(x+y)2-3xyi=4—61,

得4a2—3(a2+b2)i=4—6i,

即4a2=4,且3(。2+b2)=6,

解得a?=1,b2=1,

|x|+|y|=Va2+b2+y/a2+b2=V2+V2=2V2>

故答案為：2a.

由x,y為共朝復數(shù)，可設(shè)x=a+bi,y=a—bi(a,b€R).利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得

出結(jié)論.

本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、共輾復數(shù)的定義，利用復數(shù)相等的條件是解決本題的關(guān)鍵，

是基礎(chǔ)題.

14.答案：25

解析：解：原式=2'。先25+仃5國2+lg22-均2

=25+Ig2(lg5+lg2)—lg2

=25.

利用對數(shù)的運算法則、02+05=1即可得出.

本題考查了對數(shù)的運算法則、lg2+均5=1,屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：19

解析：解：,??在等差數(shù)列｛%｝中，=1，a3+a5=3,

...(?i=1

.+2d+%+4d=3'

解得d=；,

O

???an=1+(n-1)xi=^+1,

cii.a7,即成等比數(shù)歹1J，

????7=?lGn,即g+乎=1X6+》,

解得九=19.

故答案為：19.

由等差數(shù)列通項公式求出公差d=［由此根據(jù)%,a,即成等比數(shù)列，能求出〃的值.

O7

本題考查數(shù)列的項數(shù)〃的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的

合理運用.

16.答案：解：(1)6=40,C=25°,c=20,由正弦定理可得一之=三='二,

、,cinRcinCcinA

.”40sin25°

:、sinB=--=---2--s-譏-25。；

20

???B=arcsin(2sm25°)=57.6。或B=180°-57.6°=122.4°；

當B=57.6。時，A=180-B-C=97.4°；

csinA

a==46.9.

sinC

當B=122.4。時，A=180-B-C=32.6°；

csinA

a~sinC31.9.

(2)因為b=13,a=26,B=30°；

目上=上

sinBsinCsinA9

asinB

???sinA==1：

b

???A=90°；

C=1800-4-8=60。；

asinC

=13V3.

sinA

(3)因為4=45。，C=30°,c=10.

bca

口a---------,

sinBsinCsinA

所以：B=180°-45°-30°=105°；

a=*=100

sinC

c?sinB「r-

b=-7——=5(V6+V2).

smC

解析：利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，即可解三角形.

本題考查正弦定理的運用，考查三角形內(nèi)角和，屬于中檔題.

17.答案：解：如圖，⑴由已知481平面AC。，DE_L平面ACQ,

?.AB//ED,

設(shè)尸為線段CE的中點，”是線段8的中點，

連接尸"，則且FH=?ED.

FH//=AB,

四邊形A8FH是平行四邊形，BF〃AH,

由BFC平面ACD內(nèi)，AHu平面ACD,：.BF〃平面ACD；

(2)取A。中點G,連接CG,CGLAD.

?■?AB，平面ACD,CG1AB

又CG_L4D,ABAD=A,：.CGABED,即CG為四棱錐C-ABEO的高，

在等邊三角形AC。中，CG=V22-l2=V3.

SABED=](1+2)X2=3.

VC-ABED=|5A4ED-V3=1X3XV3=V3.

(3)連接EG,由(2)有CG，平面ABED,

??.NCEG即為直線CE與平面ABE。所成的角，設(shè)為a,

又在等腰直角三角形CQE中，CE=y/2DE=2V2，

則在RtzxCEG中，有5/戊=也=半=蟲.

CE2V24

解析：(1)因為A3、OE均垂直于底面，可以斷定兩線段平行，且AB=，DE,可設(shè)想取CE、CO的

中點，這樣可證得BF平行于平面AC。內(nèi)的直線，從而證得BF平行于平面AC￡＞；

(2)多面體實則是以C為頂點的四棱錐，底面A8EO面積易求，可取4。的中點，于C連接后能證明

為四棱錐的高，從而可求四棱錐的體積；

(3)連接E與AO的中點，則CE與平面A8EZ)所成的角得到，在直角三角形中直接求其正弦值.

本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查線面角，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學轉(zhuǎn)化思想

方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬中檔題.

18.答案：解：(1)設(shè)事件A為方程/+2"+爐=0有實根，

當a^O,bNO時，方程/+2ax+F=o有實根的充要條件為。之七

基本事件共有36個，分別為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1)(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5),(6,6),

其中第一個數(shù)表示〃的取值，第二個數(shù)表示匕的取值.事件A中包含21個基本事件，故事件A發(fā)生

的概率為P(4)=三

(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為｛(a,b)|0<a<5,2<b<4].

構(gòu)成事件A的區(qū)域為｛(a,b)|0〈aW5,2<b<4,a>b｝,概率為兩者的面積之比，

所以所求的概率為P(4)=|.

解析：(1)設(shè)事件A為方程/+2數(shù)+爐=。有實根，當a20,bNO時，方程/+2ax+川=0有

實根的充要條件為a2b.第一個數(shù)表示〃的取值，第二個數(shù)表示〃的取值.事件A中包含21個基本

事件，故事件A發(fā)生的概率.

(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為｛(a,b)[0<a<5,2<b<4｝.構(gòu)成事件A的區(qū)域為｛(a,b)|0<

a<5,2<b<4,a>b],概率為兩者的面積之比，由此能求出結(jié)果.

本題考查隨機事件所包含的基本事件、古典概型及期概率計算公式等等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知

識解決簡單簡單實際問題的能力，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

19.答案：解：(1)由已知￡1=1,得尸(1,0)為焦點，直線/：x=-l為準線；

???。點為尸C的中點，且。R〃PC,.?.點R是線段P尸的中點，

又：RQ工PF,：.QR是PF的垂直平分線，[PQ=QF；

根據(jù)拋物線的定義知，。點在拋物線及y2=4x上；

(II)由圖形關(guān)于x軸對稱，得定點在x軸上，設(shè)定點坐標為K(m,0),

①當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB方程為％=a,

求得A(a,2VH),B(a,-2Va).M(-a,2Va),/V(-a,-2Va)：

顯然，以MN為直徑的圓恒過定點(2聲一a,0),(-2Va-a,0)；

②當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a),代入y2=4x得右/一^ak2+4)x+

a2k2=o；

設(shè)A(%i，2后')，B(Xz，-25弓),

2

由根與系數(shù)的關(guān)系得，與+應='滬，X1x2=a;

22

乂k°A=詬koB=一后

???直線OA的方程為y=泉X,

直線。8的方程為"-叁;

??.M(-a,-急N1—a,撒;

由于圓恒過點KmO),根據(jù)圓的性質(zhì)得/MKN=90°,

即引辦而=0.

???KM=(—a—m,—卷)，AW=(—a—m,信)，

代入上式向量的數(shù)量積，得；(a+m)2-冬=0,

Nxlx2

.1?(a+m)2-4a=0,解得m=+2>[a—a；

.,.以MN為直徑的圓恒過定點(2VH—a,0),(—2Va—a,0).

解析：(I)根據(jù)題意，結(jié)合圖形，利用拋物線的定義，得出。點在拋物線E；

(D)由圖形的對稱性得出定點在x軸上，設(shè)出定點的坐標，討論①直線AB的斜率不存在時與②直

線AB的斜率存在時，求出以MN為直徑的圓恒過定點是什么.

本題考查了拋物線的定義域幾何性質(zhì)的應用問題，也考查了直線方程、圓的方程的應用問題，考查

了用代數(shù)的方法研究圓錐曲線的性質(zhì)的問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方程的思想，是綜合性題目.

20.答案：解：(I)?.?函數(shù)/(*)=(1)㈤的定義域為R關(guān)于原點對稱,

2

???函數(shù)/(x)=(i)W是偶函數(shù);

/(-x)=震?小

(口)圖象如下:

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(-8,0),減區(qū)間(0,+8),值域(0,1]

(HI)?.?函數(shù)?(x)=(i)w-2a-l有兩個零點，則方程(/源=2?+1有兩個根,

二函數(shù)/(x)=f|T'與函數(shù)，=加-1的圖象有兩個交點，

由圖像可知當0時滿足題意,

——<d2<0?

2

解析：(I)?.?函數(shù)/(x)=d)同的定義域為R關(guān)于原點對稱，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷;

2

(n)作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可寫出單調(diào)區(qū)間和值域；

(也)?.?函數(shù)?(x)=(1)w-2a-l有兩個零點，則方程(［例=2?+1有兩個根，則函

數(shù)/(x)=Qj"與函數(shù)》=加-1的圖像有兩個交點，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

21.答案：解：(1)?.?曲線C2的極坐標方程為p=2,；.p2=4,

???曲線C2的直角坐標方程為/+y2=4.

???點A的極坐標為(21),.?.點A的直角坐標為(