高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)五(含答案)

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)五

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需要寫出解答過程）

1.已知集合A=<<1>,集合8={x|lgx>0},則AUB=.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（l+2i）=-3+4i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實部是.

3.如圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是.

4.現(xiàn)把某類病毒記作X,X,其中正整數(shù)〃2,〃（”W6,〃W8）可以任意選取，則加，〃都取到奇數(shù)的概率為

2，

5.若雙曲線比>0）與直線y=6x無交點，則離心率e的取值范圍是

6.等比數(shù)列{q}中，4=1,前〃項和為s“，滿足泉一3s5+2S4=0,則55=.

7.已知sine+cosa=（,0<a<%,貝!Isii?a+sin2a=.

8.已知aeR,實數(shù)x,>滿足方程V—21nx+y=0,則（a—x）?+（a—2-封?的最小值為.

9.己知函數(shù)y=a“+/3一%x2（a.H0,〃eN*）的圖像在％=1處的切線斜率為a“+3,且當(dāng)〃=1時其圖像過

點（2,16）,貝?。輆.,=.

22

10.在平面直角坐標系中，點M（后,%）是橢圓C：三+二=1在第一象限上的一點，從原點。向圓

63

M：（X—/）2+（丁一%）2=2作兩條切線4，12,若/山2,則圓M的方程是.

11.定義：如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間以上存在/（a（毛<，），滿足y（Xo）=:（"/（"）,則稱與是

b-a

函數(shù)y="X）在區(qū)間［a,0上的一個均值點，已知函數(shù)〃x）=4'-2川一m在區(qū)間［0,1］上存在均值點，

則實數(shù)切的取值范圍是.

12

12.已知0<Z?<l,且4勿?一4。一46+3=0,則一+7的最小值是.

ab

13.已知AABC中，AB=3,AC=1,且卜通+3（1-;1）祝|（/1e火）的最小值為孚，若P為邊AB上

任意一點，則PB-PC的最小值是.

14.已知函數(shù)了（同=一/+加+4x+l在（0,2]上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）=|lnx-〃|-21nx,若

3

Vx,,x2e[e,e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，不等式心（％）-8（/）歸5恒成立，則實數(shù)0的取值范圍是

二、解答題（本大題共6小題，共計90分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.已知函數(shù)/（x）=1+V3cos2x-sin2（--x）,

4

（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）若方程/&）-機=0在區(qū)間[色，汨上有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.

4

16.在公差不為零的等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=1,?2,%,生成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)6“=%?2%,Sn=bt+b24---也，求S”.

17.某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足矛盾，決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線Q4,0B

所成角為奇，現(xiàn)欲在海岸線04,上分別取點P,。修建海堤，以便圍成三角形陸地OPQ,已知海

堤PQ長為6千米.

(1)如何選擇P,Q的位置，使得'OPQ的面積最大;

(2)若需要進一步擴大圍海造陸工程，在海堤PQ另一側(cè)選取點M，修建海堤MP，圍成四邊形

陸地.當(dāng)海堤與MQ的長度之和為10千米時，求四邊形MPOQ面積的最大值.

22

18.已知直線/為橢圓土+匕=1的右準線，直線/與x軸的交點記為P,過右焦點廠的直線與橢圓交于A，

43

8兩點.

（1）設(shè)點M在直線上，且滿足若直線OM與線段AB交于點O,求證：點。為線段AB的

中占.

（2）設(shè)。點的坐標為直線BQ與直線/交于點E，試問麗.而是否為定值，若是，求出這個定

值，若不是，請說明理由...

19.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S,滿足2S?=3（??-l）（neN*）.

（1）求數(shù)列｛為｝通項公式；

（2）記2_］）,7；是數(shù)列｛%｝的前〃項和’若對任意的"wN*，不等式一亮都

成立，求實數(shù)上的取值范圍；

（3）記%=一45，是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,乙使s,f成等差數(shù)列，且cs-l,

q-l成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m,s,r；如果不存在，請說明理由.

20.已知函數(shù)〃x)=x3+版一3|-2,a>0

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(x)只有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)0<a<l時，試問：過點P(2,0)存在幾條直線與曲線y=/(x)相切？

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)五參考答案

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知集合A=<<1>,集合3={x|lgx>0},則AU8=.

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】

分別求出A與B中不等式的解集確定出A與B,找出A與B的并集即可.

【詳解】由力中的不等式變形得：f->l<(^\,得到Q0，

A/4={A|A>0},

由8中的不等式變形得：lgx>lgL得到%>L即歷3%>1}，

_i__1_—L-<1-1-i>

-5-4-2-2-1012245

則AU8=((),+8),

故答案為：((),+a)

【點睛】本題考查了求對數(shù)式、指數(shù)式不等式的解集和并集的運算，屬于基礎(chǔ)題。

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=-3+4i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的實部是一.

【答案】I

【解析】

【分析】

通過復(fù)數(shù)方程，兩邊同乘1-2/；然后求出復(fù)數(shù)z即可.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足Q+2/)介-3+4/；所以(1-2/)(1+2/)=(-3+4/)(1-2/),

即5z=5+10/；

所以51+2/；實部為1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘除運算，注意題目求的是復(fù)數(shù)Z的實部，不能寫成復(fù)數(shù)Z的結(jié)果。本題屬于基

礎(chǔ)題。

3.如圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是.

【答案】27

【解析】

【分析】

根據(jù)s=0,n=l,s=(O+l)xl=l,n=l+l=2,不滿足條件n>3,執(zhí)行循環(huán)體；依止匕類推，當(dāng)n=4,滿足

條件n>3,退出循環(huán)體，得到輸出結(jié)果即可.

【詳解】s=0,/7=l,s=(0+l)xl=l，"=1+1=2,不滿足條件〃>3,執(zhí)行循環(huán)體；

s=(l+2)x2=6,77=1+2=3,不滿足條件〃>3,執(zhí)行循環(huán)體;

s=(6+3)x3=27,/7=1+3=4,滿足條件〃>3,退出循環(huán)體,

則輸出結(jié)果為：27

故答案為：27。

【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，循環(huán)次數(shù)少的時候可以將每一次的賦值情況列出，不容易出錯。本

題屬于中等題。

4.現(xiàn)把某類病毒記作,其中正整數(shù)〃?,〃(wW6,〃W8)可以任意選取，則加，〃都取到奇數(shù)的概率為

1

4

【解析】

【分析】

求出m取小于等于6的正整數(shù)，〃取小于等于8的正整數(shù)，m取到奇數(shù)，〃取到奇數(shù)的方法種數(shù)，直接由

古典概型的概率計算公式求解.

【詳解】）取小于等于6的正整數(shù)，〃取小于等于8的正整數(shù)，共有6x8=48種取法。

m取到奇數(shù)的有1,3,5共3種情況；〃取到奇數(shù)的有1,3,5,7共4種情況，

則777,〃都取到奇數(shù)的方法種數(shù)為3x4=12種。

121

所以Z77,"都取到奇數(shù)的概率為一=—.

484

故答案為：一.

4

人何含的基本事件的個數(shù)〃7

【點睛】本題考查了古典概型的概率計算公式尸（A）=二::七工，屬于基礎(chǔ)題。

'"基本事件的總數(shù)〃

2)

5.若雙曲線三=l(a>0,。>0）與直線尸百X無交點，則離心率e的取值范圍是.

/b2

【答案】（1,2]

【解析】

因為雙曲線的漸近線為〉=±2為要使直線〉與雙曲線無交點，則直線應(yīng)在兩漸近線之間,

a

22222

所以有一二G,即云百所以代3/，c—a<3a,即c*/,e<4,所以I<”2.

a

6.等比數(shù)列｛a“｝中，q=l,前〃項和為S“，滿足$6-355+2S4=0,則$5=.

【答案】31

【解析】

【分析】

將56-355+254=0化成（56-1）一2（&-54）=4-應(yīng)=0,解得4=2,再根據(jù)等比數(shù)列前“項

和公式，即可求出S5。

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為心

由S6-3S5+2S4=0,可得(56-55)-2(55-54)=。6-2%=0=>"=4=2。

a5

…q(l-01x0-25)

??1=---------------=-----------------=31，

1-<71-2

故答案為：31.

【點睛】本題考查了數(shù)列中S“與凡之間的關(guān)系，即q=邑-S,i(〃22),屬于中等題。

7.已知|sina+cosa=1,0<。<4，則sir?a+sin2a=.

Q

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)sina+cosa=(聯(lián)立sin2a+cos2c=l,

即可求出sina和cosa的值，再將sin?e+sin2a化成

sin2a+2sinacosa代入即可。

【詳解】?/sina+cosa~~^>

1.

cosa=——sma

5

又,:sin2a+cos2a=sin2?+|--sina|=1

(5)

c.22.1,.4T3

/.2sina——Sinard--'=lnsina=—或-—

52555

\-0<a<7r,

413

sina=-，cosa=——sma=——

555

2c4/3、8

即sin2a+sin2a=sin2a+2sinacosa=\—+2x——x—=---

5l25

Q

故答案為：一~^°

25

【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,給sina和cose間的任一關(guān)系式，再聯(lián)立

sin2a+cos2a=1就可求出sina和cosa的值,但要注意根據(jù)角的范圍來判斷sina和cosa的值可能是

解中的一組或兩組。本題屬于中等題。

8.已知aeR,實數(shù)x,y滿足方程/—21nx+y=0,則（a-x7+（a—2—y）2的最小值為.

【答案】0

【解析】

【分析】

（a-力+（4-2-?是（a,a-2）和（x,y）兩點間的距離的平方，求（a-才+（a-2-?的最小值即為

求兩點所在軌跡上的點之間的距離的最小值的平方。可以看出兩點所在軌跡方程都滿足點。,-1）,即兩點

間距離最小值為0,（a-xp+S—2-?。?的最小值為（）2=0。

【詳解】設(shè)A（a,a—2）,3（x,y）,則（a—村+（q—2—），）2

?.?4（。,4一2）在直線），=彳-2上，8（%,、）在曲線^=一％2+21!1光，

.?.求|A同的最小值，即為求曲線y=-f+21nx上的點到直線y=x—2上的點的距離的最小值。

又丁=一》2+2也%與丁=%—2都過點。,一1）

曲線y=-/+2Inx上的點到直線y=尤-2上的點的距離的最小值為0。

即（a—x）-+（a—2—y）的最小值為（）2=（）。

故答案為0。

【點睛】本題考查了兩點間距離公式的變形，和直線到曲線距離的最值問題，遇到兩式平方和可以看是否

能湊成（%-+（y-%）？，通過兩點間距離公式轉(zhuǎn)換成表達式的幾何意義來求最值。本題屬于難題。

9.已知函數(shù)y二卬用％3—H0,〃eN*）的圖像在x=l處的切線斜率為a.+3,且當(dāng)〃=1時其圖像過

點（2,16）,則%=-

【答案】8

【解析】

【分析】

將x=l處的導(dǎo)函數(shù)值求出，與q+3相等，化簡可得”,用=4+1,再將”=1和點（2,16）代入可求得多的

值，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求出的的值。

322

(詳解］由y=??+lx-anx(a,產(chǎn)0,“eN*)得，y'=3a?+lx-2a?x,

V圖像在x=1處的切線斜率為an+3

，當(dāng)x=l時，y'=3an+]-2a?^an+3,化簡得。用=4+1,即數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列。

又；當(dāng)〃=1時其圖像過點（2,16）,

16=4x23-tZ]x22=>2a2-q=4=>q=2,即%=q+6x1=8。

故答案為：8.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值即為圖像在此處的切

線斜率，當(dāng)求出。,用與%的差為定值時，即可得出其為等差數(shù)列，等差數(shù)列需知道q和d兩個參數(shù)，依次

求出即可。本題屬于中等題。

22

10.在平面直角坐標系xOy中，點M（Xo，%）是橢圓C：上+上.=1在第一象限上的一點，從原點。向圓

63

加：（%一%）2+（y-%）2=2作兩條切線4，/2,若匕上4,則圓A/的方程是.

【答案】（x_0『+（y_0）2=2

【解析】

【分析】

22

畫圖分析可得四邊形A。而為正方形，即有OM=2,再根據(jù)點是橢圓C：土+二=1在第

63

一象限上的一點，可求出圓心M的坐標。

【詳解】設(shè)從原點。向圓M：（工一與丫+?一為?二？作兩條切線4,4的切點分別為A、B,畫出大致

圖像如下圖:

??Ti、，2都和圓M相切，

ZOAM=ZOBM^90°

又/1JL4,

???ZAOB=90°,ZA/WB=360°-ZOAM-Z.OBM-ZAOB=90°

即四邊形AOBM為正方形，

由圓M：（%-%）2+（丁一%）2=2可知圓的半徑為血，

:.OM=y/2MA=42x42=2>即收+%?=2

又?.?點時（事,%）是橢圓C：二+乙=1在第一象限上的一點，

63

22

二號+*=1，/>。，%>0

63

解得/°=，，則圓M的方程是（無一=2。

y0=y/2

故答案為：（X—挺=2

【點睛】本題考查了直線與圓相切的幾何關(guān)系，即圓心與切點的連線垂直于切線，圓錐曲線的填空選擇多

畫圖找?guī)缀侮P(guān)系，有時會比直接計算要快。本題屬于中等題。

11.定義：如果函數(shù))=/(x)在區(qū)間［。,可上存在而(。＜$＜。)，滿足/(X。)="")一"")，則稱X。是

b-a

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a，句上的一個均值點，已知函數(shù)〃x)=4'—一機在區(qū)間［0,1］上存在均值點，

則實數(shù)m的取值范圍是_____.

【答案】(-2,-1)

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)^4x-2x+'-m在區(qū)間［0,1］上存在均值點，關(guān)于x的方程

/(x)=4、一■■刀=/⑴一,(°)=1在(0,1)內(nèi)有實數(shù)根。求出函數(shù)/(x)的值域，包含元素1即可。

【詳解】函數(shù)"X)=4'--2'—機在區(qū)間［0,1］上存在均值點，

關(guān)于x的方程=4*-2x+'-m="';⑼=1在((J1)內(nèi)有實數(shù)根.

由〃x)=4'—2.1—，〃=(2*y_2x2'——1—加，2'I(1,2),

可得(2*-I)?=(2*—1-肛一加).

要使方程/(x)=1在(0,1)內(nèi)有實數(shù)根，則1e(―1—%一m),

即一1一加v1v—)篦=＞—2v相v—1。

—

故答案為：(2,—1)o

【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域問題，將指數(shù)函數(shù)看成一個整體，通過換元法求

得二次函數(shù)的值域即可。本題屬于中等題。

12

12.已知0＜匕＜1,且4次;一4。一4/?+3=0,則一+丁的最小值是______.

ab

【答案】4+—

3

【解析】

【分析】

將4小4a_劭+3=0化成（1_。）（1叫=（,設(shè)1一a=x,j=y,則孫="],再將：+京用

丁表示得"真+★’通過基本不等式“1”的巧用‘湊出…尸）—與擊+匕

相乘，再用基本不等式可得最小值。

【詳解】?.?4。/?—4a—4人+3=0

；.(1-=；

設(shè)l-a=x,l-b=y,則孫=!，x=],

44y

,；()<a<1,0<b<\,

.,.0<x<l,0<y<l

u二1+2=上+3=1+，+2

..ab\-x\-y]_~T1-y4y-l1-y4y-l1-y

4)

1218、18(4y-l)+(4-4^)

V,?-----1---------1------xl=-----1------X

4y-l1-y4y—14-14y-14-4y3

{|（看十&][（分-1）+（4-4刈I+8+4-4，+8(4Z-1)

4y-14-4y

當(dāng)皆^陪‘時''=膂??！唬?、=卡=彳（。/），在題目要求范圍內(nèi),

12?12,.40,4及

即一+―=1+——+一>1+3+^—=4+^^

ab4y-l1-y\373

故答案為：4+迪

3

【點睛】本題考查了換元法和基本不等式的應(yīng)用，遇到已知兩未知數(shù)關(guān)系，求包含兩未知數(shù)的表達式的最

值時，除了消元通過函數(shù)法解，最常見的方法是構(gòu)造基本不等式。本題屬于難題。

13.已知AABC中，AB=3,AC=\,且,麗+3(1-;1)而|(/1wR)的最小值為半，若P為邊AB上

任意一點，則麗.正的最小值是.

【答案】一2言5

【解析】

【分析】

設(shè)而=3前，AG=/lAe+3(l-2)AC=2AB+(l-A)AP,可得G、B、。三點共線，則

卜麗+3(l-/l)Xg(；leR)的最小值即|印目的最小值為孚表示A到BO邊上的高為手，根據(jù)幾何

關(guān)系求出|配『=7。再根據(jù)極化恒等式將方.正化成［麗豆心(，通過幾何關(guān)系求

出|麗］的最小值即可。

【詳解】v|/LAB+3(l-2)AC|=|2AB+(l-/l)x3AC|

二設(shè)亞=3/，AG=^AB+3(l-/l)AC=AAB+(l->l)AD

又?.?4+(1-4)=1,

：.G.B、。三點共線，以通+3(1-/1)才@(；1€/?)的最小值即|%@的最小值為￥.

由圖可得，當(dāng)而_)_麗時，|AG|有最小值弓I,

又,.?A8=3,AC=1,AD=3AC=3,

sinW…n"B=^=回即4如加吟,43f

32

由余弦定理，|瑟『=|而=7。

設(shè)"8C中點，由極化恒等式,

麗.正=（而—g而）.阿+厚卜網(wǎng)_/珂=網(wǎng)21,

.?.當(dāng)|PA4取最小值時，pQ.p?有最小值

?.?P為邊AB上任意一點，

，當(dāng)PA/LAQ時，|尸加|有最小值。

設(shè)PA/_L45,過點。作CE_LAB于點E，則|CE|=|AqsinNBAC=1

又?:PM//EC,PM為ABCE的中位線，

??.|PM|=g儂邛。

故答案為：-二7

16

【點睛】本題考查了平面向量三點共線定理和極化恒等式的運用，遇到兩個帶系數(shù)的向量相加時，可以看

看是否能將其中一個向量轉(zhuǎn)換成另一向量從而將系數(shù)湊成定值，再運用平面向量三點共線定理。本題屬于

難題。

14.已知函數(shù)/。）=一寸+辦2+4x+l在（0,2]上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）=|lnx-〃|一21nx,若

3

Vx,,x2G[e,e]?為自然對數(shù)的底數(shù)）時，不等式作（與）—8（/）歸5恒成立，則實數(shù)0的取值范圍是

【答案】2,|

【解析】

【分析】

對/(%)求導(dǎo)令/'(九)=—3/+2以+420解得“？2,要使不等式|g(xj-g(x2)歸5恒成立，只要使

g(x),皿一g(x),NnW5即可，再根據(jù)|lnx-a|的范圍無法直接得出，對。分情況討論，分別求出名⑴出，

g(x"n。

【詳解】函數(shù)在(0,2］上是增函數(shù)，

［,(0)=420

，r(x)=—3V+2"+4N0在(0,2］上恒成立，即［/稀:一%+而+420=/2

要使不等式|g(xj-g(/)|<5恒成立，只要使即可

當(dāng)時，Inx—ac［l-4,3-a］,

-31nx+aeal

①當(dāng)24a<3時，g(x)=<；，，

-Inx-a無

可以看出，g(x)在［eZ］上單調(diào)遞減，

g^Lx=g(e)=a-3,g(xL=gd)=_q_3

g(x)-g(x)=2a<5^>a<-

0\/max°\/min2f

即2<aK*。

2

②當(dāng)a23時，g(x)=-31nx+a,g(x)在［e,e1上單調(diào)遞減，

???g(x)3=g(e)=a—3,g(x)mm=g(e3)=a-9

x

g(力皿一g()min=6>5，即無法成立。

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是2,|。

故答案為：2,1。

【點睛】本題考查了分情況求含參絕對值型函數(shù)的最值問題，遇到絕對值要去絕對值，分成絕對值內(nèi)表達

式大于等于0和小于0(或大于0和小于等于0)兩種情況去討論，寫成分段函數(shù)的形式。本題屬于中等題。

二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=1+^3cos2x-sin2(--x)，

4

(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)若方程/*)=0在區(qū)間[￡,加上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.

4

IT77r

【答案】(1)T=兀;Zm(Z￡Z).

(2)(-2,1].

【解析】

分析：(1)首先利用余弦倍角公式對sii?(工-X)進行降次升角，之后借助于誘導(dǎo)公式以及輔助角公式，將

4

7T

函數(shù)解析式化簡為/(x)=2sin(2x+§)，借助于正弦曲線的性質(zhì)，利用整體角思維求得結(jié)果；

(2)研究函數(shù)在給定區(qū)間上的性質(zhì)，求得對應(yīng)的結(jié)果.

詳解：(1)/(x)=1+V3cos2x-2sin2-xJ

=V3cos2x+cos--2x=-s/3cos2x+sin2x

(2)

-2sin(2尢+]]

?72萬

2

TT7i37r7t77r

由一+2左%<2x+—<-----卜2k7r,kGZ,解得：---\-k7V<x<——+k兀,keZ

2321212

jrTT

二/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：—+k7r,—+k7T(keZ)

(2)即y=/(x)在區(qū)間(，萬上的圖象與直線y=加有兩個不同的交點.

477r77T

由⑴知：/(x)在上單調(diào)減，在—,71上單調(diào)增，

“川,=心)=-2,/圖=1,/(%)=#

.?.當(dāng)—2〈機時，y=/(x)在區(qū)間7,乃上的圖象與直線丁=加有兩個不同的交點，即方程

jr

/(X)T"=O在區(qū)間~,7T上兩個不同的實數(shù)解.

?J"的取值范圍為(一2,1].

點睛：該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的綜合題，涉及到的知識點有余弦的倍角公式，誘導(dǎo)公式，輔助角公式,

將函數(shù)解析式，之后利用整體角思維求得結(jié)果，關(guān)于第二問，注意應(yīng)用整體角思維，研究對應(yīng)區(qū)間上的函

數(shù)圖像的走向，從而求得結(jié)果.

16.在公差不為零的等差數(shù)列｛《,｝中，6=1,a2,%，生成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)=a"-2"",S“=4+4H---\-bn,求S”.

【答案】⑴?！?〃；⑵案=(〃_1>2川+2.

【解析】

【分析】

(1)由q=l,a2,4,』成等比數(shù)列得：(l+3d)2=(l+d)(l+7d)求出4,即可得｛為｝的通項公式;

23,,

(2)b“=n-2",S?=lx2'+2x2+3x2+---+n-2)用錯位相減法化簡可得S”.

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d(dwO),

由％=1,a2,a4,4成等比數(shù)列得：(1+34)2=(l+d)(l+7d),

解得d=l或d=O(舍去)，

所以數(shù)列｛《,｝的通項公式?！?1+(〃-1)=〃.

(2)由(1)得4=〃，所以a="-2",

所以S“=lx2i+2x2?+3x23+…+小2”,①

2S?=1X22+2X23+3x24+-??+?-2,,+,,(2)

①-②得：一S“=1x2、1x2?+1x23+…+1x2"2

2(1—2")7?+i/,\??+i?,

=--------n-2=-in-1)-Z-2，

1-2i7

所以S“=(〃—l>2"T+2.

【點睛】本題考查了錯位相減法的計算，當(dāng)遇到等差數(shù)列x等比數(shù)列的通項公式時，可以通過錯位相減法

來求和。本題屬于基礎(chǔ)題。

17.某沿海特區(qū)為了緩解建設(shè)用地不足的矛盾，決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖，兩海岸線04,OB

所成角為引，現(xiàn)欲在海岸線04,03上分別取點P,。修建海堤，以便圍成三角形陸地OPQ,已知海

堤PQ長為6千米.

(1)如何選擇P,Q的位置，使得'OPQ的面積最大；

(2)若需要進一步擴大圍海造陸工程，在海堤PQ的另一側(cè)選取點加，修建海堤砂，圍成四邊形

陸地.當(dāng)海堤"尸與"Q的長度之和為10千米時，求四邊形MP0Q面積的最大值.

【答案】(1)當(dāng)P,。兩點距離。點都為26千米時，最大面積為3g(平方千米)；

(2)四邊形MP0Q面積的最大值為12+36(平方千米).

【解析】

【分析】

(1)設(shè)0P=x,OQ=y,由余弦定理得：PQ2=OP2+0Q2-20P-0Q-cosZPOQ,

2萬

因為62=f+y2—2孫cos3-22盯+盯=3.，即沖412,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=26時取得等號；

(2)要求四邊形MPOQ面積的最大值，只需求△MPQ面積的最大值.在AMPQ中，

MP+MQ=\0>6^PQ,所以點M的軌跡是以P,。為焦點，長軸長10的橢圓(夾在兩海岸線Q4,

0B區(qū)域內(nèi)的曲線)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出M點到PQ距離的最大值即可得到最大面積.

【詳解】（1）設(shè)OP=x,OQ=y,（單位：千米）

在AOP。中，由余弦定理得：PQ2=OP2+OQ2-2OP-OQ-cosZPOQ,

27r

因為PQ=6,ZPOQ=—,OP=x,OQ=y,

所以，62=x2+>2—2xycos—>2xy+xy=3xy,

故當(dāng)且僅當(dāng)x=y=26時取得等號，

此時，SAOPQ=^xysin-=^-xy<3y[3（平方千米）.

所以，當(dāng)P,。兩點距離。點都為2百千米時，AOPQ的面積最大，最大面積為班（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四邊形MPOQ面積的最大值，只需求AMPQ面積的最大值.

在AMPQ中，MP+MQ=iO＞6=PQ,所以點M的軌跡是以「，。為焦點，長軸長10的橢圓（夾在

兩海岸線04,區(qū)域內(nèi)的曲線），

以PQ所在直線為x軸，PQ的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,

設(shè)點M所在的橢圓方程為與=1（。＞。＞0）,焦距為2c,

由a=5,c=3得：。=/一/二⑹

所以點M所在的桶圓方程為工+衛(wèi)=1.

2516

設(shè)/（%,%），則5"^=（/?。?%=3*6、%=3%，因為%?4，

所以SAMPQ=3%412（平方千米），當(dāng)且僅當(dāng)MP="Q=5（千米）時取得等號.

所以，四邊形”尸。。面積的最大值為12+3百（平方千米）.

【點睛】本題考查了余弦定理和三角形面積公式，以及橢圓的定義。遇到應(yīng)用題，找出變量之間的相關(guān)關(guān)

系，再根據(jù)函數(shù)或者不等式等其他方法求解，注意滿足實際意義的取值范圍。本題屬于難題。

22

18.已知直線/為橢圓工+匕=1的右準線，直線I與x軸的交點記為P,過右焦點F的直線與橢圓交于A，

43

8兩點.

（1）設(shè)點M在直線上，且滿足MbJ_A」B，若直線OM與線段AB交于點。，求證：點。為線段AB的

中點；

（2）設(shè)。點的坐標為直線8。與直線/交于點后，試問麗.而是否為定值，若是，求出這個定

值，若不是，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）麗.而為定值0.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)直線AB的方程為x=根丁+1,直線的方程為y=-/n（x-l）,故直線OM的方程為y=--x.

4-3/77

再聯(lián)立橢圓方程和直線AB，根據(jù)韋達定理求出線段的中點為,滿足直線OM方

3m2+4'3m2+4

程丁=—三所以，直線OM與線段AB交點。為線段A3的中點.

4

（2）當(dāng)直線A8的斜率為0時，EAEP=Q直線A3的斜率不為0時,，計算直線8Q的方程，求得點￡

的坐標為（4,yj,縱坐標與點A相等，即E4J.EP，EAEP^O-

【詳解】（1）由橢圓方程為、+《=1知，右焦點尸坐標（1,0）,橢圓。的右準線/方程為x=4,點尸坐

標（4,0）.

①當(dāng)直線A3的斜率不存在時，直線與線段AB交點。即為右焦點此時點O為線段AB的中點.

②又由“r，AB知，直線的斜率不為0,故設(shè)直線AB的方程為*=畋+1，

從而，直線ME的方程為了=一〃令x=4得，M點坐標為（4,-3〃z）,

3m

故直線OM的方程為尸-7》.

x=my+1

聯(lián)立方程組〈X2>2，消去x得：（3加+4）y2+6my—9-Q,

[43

設(shè)g'X)'*%)，則2號宇

-6m

即X+%=~'乂,必=7-5—~

3m+43m+4

4-3my

從而，線段A3的中點N3m2+4'3m2+4J

3m

又線段A3的中點N的坐標滿足直線OM方程y=---%,

4

所以，直線與線段A3交點。為線段A3的中點.

綜上可知，點。為線段A3的中點.

(2)當(dāng)直線AB的斜率為0時，點E即為點P,從而而=0，故麗?麗=().

直線A3的斜率不為。時，

,—6z?z—9

由（1）知，~%?％=15/

3m+43m+4

23（y+%）

所以％+%=§加乂必，貝Um%

2M

v-%X2

直線BQ方程為）-52I>又乙=my+1,

x,--2

-2

=%,3=3%=3%=____________=y

令x=4，得.x_522%,-52陽2-323('+%)3，

"一萬'一2ST'

所以點E的坐標為(4,%),縱坐標與點A相等。

即E4_LEP，所以麗?麗=().

綜上可知，麗.方為定值0.

【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，著重于計算直線方程的表達式，根據(jù)點的坐標依次耐心

計算即可。本題屬于中等題。

19.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S“滿足2S?=3(??-1)(/1eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)記2=(。_])；：_]),7；是數(shù)列也,｝的前〃項和’若對任意的"wN*，不等式＜＞；一6都

成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(3)記g=—%,是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,f,使加，s,f成等差數(shù)列，且q-l,

an+2

4-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的加，s,/；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)4=3"；(2)|-,+oo(3)不存

【解析】

【分析】

⑴當(dāng)〃之2時，2S,I=3(4T—1),與題目中所給等式相減得：2a.=3a,—3%T，即a“=3a,i(〃22),

又〃=1時，2s1=3(o,-l),解得：4=3,所以4=3".

(2)“化簡得旦士一號》由裂項相消得，人船一號)，再根據(jù)不等式1＞卜高

n+\〃+1

都成立，化簡得：%＞2(3〃求出2(3商二1)的最大值即可?

［m+t=2s

（3）假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)加，，滿足條件，則有/、2/\,、.證明其成立的條

［（G-1）=（，,“—1>億一1）

件與加，S,r互不相等矛盾即可.

【詳解】⑴因為數(shù)列｛q｝的前w項和S,,滿足2s“=3（%-l）（〃eN*）,

所以當(dāng)〃22時，2S?_,=3（??_1-1）,

兩式相減得：2a”=3%-34T，即4=3a“T（〃22）,

又〃=1時，2S1=3（烏—1）,解得：q=3/0,

所以數(shù)列｛a,,｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而4=3".

（）

,.,_a“—3”n+1=11_1

（2）由（1）知：-（a/t_i）（fln+i_i）-（3"-i）（3-i）21,

G、，Tnn八1「『1ifii）（iiY

所以，=b、+h+…+b=——-------------+---------------p------F--------------：

2K3一132-lJU2-l33-lJ（3〃一13M+,-1）_

對任意的〃小，不等式-高都成立，即杷一吉>1備，

〃+1H+1

化簡得：k>，令/（〃）=

2(3,|+|-1)2(3

〃+2_〃+1_(—2〃-1)-3rt+'-l

因為小+1）-?。?lt;0,

2(3n+2-1)2(3,(+|-1)-2(3,,+,-1)-(3,,+2-1)

故/（〃）單調(diào)遞減,

所以［/（〃）1rax=/（1）=（'故%>'

1

所以,實數(shù)々的取值范圍是-,+oc

8

c=人=上

(3)由(1)知:

”an+23"+2

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)加，s,r滿足條件,

m+t=2s

則有《

2

(cs-1)=(cm-l)■(<?,-1),

3〃/、2、/(3s、\(-V、

由%=與(6_1)一=(。_1>(。_1)得FI?-1=?———1

D-i乙1D乙,,、」3'+T2右y

即3"+'+2x3'"+2x3,=32'+4x3*，

因為m+r=2s,所以3"'+3'=2x3'.

因為3'"+3'＞2\]yn+,=2x3'