上海市徐匯區(qū)2017-2018年高二年級(jí)下冊(cè)期末綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

上海市徐匯區(qū)重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.二項(xiàng)式2］展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)等于（）

A.60B.-60C.15D.-15

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算X°的系數(shù)，從而得出正確選項(xiàng).

【詳解】

當(dāng)萬(wàn)―6=0時(shí)，即廠=4,故常數(shù)項(xiàng)為豈=（—2『或=60,選A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布N。,/）。〉。），若=則P（0<《<2）=

（）

A.0.4B.0.8C.0.6D.0.21

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，求出正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=1，根據(jù)對(duì)稱性可求出尸（1W4<2）的值，進(jìn)而可求

P（0<^<2）

【詳解】

解：測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布N（l,b2）（b〉0）.??正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=l

P（0<^<l）=0.4.-.P（l<^<2）=P（0<^<l）=0.4

.-.P（0<^<2）=P（0<^<l）+P（l<^<2）=0.4+0.4=0.8

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布中概率問(wèn)題的求解.在解此類問(wèn)題時(shí)，結(jié)合正態(tài)分布曲線圖像進(jìn)行求解，其關(guān)鍵是找到

曲線的對(duì)稱軸.

K,f(x)<K

3.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閧X|X>O},若對(duì)于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)4(%)=<

f(x),于(x)>K'

則當(dāng)函數(shù)/(x)=L,K=1時(shí)，定積分人(x)dx的值為()

X4

A.21n2+2B.21n2-lC.2In2D.21n2+l

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)/(X)的定義求出力.(％)的表達(dá)式，然后根據(jù)定積分的運(yùn)算法則可得結(jié)論.

1,-<11,%>1

詳解：由題意可得，當(dāng)K=1時(shí)，/?1；，即心)=<

一,0<x<1

-,->1

X

21]2

9,1

所以[力(尤)公=1_公+J為:=/n"+%|[=Znl—ZH—+2—1=1+2bi2

11X14

44

故選D.

點(diǎn)睛：解答本題時(shí)注意兩點(diǎn)：一是根據(jù)題意得到函數(shù)力(力的解析式是解題的關(guān)鍵；二是求定積分時(shí)要合

理的運(yùn)用定積分的運(yùn)算性質(zhì)，可使得計(jì)算簡(jiǎn)單易行.

4.近年來(lái)隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到

大幅提升.某品牌公司一直默默拓展海外市場(chǎng)，在海外設(shè)了多個(gè)分支機(jī)構(gòu)，現(xiàn)需要國(guó)內(nèi)公司外派大量中青

年員工.該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中

隨機(jī)調(diào)查了100位，得到數(shù)據(jù)如下表：

愿意被外派不愿意被外派合計(jì)

中年員工202040

青年員工402060

合計(jì)6040100

由K2=-------'—)--------并參照附表，得到的正確結(jié)論是

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表：

Pg泮)0.100.010.001

k。2.7066.63510.828

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”;

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”；

C.有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)“；

D.有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)

【答案】A

【解析】

【分析】

由公式計(jì)算出K?的值，與臨界值進(jìn)行比較，即可得到答案。

【詳解】

百由-r陽(yáng)100（20x20-40x20）2100x400x400、c”

由題可得：K2=--------------------------—=---------------------?2.778>2.706

60x40x60x4060x40x60x40

故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)“，有90%以上的把握認(rèn)為“是

否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;

故答案選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出K?的值，屬于基礎(chǔ)題。

5.某班級(jí)要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的

選法為（）

A.14B.8C.6D.4

【答案】A

【解析】

所選的四人中至少有一名女生的選法為《-《=15-1=14.

本題選擇A選項(xiàng).

3

6.準(zhǔn)線為y=-二的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

4

3232

A.x9=3yB.y=--xC.x=3yD.x=--y

【答案】A

【解析】

3

準(zhǔn)線為y=-W的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是d=3y,選A.

7.已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，且%=5,則S9的值為

A.25B.45C.50D.90

【答案】B

【解析】

由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有S9=q+&++%=（?,+09）+（。2+?8）++%=9%=45,故選B.

8.復(fù)數(shù)z=i?（l+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

z=z'（l+z）=i+i~=—1+z,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

9.已知AA3C的邊8C上有一點(diǎn)。。滿足3。=4。。，則AO可表示為（）

1331

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

4444

4114

C.AD^-AB+-ACD.AD^-AB+-AC

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

由A。=46+5。，結(jié)合題中條件即可得解.

【詳解】

44/\14

由題意可知=43+5。=++1（AC—AB）=40=,43+二AC.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.如果二一=1+〃”（機(jī)eR,i表示虛數(shù)單位），那么加=（）

1+z

A.1B.-1C.2D.0

【答案】B

【解析】

分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共朝復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為。+初（a,的形式，利用復(fù)數(shù)相等求

出m即可

詳解：――=1+mi

1+z

20T

=l+mi

2—2i=2+2mi

解得加=-1

故選3

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與

虛部分別相等即可求出答案.

11.甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率是:，沒(méi)有平局.若采用三局兩勝制比賽，

即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則甲隊(duì)獲勝的概率等于()

A.gB.-C.T：D.=

【答案】A

【解析】

試題分析："甲隊(duì)獲勝”包括兩種情況，一是2。獲勝，二是二U獲勝.根據(jù)題意若是甲隊(duì)2：。獲勝，則比賽只

有2局，其概率為%若是甲隊(duì)21獲勝，則比賽3局，其中第M局甲隊(duì)勝，前2局甲隊(duì)獲勝任意一局，

其概率為二汩所以甲隊(duì)獲勝的概率等于(+?=會(huì)故選A.

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率及二次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率及二次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，屬于中檔題.本題解答的關(guān)鍵是讀

懂比賽的規(guī)則，尤其是根據(jù)“采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束"把整個(gè)比賽所有的可能

情況分成兩類，甲隊(duì)以二。獲勝或二二獲勝，據(jù)此分析整個(gè)比賽過(guò)程中的每一局的比賽結(jié)果，根據(jù)相互獨(dú)立

事件的概率乘法公式及二次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求得每種情況的概率再由互斥事件的概率加法公式求

得答案.

【答案】C

【解析】

1_TT

函數(shù)f(x)=(--------)COSX,當(dāng)乂=—時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，屬于排除A,B,當(dāng)(0,1)時(shí)，COSX

1+2*2

>0,

1-2X\-T

--------<0,函數(shù)f(x)=(---------)cosx<0,函數(shù)的圖象在x軸下方.

1+2*1+2、

排除D.

故答案為Co

二、填空題：本題共4小題

13.隨機(jī)變量4的取值為0,1,2,若Pq=0)=g,￡?=1,則。⑷=.

【答案】|

【解析】

設(shè)€=1時(shí)的概率為夕，則石()=0xg+lxp+2x(l_p—gj=l,解得p=|,故

￡>(^)=(O-1)2X|+(1-1)2X|+(2-1)2X|=|

考點(diǎn)：方差.

14.將4個(gè)不同的小球任意放入3個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球的概率為.

4

【答案】-

【解析】

試題分析：將4個(gè)不同的小球任意放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)小球有3種不同的放法，共有34=81種放

364

法，每個(gè)盒子中至少有1個(gè)小球的放法有C：C：C；=36種，故所求的概率尸=n=§.

考點(diǎn)：1、排列組合；2、隨機(jī)變量的概率.

15.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=3+4i,則目等于.

【答案】石

【解析】

【分析】

先求出復(fù)數(shù)Z,再求|z|.

【詳解】

.3+4/(3+4Z-)(1-2Z)11-2Z

由題得z=-----=------------=------,

l+2z(1+2Z)(1-2Z)5

故答案為逐

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能

力.(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)的模?

4

16.某一批花生種子，如果每粒發(fā)芽的概率為彳，那么播下3粒這樣的種子恰有2粒發(fā)芽的概率是

、48

【答案】—

125

【解析】

4

分析:每1粒發(fā)芽的概率為彳，播下3粒種子相當(dāng)于做了3次試驗(yàn)，由題意知獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)服從二項(xiàng)分布,

4

即X?5(3,g),根據(jù)二項(xiàng)分布的概率求法，求出結(jié)果.

詳解:：?.?每1粒發(fā)芽的概率為定值，播下3粒種子相當(dāng)于做了3次試驗(yàn)，

4

由題意知獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)服從二項(xiàng)分布即X~3(3，m)

?,?心=2)=*)中=盛

48

即答案為—.

點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布要滿足的條件是每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的,

每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.已知函數(shù)/(幻=三+辦2+反+&]€[_1,2]),且函數(shù)/(X)在％=1和X=—§處都取得極值.

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間.

1「21「1

【答案】(1)a=-萬(wàn),6=-2；(2)—1,——,[1,2].

【解析】

【分析】

2

⑴易得x=1和x=-§為導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，代入計(jì)算即可求得a,b.

(2)求導(dǎo)分析/(x)>0的解集即可.

【詳解】

(1)V/(x)=x3+cue+bx+c(xG[―1,2]).

f'(x)=3x2+2ax+b,x&[-1,2],

2

?.?函數(shù)/(x)在X=1和X=-§處都取得極值,

2

故％=1和x=--為3%之+2ax+Z?=0的兩根.

即〃=_工，Z?=—2

2

(2)由⑴得/(x)=d—'X?-2x+c(xe[-1,2])

故f\x)=3f-x_2,(xe[-1,2])

當(dāng)/(x)>0,即3尤2—1—2>0,(xe[-1,2])時(shí)，

2

即(3x+2)(x—1)>0,(xG[―1,2])，解得一§或1Vx<2.

...函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為—1,一[,[1,2].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)極值點(diǎn)求解參數(shù)的問(wèn)題以及求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的問(wèn)題.需要根據(jù)題意求導(dǎo)，根據(jù)

極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)大于等于0則原函數(shù)單調(diào)遞增求解集即可.屬于中檔題.

18.2018年6月14日，國(guó)際足聯(lián)世界杯足球賽在俄羅斯舉行了第21屆賽事.雖然中國(guó)隊(duì)一如既往地成為

了看客，但中國(guó)球迷和參賽的32支隊(duì)伍所在國(guó)球迷一樣，對(duì)本屆球賽熱情似火，在6月14日開(kāi)幕式的第

二天，我校足球社團(tuán)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生，對(duì)是否收看開(kāi)幕式情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)如下：

收看沒(méi)收看

男生6020

女生2020

(1)根據(jù)上表說(shuō)明，能否有99%的把握認(rèn)為，是否收看開(kāi)幕式與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且收看了開(kāi)幕式的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加志愿者宣

傳活動(dòng).

(i)問(wèn)男、女學(xué)生各選取了多少人？

(ii)若從這12人中隨機(jī)選取3人到校廣播站開(kāi)展足球項(xiàng)目的宣傳介紹，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為X,

寫出X的分布列，并求E(X).

附：K?-----.adbe)——其中〃=。+/,+。+1.

p(K2>k)

00.100.050.0250.010.005

左02.7063.8415.0246.6357.879

3

【答案】⑴有⑵⑴男生有9人，女生有3人.皿見(jiàn)解析'-

【解析】

【分析】

n^ad—bc^

(1)套用公式7^=，算出的值與6.635比較大小，即可得到本題答案;

(a+6)(c+d)(a+c)(/?+d)

(2)(i)由男女的比例為3：1,即可得到本題答案；(ii)根據(jù)超幾何分布以及離散型隨機(jī)變量的均值公

式，即可得到本題答案.

【詳解】

(1)1^1左之————=7.5>6.635,

80x40x80x40

所以有99%的把握認(rèn)為，是否收看開(kāi)幕式與性別有關(guān).

31

⑵⑴根據(jù)分層抽樣方法得，男七x*9人，女生產(chǎn)2=3人,

所以選取的12人中，男生有9人，女生有3人.

(ii)由題意可知，X的可能取值有0,1,2,3.

_84c2rl108

()P(x=i)=濘

PX=0=3-

c220,^12—五'

_271

()P(X=3)年

PX=2=--

"cF220,C12220

X0123

84108271

p

220220220220

C84,108c27cl3

??E(X)—0x------1-1x-----1-2x-----1-3x-----=-

')2202202202204

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用和超幾何分布以及其分布列均值的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解

能力.

八1

19.若集合A具有以下性質(zhì)：(1)A且iwA；(2)若工，ylA,則x—，且當(dāng)xwO時(shí)，一wA,

x

則稱集合A為“閉集

(1)試判斷集合B={-1,0,1}是否為“閉集”，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)設(shè)集合A是"閉集"，求證：若》,ylA,則x+yeA；

(3)若集合M是一個(gè)“閉集”，試判斷命題“若》,y^M,則孫eM”的真假，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)否，理由見(jiàn)詳解；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)真命題，理由見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】

(1)利用閉集的定義判斷；

(2)利用閉集的定義證明；

2

(3)利用閉集的定義,先說(shuō)明X，y中均不含0,1時(shí)，工」eM,再說(shuō)明x(x-l)eAf,進(jìn)而得出xeM,

x-1X

y2eM,從而有(x+y)2wM,可得到2xywM,,即得出孫wM.

2xy

【詳解】

解：(1)-1-1=-203,

二集合5={—1,0,1}不是“閉集”，

(2)證明：1?集合>是“閉集”,

:.G-y=-y&A,

故x-(-y)=x+ywA；

(3)若集合Af是一個(gè)"閉集"，任取

若了，》中有0或1時(shí)，顯然孫e/；

若了，》中均不含0,1,由定義可知：

x-1X

111”

*".------=-7---reM,

x-1xx[x-l)

x(x-l)eM

由(2)知，x(x-l)+x&M,即同理可得VeM,

若x+y=0或x+y=l,則顯然(x+y)2e",

若x+y/0且x+ywl,貝！|(x+y)2e",

2xy=(x+y)2-x2—y2eM,

1111

--wM,—=---+----eAf,

2xyxy2xy2xy

:.xy,

故命題為真命題.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算的定義及學(xué)生對(duì)新定義的接受能力，屬于中檔題.

V2V21

20.已知橢圓C:二+方=1(a>0力>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)當(dāng)“>6時(shí)，設(shè)〃(m,0)(meR),過(guò)M作直線/交橢圓。于P、。兩點(diǎn)，記橢圓。的左頂點(diǎn)為A,

直線AP,AQ的斜率分別為占，k2,且左他=-；，求實(shí)數(shù)相的值.

2222

【答案】(I)二+乙=1或上+匕=1;(II)1.

4334

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置的不同進(jìn)行分類討論，利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)由可以確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，過(guò)M作直線/可以分為二類，一類是沒(méi)有斜率，一類有斜率，

分別討論，直線/沒(méi)有斜率時(shí)，可直接求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用發(fā)網(wǎng)=―：,可以求出加點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)存在斜率

時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合等式上/2=-；，也可以求出加點(diǎn)坐標(biāo)，也就

求出實(shí)數(shù)利的值.

【詳解】

2a=4,

c]

(I)當(dāng)。時(shí)，由<一=大，得。=2,匕二退;

a2

c1=a-b2,

26=4,

Q]

當(dāng)時(shí)，由＜：=入，得〃=真，b=2.

b2

j

c2-b2-a2,

2222

所以橢圓c的方程為L(zhǎng)+^=1或上+匕=1.

4334

(II)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，I的方程為x=m(-2<m<2),則

x=m

x2y2得兩點(diǎn)

——+—=1

143

,2、

31--

所以I4J4J

女屈=

m+2m+2(m+2)24

即相2+加一2=0得加=—2(舍去)或加=1.

直線I的斜率存在時(shí)，I的方程設(shè)為y=4(％-7①(一2<7〃<2,左。0)

上+2L=1

設(shè)P&，X),Q(x2,y2),聯(lián)立|43，消去y得

y=k(x-m)

(3+4k2)x2-Smk2x+4m2k②-12=0(*),

g”Smk24m2k2—12

所kAXy+x-------，X-,,Xr,=-----------—

'923+4k23+4左2

而快=上上=乂土辿包主口

%1+2x2+2Xj+29+2

西々+2（西+%2）+44

化簡(jiǎn)得一K（3"T2）_=_工，即加2左2+,成2_2左2=0,顯然左2/0，

4m2k2+16mk2+16Z:24

所以+加一2=0,解得加=1或〃，=一2（舍去），

對(duì)機(jī)=1時(shí)，方程（*）的/〉0,所以m=1,

故綜上得所求實(shí)數(shù)枕=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知等式是解題的關(guān)鍵，

本題易忽略直線不存在斜率這種情況.

21.在直角坐標(biāo)系x0y中，圓。的方程為（x+6y+y2=25.

（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求。的極坐標(biāo)方程；

x=tcosa,—

（H）直線/的參數(shù)方程是,a為參數(shù)），/與。交于A,B兩點(diǎn)，|ABI=W，求/的斜率.

y=tsma

【答案】（I）p2+12pcos6>+ll=0；（II）土牛.

【解析】

試題分析：（I）利用x=pcos。，y=psin?；?jiǎn)即可求解；（H）先將直線/化成極坐標(biāo)方程，將/的

極坐標(biāo)方程代入。的極坐標(biāo)方程得夕2+12XX2SC+11=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.

試題解析：（I）化圓的一般方程可化為％2+丁2+12尤+11=0.由》=小。58,y=psin。可得圓。的極

坐標(biāo)方程夕2+12XXOS6>+11=0.

（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為。=夕（夕GR）.

設(shè)A,3所對(duì)應(yīng)的極徑分別為夕1,0,將/的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得夕2+12pcos?+11=0.

于是Qi+乃=T2cosc,pa=11.

I明玉-包=J（Q1+。2）2-4%2=J144COS2a-44.

由IAB|=得cos2a=3,tana=±姮

83

所以/的斜率為巫或—叵.

33

22.某蔬菜加工廠加工一種蔬菜，并對(duì)該蔬菜產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評(píng)級(jí)，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器所加工的蔬菜產(chǎn)品

隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行評(píng)級(jí)，結(jié)果（單位：件）如表1：

機(jī)哈、ABCD

甲10204030X12345

乙20353510v5854392910

表1表2

（1）若規(guī)定等級(jí)A3為合格等級(jí)，等級(jí)C,。為優(yōu)良等級(jí)，能否有99.5%的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)

量與機(jī)器有關(guān)”？

（2）表2是用清水X千克清洗該蔬菜1千克后，該蔬菜上殘留的農(nóng)藥y微克的統(tǒng)計(jì)表，若用解析式

5

y=小2+〃作為y與X的回歸方程，求出y與X的回歸方程.（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：XX；=55,

Z=1

555

Ex=190,2>：=979,2>9=1339.）

i=li=li=l

2

【答案】（1）有99.5%的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)"（2）y=-2,0x+60.1

【解析】

【分析】

（1）根所給數(shù)據(jù)，利用公式求得K2,與臨界值比較，即可求得答案；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得機(jī)和〃，即可求得其直線回歸方程.

【詳解】

200x(30x45-70x55)2_5000

（1）K?的觀測(cè)值K??12.788>7.875

100x100x85x115391

所以有99.5%的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)

(2)-^1x,52=11,三1方5X=38,

Ji=\,1=1

1339-5x11x38751

m=-----------------------=---------仁-2.0，

979-5xll2374

751

/.n=y—mco=3S—xll?60.1,

374

可得y=—2.0f+60.L

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的計(jì)算K?和求回歸直線方程，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

上海市徐匯區(qū)重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合人=｛1,一1｝,B=｛l,0,-l）,則集合。=｛。+/。€人力63｝中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

由題意得，根據(jù)。=｛。+/awAhwB｝,可得a+白的值可以是：一2,—1,0,1,2,共有5個(gè)值，所以集

合。=｛（7+>。€中共有5個(gè)元素，故選D.

考點(diǎn)：集合的概念及集合的表示.

2.已知下列說(shuō)法：

謝于線性回歸方程亍=3-5無(wú)，變量X增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；

②P、乙兩個(gè)模型的后分別為0.98和0.80,則模型甲的擬合效果更好；

函分類變量X與Y,隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大；

麗個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1.其中說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)結(jié)論來(lái)對(duì)題中幾個(gè)命題的真假進(jìn)行判斷。

【詳解】

對(duì)于命題①，對(duì)于回歸直線y=3-5x，變量X增加一個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位，命題①錯(cuò)誤；

對(duì)于命題②，相關(guān)指數(shù)々越大，擬合效果越好，則模型甲的擬合效果更好，命題②正確；

對(duì)于命題③，對(duì)分類變量X與丫，隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值女越大，根據(jù)臨界值表，則犯錯(cuò)誤的概率就越小，

則判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越高，命題③正確；

對(duì)于命題④，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系的絕對(duì)值越接近于1,命題④錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)概念的理解，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握情況，屬于

基礎(chǔ)題。

3.若集合A=｛砸x_8=+良1<0卜則AB等于（）

A.1—1,—e](2,3)B.(2,3)C.DJ—L—

【答案】D

【解析】

分析：先解絕對(duì)值不等式得集合A,再解分式不等式得集合B,最后根據(jù)交集定義求結(jié)果.

詳解：因?yàn)閨2x—1|<3,所以—3<2x—1<3,—l<x<2

因?yàn)?？?<0,所以％<一：或x>3,

3-x2

因此Ac5=1—1,—g],

選D.

點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)

(1)看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提.

(2)有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決.

(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

4.已知/(%)=/+_￥-。(一1三%41)且同(1,則|/(%)|的最大值為()

53-

A.-B.-C.3D.1

44

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值三角不等式可知|〃燈歸14|九2T+|%|；根據(jù)時(shí)<1可得?一1卜國(guó)，根據(jù)X的范圍

可得7(%)|〈—[國(guó)—g]+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：=,代-l)+x|<|a||x2-l|+|x|<|x2-l|+|x|

-1<x<1,'.|%2-l|+|x|=l-x2+|x|=-|x|2+|x|+l=-^|x|-^+：

二當(dāng)忖=g,即》=土;時(shí)，(p-i|+W)max=|

即：|/(%)|<|,即|/(x)|的最大值為：!

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)最值的求解，難點(diǎn)在于對(duì)于絕對(duì)值的處理，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于忖的二次函數(shù)的

形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.

5.下列命題中為真命題的是（）

A.若九。0,—22

X

B.命題：若％2=1,則%=1或x=—l的逆否命題為：若XW1且工。一1,則了2。1

c.“〃=1〃是慎線x-ay=O與直線x+ay=O互相垂直〃的充要條件

D.若命題“：三大eH,%?-無(wú)+1<0,貝!I—7?:VxeH,%?—x+1>0

【答案】B

【解析】

分析：對(duì)四個(gè)命題，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

詳解：對(duì)于A,x>0,利用基本不等式，可得x+^22,故不正確；

x

對(duì)于B,命題：若必=1,則X=1或X=-1的逆否命題為：若XW1且XH-1,則好/1

,正確；

對(duì)于C,“a=±l”是“直線X-分=。與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件，故不正確；

對(duì)于D,命題命題〃：蟲(chóng)€氏/_尤+1<0,則一］〃：VxeH,%?—X+1N0,故不正確.

故選：B.

點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬基礎(chǔ)題.

已知復(fù)數(shù)，貝!|一的共朝復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

6.21-

z=—

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得復(fù)數(shù)￡,.，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.

詳解：由題意，復(fù)數(shù).“，則=__11一,

z=2L=^i^.=_1+;-'-'

i-t（1-0（1+0x

所以復(fù)數(shù);在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)：_「，位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示，其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)一L,是解答的關(guān)鍵，

著重考查了推理與運(yùn)算能力.

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“芻篇者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈?芻，草也；薨，屋蓋也

?”翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱?芻薨字面意思為茅草屋頂?”如圖，為

一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形?則它的體積為()

256

亍D.64

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

分析：由三視圖可知該芻薨是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中

的數(shù)據(jù)可得其體積.

詳解:

由三視圖可知該芻薨是一個(gè)組合體，

它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，

根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，

Ix4x4x4+2x-x2x4x4=32+—=—,故選A.

2333

點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)

題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)

鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的

不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和

側(cè)視圖，確定組合體的形狀.

8.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)A和3,系統(tǒng)A和系統(tǒng)3在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別

19

為《和。，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為=，則2=()

840

【答案】B

【解析】

試題分析：記“系統(tǒng)A發(fā)生故障、系統(tǒng)8發(fā)生故障”分別為事件A、8,“任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故

--1192

障”為事件。，則p(C)=尸(A)P(B)+尸(4)2(5)=(1一").0+"(1一夕)=解得。=故選民

884015

考點(diǎn)：對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率.

9.已知/(")=l+g+g++:("WN*),用數(shù)學(xué)歸納法證明/(2〃)〉],“€雙*時(shí)，從假設(shè)〃=左推證

〃=左+1成立時(shí)，需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為()

A.2*-1B.2&C.2*+1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

分別計(jì)算〃=左和〃=左+1時(shí)的項(xiàng)數(shù)，相減得到答案.

【詳解】

f(n)=1+—+—++—(ne)

23ny)

“=左時(shí)，/(2/)=l+；+g++±,共有2*項(xiàng).

〃=左+1時(shí)，/(21+1)=1+1+|++擊，共有2%+1項(xiàng).

需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為：2*M-2k=2及

故答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(e—/)，集合4={》|丁=〃》)},3={