2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 整式的乘法2.2 乘法公式2.2.2 完全平方公式第1課時(shí) 完全平方公式教案 （新版）湘教版

2023七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.2完全平方公式第1課時(shí)完全平方公式教案（新版）湘教版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析本節(jié)課為人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第2章第2節(jié)“乘法公式”，具體為2.2.2“完全平方公式”的第1課時(shí)教案。本節(jié)課主要內(nèi)容是讓學(xué)生掌握完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了有理數(shù)的乘方、平方差公式等基礎(chǔ)知識(shí)，本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探究完全平方公式的特點(diǎn)，并能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.理解完全平方公式的含義，掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程。

2.能夠靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：完全平方公式的靈活運(yùn)用。

教學(xué)方法：采用啟發(fā)式教學(xué)法、小組合作學(xué)習(xí)法等，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究、積極思考。

教學(xué)過(guò)程分為以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入：回顧平方差公式，為學(xué)生學(xué)習(xí)完全平方公式做好鋪墊。

2.探究新知：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證等步驟，發(fā)現(xiàn)完全平方公式的特點(diǎn)。

3.公式推導(dǎo)：講解完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生理解并掌握公式。

4.典例解析：選取典型例題，講解如何運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。

5.練習(xí)鞏固：設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，鞏固所學(xué)知識(shí)。

6.拓展應(yīng)用：結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

7.總結(jié)反饋：對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)不足之處進(jìn)行針對(duì)性講解。

教學(xué)評(píng)價(jià)：通過(guò)課堂表現(xiàn)、練習(xí)題和課后作業(yè)等方面，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)完全平方公式的掌握程度。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括以下幾個(gè)方面：

1.邏輯推理：通過(guò)探究完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出一般性規(guī)律的能力，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用完全平方公式解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的能力。

3.數(shù)據(jù)分析：通過(guò)分析完全平方公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、分析數(shù)據(jù)的能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：讓學(xué)生熟練掌握完全平方公式的運(yùn)用，提高學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。

5.模型認(rèn)知：使學(xué)生理解完全平方公式在數(shù)學(xué)中的地位和作用，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知能力。

6.應(yīng)用意識(shí)：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用。

2.運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算和解決實(shí)際問(wèn)題。

難點(diǎn)：

1.完全平方公式的靈活運(yùn)用。

2.將完全平方公式應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

解決辦法：

1.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、驗(yàn)證等步驟，發(fā)現(xiàn)完全平方公式的特點(diǎn)，突破難點(diǎn)1。

2.通過(guò)設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，鞏固所學(xué)知識(shí)，突破難點(diǎn)1。

3.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，突破難點(diǎn)2。

4.采用小組合作學(xué)習(xí)法，讓學(xué)生在討論中互相學(xué)習(xí)、互相啟發(fā)，提高學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解和運(yùn)用能力。

5.給予學(xué)生充分的練習(xí)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握完全平方公式的運(yùn)用，提高學(xué)生的解題能力。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、白板、教學(xué)卡片、計(jì)算器、練習(xí)本等。

2.課程平臺(tái)：人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材、教學(xué)課件、習(xí)題庫(kù)等。

3.信息化資源：互聯(lián)網(wǎng)資源（數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站、在線數(shù)學(xué)課程、教學(xué)視頻等）。

4.教學(xué)手段：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)、小組合作學(xué)習(xí)、案例分析、互動(dòng)討論等。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)完全平方公式的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開場(chǎng)提問(wèn)：“你們知道完全平方公式是什么嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于完全平方公式的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受完全平方公式的魅力或特點(diǎn)。

簡(jiǎn)短介紹完全平方公式的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.完全平方公式基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解完全平方公式的基本概念、組成部分和推導(dǎo)過(guò)程。

過(guò)程：

講解完全平方公式的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹完全平方公式的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

通過(guò)實(shí)例或案例，讓學(xué)生更好地理解完全平方公式的實(shí)際應(yīng)用或作用。

3.完全平方公式案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解完全平方公式的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的完全平方公式案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解完全平方公式的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用完全平方公式解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與完全平方公式相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)完全平方公式的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)完全平方公式的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括完全平方公式的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)完全平方公式在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用完全平方公式。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于完全平方公式的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)為完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、公式及其應(yīng)用。下面是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)梳理：

1.完全平方公式的定義：

完全平方公式是指一個(gè)二次多項(xiàng)式的平方可以表示為兩個(gè)一次多項(xiàng)式的平方和。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，有：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

2.完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程：

完全平方公式的推導(dǎo)可以通過(guò)平方差公式或者完全平方公式來(lái)完成。這里我們使用完全平方公式來(lái)推導(dǎo)：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

推導(dǎo)過(guò)程如下：

(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+2ab+b^2

3.完全平方公式的應(yīng)用：

完全平方公式在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，主要用于解決二次方程、求解函數(shù)的極值、證明恒等式等問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以通過(guò)完全平方公式將一個(gè)二次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次多項(xiàng)式的和，從而使得問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單。

4.完全平方公式的變形：

完全平方公式還可以進(jìn)行一些變形，例如：

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

這個(gè)公式可以通過(guò)將(a+b)^2中的b替換為-b得到。

5.完全平方公式的擴(kuò)展：

完全平方公式不僅可以應(yīng)用于實(shí)數(shù)，還可以擴(kuò)展到復(fù)數(shù)。對(duì)于復(fù)數(shù)a、b，有：

(a+bi)^2=a^2+2abi-b^2

這個(gè)公式可以通過(guò)將實(shí)數(shù)部分的平方、虛數(shù)部分的平方以及實(shí)數(shù)與虛數(shù)乘積的兩倍相加得到。

6.完全平方公式在幾何中的應(yīng)用：

完全平方公式在幾何中也有著重要的應(yīng)用，例如在平面幾何中，完全平方公式可以用于求解直角三角形的邊長(zhǎng)、求解圓的方程等。課后作業(yè)1.請(qǐng)用完全平方公式展開以下表達(dá)式：

(a+b)^2

(a-b)^2

(x+y)^2

答案：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

2.請(qǐng)利用完全平方公式求解以下方程：

3x^2-12x+9=0

答案：

將方程左邊利用完全平方公式進(jìn)行因式分解得：

(3x-3)^2=0

解得：x=1

3.請(qǐng)用完全平方公式證明以下恒等式：

(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2

答案：

(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2

=2a^2+2b^2

4.請(qǐng)用完全平方公式求解以下實(shí)際問(wèn)題：

一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多3米，長(zhǎng)方形的面積為27平方米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

答案：

設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x米，則長(zhǎng)為x+3米。根據(jù)題意得：

(x+3)^2-x^2=27

x^2+6x+9-x^2=27

6x+9=27

解得：x=2

所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2+3=5米，寬為2米。

5.請(qǐng)利用完全平方公式求解以下二次函數(shù)的極值：

f(x)=x^2-4x+4

答案：

將二次函數(shù)寫成完全平方形式得：

f(x)=(x-2)^2

函數(shù)的頂點(diǎn)為(2,0)，所以函數(shù)在x=2時(shí)取得最小值0。教學(xué)反思與總結(jié)今天上的這節(jié)課是關(guān)于完全平方公式的，我覺(jué)得整體教學(xué)效果還是不錯(cuò)的。學(xué)生們對(duì)于完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用掌握得比較好，通過(guò)具體的例子也能夠看到他們能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。

在教學(xué)方法上，我采用了啟發(fā)式教學(xué)法和小組合作學(xué)習(xí)法，讓學(xué)生們通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證等步驟發(fā)現(xiàn)完全平方公式的特點(diǎn)，這樣的教學(xué)方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。同時(shí)，我也注意到了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的個(gè)體差異，通過(guò)小組討論和課堂展示，讓每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的觀點(diǎn)和解決問(wèn)題，提高了他們的自信心和積極性。

在教學(xué)管理方面，我盡量保持課堂秩序，讓每個(gè)學(xué)生都能夠集中注意力。對(duì)于一些容易分心的學(xué)生，我也采取了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和激勵(lì)措施，幫助他們保持學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。

然而，我也意識(shí)到教學(xué)中存在的一些問(wèn)題。例如，部分學(xué)生對(duì)于完全平方公式的理解還有一定的困難，特別是對(duì)于公式的靈活運(yùn)用。在今后的教學(xué)中，我需要更加關(guān)注這部分學(xué)生，通過(guò)更多的例子和練習(xí)，幫助他們鞏固知識(shí)，提高解題能力。

此外，我也發(fā)現(xiàn)課堂上的互動(dòng)環(huán)節(jié)還可以更加深入一些。在今后的教學(xué)中，我會(huì)鼓勵(lì)更多的學(xué)生參與到課堂討論中，讓他們?cè)谒伎己徒涣髦械玫絾l(fā)和學(xué)習(xí)。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.請(qǐng)用完全平方公式展開以下表達(dá)式：

(a+b)^2

(a-b)^2

(x+y)^2

(2x+3y)^2

答案：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2x+3y)^2=(2x)^2+2*2x*3y+(3y)^2

=4x^2+12xy+9y^2

2.請(qǐng)利用完全平方公式求解以下方程：

3x^2-12x+9=0

答案：

將方程左邊利用完全平方公式進(jìn)行因式分解得：

(3x-3)^2=0

解得：x=1

3.請(qǐng)用完全平方公式證明以下恒等式：

(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2

答案：

(a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2

=2a^2+2b^2

4.請(qǐng)用完全平方公式求解以下實(shí)際問(wèn)題：

一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多3米，長(zhǎng)方形的面積為27平方米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

答案：

設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x米，則長(zhǎng)為x+3米。根據(jù)題意得：

(x+3)^2-x^2=27

x^2+6x+9-x^2=27

6x+9=27

解得：x=2

所以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2+3=5米，寬為2米。

5.請(qǐng)利用完全平方公式求解以下二次函數(shù)的極值：

f(x)=x^2-4x+4

答案：

將二次函數(shù)寫成完全平方形式得：

f(x)=(x-2)^2

函數(shù)的頂點(diǎn)為(2,0)，所以函數(shù)在x=2時(shí)取得最小值0。

作業(yè)反饋：

1.對(duì)于作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)指出并給出改進(jìn)建議。例如，如果學(xué)生在展開(a+b)^2時(shí)漏乘了2ab，可以提醒他們?cè)谟?jì)算時(shí)要注意乘法分配律。

2.對(duì)于作業(yè)中表現(xiàn)出色的學(xué)生，給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，以增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力。例如，如果學(xué)生在證明恒等式時(shí)采用了巧妙的方法，可以表?yè)P(yáng)他們的創(chuàng)新思維。

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