專題28 平面向量的概念及線性運算-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題28平面向量的概念及線性運算（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】平面向量的概念 4【考點2】向量的線性運算 5【考點3】共線向量定理的應(yīng)用 6【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.知識梳理知識梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．2．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2021·全國·高考真題）已知向量，若，則．5．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．6．（2020·江蘇·高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是．

考點突破考點突破【考點1】平面向量的概念一、單選題1．（2024·廣西南寧·一模）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C．若與共線，則為或D．存在θ，使得4．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知，，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知四棱錐的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，點E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是.6．（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量.反思提升：平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.【考點2】向量的線性運算一、單選題1．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在中，，.若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河北承德·二模）在中，為中點，連接，設(shè)為中點，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知點O為△ABC內(nèi)的一點，D，E分別是BC，AC的中點，則（

）A．若O為AD中點，則B．若O為AD中點，則C．若O為△ABC的重心，則D．若O為△ABC的外心，且BC＝4，則4．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·上海黃浦·三模）在中，，，的平分線交BC于點D，若，則．6．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形).類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點在上，，點在內(nèi)(含邊界)一點，若，則的最大值為.反思提升：1.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.【考點3】共線向量定理的應(yīng)用一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面上點，，滿足，且，點滿足，動點滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．1或2．（2024·浙江臺州·二模）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，點分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若A，B，C三點共線，則C．若向量與垂直，則的最小值為1D．向量與的夾角正切值的最大值為三、填空題5．（2023·上海黃浦·一模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為.6．（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù).反思提升：利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）在中，，則（

）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點，F(xiàn)為線段上靠近點B的三等分點，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．4．（23-24高一下·吉林長春·階段練習(xí)）在中，為上一點，為上任意一點，若，則的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16二、多選題5．（22-23高三上·安徽阜陽·期末）在中，已知，，則（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ三、填空題8．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足，若，則.9．（2024·山西晉城·一模）已知兩個單位向量，的夾角為，則與的夾角為．10．（2023·上海徐匯·一模）在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為.四、解答題11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．12．（21-22高三下·山西呂梁·開學(xué)考試）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且.(1)求角C；(2)E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，，且，求線段CE的長.【能力篇】一、單選題1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·山東·模擬預(yù)測）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團結(jié)．如圖，五角星是由五個全等且頂角為36°的等腰三角形和一個正五邊形組成．已知當時，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2023·江蘇南京·二模）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2：為正三角形，，，圍成的也為正三角形．若為的中點，①與的面積比為；②設(shè)，則．四、解答題4．（2020·北京朝陽·二模）已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設(shè)，，求證：為定值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2021·浙江金華·三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動點，已知，記，則（

）A．若m+n=3，則M的最小值為3B．若m+n=3，則有唯一C點使M取最小值C．若m·n=3，則M的最小值為3D．若m·n