2025屆高三數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題22線面角大題專(zhuān)練A卷

專(zhuān)題22線面角大題專(zhuān)練A卷1.如圖，四棱錐中，，，，，為正三角形．

Ⅰ求證：；Ⅱ若在線段上有點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，

求直線與平面所成角的正弦值．如圖所示，四棱柱的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿意，，平面與平面的交線為．

證明：直線平面；

已知，，設(shè)與平面所成的角為，求的取值范圍．3.如圖，在三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，，，平面平面．Ⅰ若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求證：平面；Ⅱ已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．4.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面；Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．5.如圖所示，在四棱錐中，，，，．證明：求直線與平面所成角的余弦值．6.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

證明：平面；

若，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值．7.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，二面角的大小為．

證明：平面已知，為線段上的點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)度．8.在四棱錐中，平面，，，，，，是的中點(diǎn)，在線段上，且滿意．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析1.【答案】解：Ⅰ取中點(diǎn)，連接，

，，，則四邊形為矩形，則

，

又為正三角形，所以，

，所以，

又，，平面，

所以平面，平面，

所以，

又

，所以；

Ⅱ由Ⅰ知，，，平面，

故平面，

，點(diǎn)到平面的距離為，所以，

如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

由，可得，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得可取，

，設(shè)與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為

2.【答案】證明：如圖示：連接與交于點(diǎn)，

由條件可知，且，四邊形為平行四邊形，且，

平面，平面平面，

平面平面，故AC，

四棱柱的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面，平面，

故AC，，

平面平面又，

故AC平面，

平面，

解：如圖示：

由可知，，過(guò)點(diǎn)作軸垂直與平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，

設(shè)，，，

則，，

故B，，，

由可知是平面的一個(gè)法向量，而，

故，，

當(dāng)時(shí)，，即

3.【答案】解：Ⅰ，且為棱的中點(diǎn)，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

又，平面，

平面，

，

平面，平面，

平面．

Ⅱ如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意，，，

，，，，

，，，

設(shè)平面，，

則

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

直線與平面所成角的正弦值為．

4.【答案】解：Ⅰ方法一：幾何法

如下圖所示：

在正方體中，且，且，

且，所以，四邊形為平行四邊形，則，

平面，平面，平面；

方法二空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，

則、、、，，，

設(shè)平面的法向量為，由，得

令，則，，則．

又向量，，

又平面，平面；

Ⅱ方法一：幾何法

延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，

又，四邊形為平行四邊形，，

又，，所以平面即平面，

連接，作，垂足為，連接，

平面，平面，，

又，直線平面，

又直線平面，平面平面，

在平面中的射影在直線上，

直線為直線在平面中的射影，為直線與平面所成的角，

依據(jù)直線直線，可知為直線與平面所成的角．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，

，

，

，

即直線與平面所成角的正弦值為．

方法二：向量法

接續(xù)Ⅰ的向量方法，求得平面平面的法向量，

又，

，

直線與平面所成角的正弦值為．

方法三：幾何法體積法

如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)．

因?yàn)椋?/p>

所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在中，易得，

可得．

設(shè)在平面的投影為，

由，得，

整理得．

所以．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

方法四：純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)到平面的距離為，

在中，，

，

所以，易得．

由，得，解得，

設(shè)直線與平面所成的角為，所以．

5.【答案】解：連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又，平面，平面?/p>

所以平面，因?yàn)槠矫妫?；因?yàn)?，所以，又，所以，所以?/p>

又，平面，平面，所以平面．如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，則直線與平面的夾角余弦值為．

6.【答案】證明：取中點(diǎn)，連接，，

直三棱柱中，

所以四邊形為矩形，

因?yàn)椋渣c(diǎn)為中點(diǎn)，

又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

所以，且，，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?/p>

解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，設(shè)，，，則，即

，

解出，，，

所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，，由，得，

令，可得，，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，

所以，解出或．

故的值為或．

7.【答案】證明：在四棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?/p>

，，平面，所以平面，又，平面，

所以，

，所以為二面角的平面角，

所以，又為等邊三角形，，

所以

，又平面，平面，所以

平面；解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又

，所以，又平面，平面，所以，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)，得，

所以，設(shè)平面的法向量為，

則，即不妨令，則，，可得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，解得，所以的長(zhǎng)為．

8.【答案】Ⅰ證明：證法一：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

是的中點(diǎn)，，，，

，且，，且，

，且，四邊形為平行四邊形，

，

平面，平面，

平面．

證法二：，平面，、在平面內(nèi)，

，，，

由題意得、、兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，得，

又，

．

又平面，平面．

Ⅱ解：設(shè)點(diǎn)，