2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練題7

A組1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),則c等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析:區(qū)間(-∞,c-1)和(c+1,+∞)關(guān)于x=c對(duì)稱,故x=c為正態(tài)曲線的對(duì)稱軸,即c=2.答案:B2.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(X>m)=a,則P(X>6-m)等于()A.a B.1-2a C.2a D.1-a解析:因?yàn)橹本€x=m與直線x=6-m關(guān)于直線x=3對(duì)稱,所以P(X>6-m)=1-a.答案:D3.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為φμ,σ(x)=,則()A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=解析:φμ,σ(x)=,∴σ=,μ=2.答案:C4.一批電阻的電阻值X(Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52),現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻,測(cè)得電阻值分別為1011Ω和982Ω,可以認(rèn)為()A.甲、乙兩箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠C.甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠D.甲箱電阻不可出廠,乙箱電阻可出廠解析:∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5,∴μ-3σ=1000-3×5=985,μ+3σ=1000+3×5=1015.∵1011∈(985,1015),982?(985,1015),∴甲箱電阻可出廠,乙箱電阻不可出廠.答案:C5.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,22),則D等于()A.4 B.2 C. D.1解析:因?yàn)閄~N(1,22),所以D(X)=4,所以DD(X)=1.答案:D6.為了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ,22),且正態(tài)分布密度曲線如圖所示.若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是()A.997 B.954 C.819 D.683解析:由題意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,從而屬于正常情況的人數(shù)是1000×0.6826≈683.答案:D7.已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(-3,-1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等,則這個(gè)正態(tài)總體的均值為.

解析:正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間的概率相等說明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線下方的面積相等.另外,因?yàn)閰^(qū)間(-3,-1)和區(qū)間(3,5)的長度相等,說明正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱的.因?yàn)閰^(qū)間(-3,-1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于x=1對(duì)稱,所以正態(tài)總體的均值為1.答案:18.設(shè)隨機(jī)變量X~N(1,22),則Y=3X-1服從的總體分布可記為.

解析:因?yàn)閄~N(1,22),所以μ=1,σ=2.又Y=3X-1,所以E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2,D(Y)=9D(X)=62.∴Y~N(2,62).答案:Y~N(2,62)9.某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:(1)成績(jī)不及格的學(xué)生占多少?(2)成績(jī)?cè)?0~90分內(nèi)的學(xué)生占多少?解:(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,X~N(70,102),則μ=70,σ=10.在60~80分之間的學(xué)生所占的比例為P(70-10<X≤70+10)=0.6826,所以不及格的學(xué)生所占的比例為×(1-0.6826)=0.1587=15.87%,即成績(jī)不及格的學(xué)生占15.87%.(2)成績(jī)?cè)?0~90分內(nèi)的學(xué)生所占的比例為[P(70-2×10<X≤70+2×10)-P(70-10<X≤70+10)]=×(0.9544-0.6826)=0.1359=13.59%,即成績(jī)?cè)?0~90分內(nèi)的學(xué)生占13.59%.10.已知某地農(nóng)民工年均收入X服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)圖象如圖所示.(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的密度函數(shù)的表達(dá)式;(2)求此地農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比.解:設(shè)農(nóng)民工年均收入X~N(μ,σ2),結(jié)合題圖可知,μ=8000,σ=500.(1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式為φμ,σ(x)==,x∈(-∞,+∞).(2)∵P(7500<X≤8500)=P(8000-500<X≤8000+500)=0.6826.∴P(8000<X≤8500)=P(7500<X≤8500)=0.3413=34.13%.即農(nóng)民工年均收入在8000~8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.13%.B組1.已知一次考試共有60名學(xué)生參加,考生的成績(jī)X~N(110,52),據(jù)此估計(jì),大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間應(yīng)是()A.(90,110] B.(95,125]C.(100,120] D.(105,115]解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.∴考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(105,115],(100,120],(95,125]內(nèi)的概率分別應(yīng)是0.6826,0.9544,0.9974.由于共有60人參加考試,故成績(jī)位于上述三個(gè)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)分別是60×0.6826≈41,60×0.9544≈57,60×0.9974≈60.答案:C2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,則P(|X|<1.96)等于()A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975解析:由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),得P(X<1.96)=1-P(X≤-1.96).所以P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=P(X<1.96)-P(X≤-1.96)=1-2P(X≤-1.96)=1-2×0.025=0.950.答案:C3.已知X~N(4,σ2),且P(2<X<6)=0.6826,則σ=,P(|X-2|<4)=.

解析:∵X~N(4,σ2),且P(2<X<6)=0.6826,∴μ=4.結(jié)合3σ原則可知∴σ=2.∴P(|X-2|<4)=P(-2<X<6)=P(-2<X<2)+P(2<X<6)=[P(-2<X<10)-P(2<X<6)]+P(2<X<6)=P(-2<X<10)+P(2<X<6)=0.84.答案:20.844.據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì),在某市的公務(wù)員考試中,考生的綜合評(píng)分X服從正態(tài)分布N(60,102),考生共10000人,若一考生的綜合評(píng)分為80分,則該考生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑诿?

解析:依題意,P(60-20<X≤60+20)=0.9544,P(X>80)=(1-0.9544)=0.0228,故成績(jī)高于80分的考生人數(shù)為10000×0.0228=228.所以該生的綜合成績(jī)?cè)谒锌忌械拿问堑?29名.答案:2295.某建筑工地所需要的鋼筋的長度X~N(8,22),質(zhì)檢員在檢查一大批鋼筋的質(zhì)量時(shí),發(fā)現(xiàn)有的鋼筋長度小于2米,這時(shí),他是讓鋼筋工繼續(xù)用切割機(jī)截鋼筋呢,還是停下來檢修切割機(jī)?解:∵X~N(8,22),∴μ=8,σ=2.而2?(μ-3σ,μ+3σ),所以應(yīng)讓鋼筋工停下來檢修切割機(jī).6.一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種尺寸為10mm的零件,現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè),它們的尺寸分別如下(單位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果機(jī)床生產(chǎn)零件的尺寸Y服從正態(tài)分布,求Y的正態(tài)分布密度函數(shù).解:依題意得μ=(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10.σ2=[(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2]=0.03.即μ=10,σ2=0.03.所以Y的正態(tài)分布密度函數(shù)為φμ,σ(x)=.7.某投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè),這兩個(gè)投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12).投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大,那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案?解:對(duì)于第一個(gè)