景區(qū)滅火數(shù)學(xué)建模模型

PAGEPAGE1西南交通大學(xué)2012年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目：B題參賽隊(duì)員1參賽隊(duì)員2參賽隊(duì)員3姓名甘羅談盼明浩學(xué)號(hào)201038742010388720103878學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)電話134028869451878294300813688127427Email1522407022@576946951@173026319西南交通大學(xué)教務(wù)處西南交通大學(xué)實(shí)驗(yàn)室及設(shè)備管理處西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)踐基地題目：景區(qū)滅火的數(shù)學(xué)模型摘要本文借助matlab的圖像處理功能，運(yùn)用插值擬合，有限元的思想，建立了消防員救火最佳路線和消防站合理選址的優(yōu)化模型，再利用lingo軟件求得最優(yōu)解，由最優(yōu)解確定救火最佳路線和消防站合理選址。附件所給等高線圖為像素為512512的二維灰度圖.利用matlab的imread函數(shù)讀出等高線圖的灰度矩陣.根據(jù)灰度矩陣求得灰度圖中黑色點(diǎn)的坐標(biāo)；補(bǔ)全等高線圖轉(zhuǎn)化為一元插值問(wèn)題;通過(guò)對(duì)線性插值、三體樣條插值、三次多項(xiàng)式插值結(jié)果進(jìn)行分析比較，三次多項(xiàng)式插值效果更為理想。由問(wèn)題一得出的完整等高線圖可求出等高線上對(duì)應(yīng)山體表面上點(diǎn)的三維坐標(biāo)，利用matlab中的SurfaceFittingTool擬合得到景區(qū)的三維地形圖和擬合后的曲面函數(shù)。用matlab算出山體表面的曲面積分，由像素與比例尺的值可得山體表面面積。從消防站A派遣消防員去B點(diǎn)滅火，最佳的滅火路線應(yīng)使得消防員到達(dá)火災(zāi)蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間最短。將火勢(shì)蔓延路線與消防員滅火路線合并為一條曲線，在曲線上均等插入n-1個(gè)點(diǎn)，得到的折線可以近似代替該曲線。折線上n-1各點(diǎn)的位置可以由n-1參變量唯一確定，則最短時(shí)間可由n-1個(gè)參變量唯一確定。求最佳的滅火路線轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為以最短時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)，n-1個(gè)參變量的取值范圍為約束條件的優(yōu)化問(wèn)題。利用lingo軟件可求得最優(yōu)解。根據(jù)實(shí)際情形，消防站選址的合理性由多方面因素決定。本文定義消防站的合理選址應(yīng)使得火災(zāi)發(fā)生對(duì)森林公園造成損失的期望最小。消防員到達(dá)著火蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間由第三問(wèn)的模型可得。再由假設(shè)4、5，可建立以火災(zāi)造成損失的期望最小為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型?？紤]到運(yùn)算量過(guò)大，我們將景區(qū)分成了16個(gè)片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)，近似估計(jì)最優(yōu)選址點(diǎn)的位置。關(guān)鍵詞：灰度矩陣一元插值曲面擬合有限元法優(yōu)化模型等高線圖的補(bǔ)全就轉(zhuǎn)化為一元插值問(wèn)題;對(duì)所給等高線圖進(jìn)行處理,得到只包含缺失部分附近黑色點(diǎn)的18張圖片;將灰度矩陣的行與列分別對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo).當(dāng)同一橫坐標(biāo)上有多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí),只保留其中一個(gè).觀察可知,第1-16張圖片等高線缺失部分可直接由灰度矩陣得到的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)直接插值得到.對(duì)線性插值，三次抽樣插值，三次多項(xiàng)式插值結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)三次多項(xiàng)式插值更為合理。通過(guò)程序1.1將第1-16張圖片插值得到后的圖形顯示在同一窗口中,如圖1.1所示圖1.2第17-18張圖片等高線缺失部分與水平方向垂直；可先對(duì)灰度矩陣轉(zhuǎn)置對(duì)應(yīng)的灰度圖插值擬合，程序1.2運(yùn)行結(jié)果結(jié)果如圖1.2:圖1.2將原等高線，圖1.1，圖1.2對(duì)應(yīng)灰度矩陣的轉(zhuǎn)置的灰度圖在同一圖像窗口中顯示，并將其存為bmp、單色格式。即得補(bǔ)全的等高線圖。如圖1.3圖1.35.2問(wèn)題二的模型建立與求解利用5.1的模型得到的等高線圖結(jié)果，首先將圖片中完整的等高線分離，如圖2.1，圖2.1說(shuō)明：左邊為等高線1，右邊為等高線3再用matlab軟件中的imread函數(shù)將上述8張分離的等高線圖讀出灰度矩陣，然后將8個(gè)矩陣中的等高線上的點(diǎn)的位置取出并合成一個(gè)矩陣C，再取得等高線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y，同時(shí)計(jì)算出各個(gè)等高線上點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，具體matlab程序如附件中程序2.1所示，得到x,y,z后，利用matlab中的SurfaceFittingTool將景區(qū)的三維空間曲面函數(shù)擬合出來(lái)，則可以得到景區(qū)的空間曲面圖，如圖2.2所示，圖2.2同時(shí)SurfaceFittingTool得到擬合的多項(xiàng)式函數(shù)為p00=-553;p10=7.007;p01=-0.2078;p20=-0.03322;p11=0.02264;p02=0.03541;p30=8.848e-005;p21=-0.0002331;p12=-0.0001663;p03=-0.0001483;p40=-8.863e-008;p31=5.859e-007;p22=3.941e-007;p13=4.976e-007;p04=1.904e-007;p50=-8.63e-011;p41=-6.388e-011;p32=-9.059e-010;p23=-1.191e-010;p14=-4.111e-010;p05=-8.165e-011;z=p00+p10*x+p01*y+p20*x^2+p11*x*y+p02*y^2+p30*x^3+p21*x^2*y+p12*x*y^2+p03*y^3+p40*x^4+p31*x^3*y+p22*x^2*y^2+p13*x*y^3+p04*y^4+p50*x^5+p41*x^4*y+p32*x^3*y^2+p23*x^2*y^3+p14*x*y^4+p05*y^5;利用曲面積分公式建立表面積模型s=100用matlab編程即可將上式面積求出，程序如附件中程序2.2，算得結(jié)果為s=26112100。5.3問(wèn)題三的模型建立與求解從景區(qū)消防站A派遣消防員去B點(diǎn)滅火，最佳的滅火路線應(yīng)使得消防員到達(dá)火災(zāi)蔓延區(qū)域的時(shí)間最短。如果消防員滅火路線與火勢(shì)蔓延經(jīng)過(guò)的某條路線相交所需的時(shí)間最短，那么該路線即為消防員最佳的滅火路線。消防員滅火路線與火勢(shì)蔓延經(jīng)過(guò)的曲線合為一條曲線。在曲線上插入n-1個(gè)點(diǎn)，將相鄰點(diǎn)連接，得到一條折線，當(dāng)n-1很大時(shí)，可用該折線代替曲線；以消防站B在水平面上的投影B0為原點(diǎn)，B0B為z軸建立右手空間直角坐標(biāo)系，連接A0與B0兩點(diǎn)，將線段A0B0均等插入n個(gè)點(diǎn)P0i，分別以線段Mi為半徑、B0B為中軸線做n個(gè)圓柱面，與山體表面相交曲線，依次在曲線上選取折點(diǎn)Pi（i=1,2,3…n-1，P0、Pn分別表示B、A）,Pi在水平面上的投影點(diǎn)為P0i；B0P0i與x軸正向夾角為；Pi在水平面上的投影P0i與B在水平面上的投影B0點(diǎn)的距離|B0P0i|=P0i坐標(biāo)為：(|B0P0i||,|B0P0i|,0)Pi坐標(biāo)(xi,yi.,zi)為：(,,f(,))相鄰兩折點(diǎn)之間的距離|PiPi+1|=PiPi+1與z軸的夾角=消防員經(jīng)過(guò)線段PiPi+1所需時(shí)間t1i=火勢(shì)沿線段PiPi+1蔓延所需時(shí)間t2i=在、確定的情況下t1i、t2i可以表示為（i=0,1,2,3…n-1 的函數(shù)，當(dāng)n取定值時(shí)，t1i、t2i是關(guān)于（i=0,1,2,3…n-1）的函數(shù)設(shè)消防員在折線段PmPm+1到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域則有可得m=m（,…..）消防員t時(shí)刻在折線段PmPm+1到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域，關(guān)于t有當(dāng)n取定值時(shí)，t可以表示為,…..的函數(shù)，將min（t(,…..)）作為目標(biāo)函數(shù)，02作為約束條件求最優(yōu)解的問(wèn)題；目標(biāo)函數(shù)：min（t）=min（t(,…..)）約束條件：1.2.3.t1i=，t2i=4.02在、確定的情況下t1i、t2i可以表示為,…..的函數(shù)，t=t(,…..在02上求最優(yōu)解，利用lingo軟件，可解出,…..，,…..唯一確定最佳路線，對(duì)應(yīng)t為消防員到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域的最短時(shí)間。5.4問(wèn)題四的模型建立與求解森林公園中某點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)將造成植被破壞，而植被破壞的面積與火持續(xù)燒的時(shí)間成正相關(guān)，火持續(xù)的時(shí)間主要與消防員到達(dá)的時(shí)間有關(guān)；火災(zāi)造成的損失主要與植被破壞的面積有關(guān)。無(wú)論是從經(jīng)濟(jì)還是生態(tài)考慮，合理的消防站選址應(yīng)該使得火災(zāi)發(fā)生造成的損失期望最小。根據(jù)假設(shè)4、5，火災(zāi)發(fā)生造成的損失期望最小等價(jià)于消防員到達(dá)火勢(shì)蔓延區(qū)域邊界的時(shí)間t的期望最小。假設(shè)點(diǎn)Y：(x，y)為消防站，Y’：（x’,y’）為山上任意一點(diǎn)；消防站為Y,Y’發(fā)生火災(zāi)時(shí)對(duì)應(yīng)的t可由問(wèn)題三的模型求得，記為t（x’,y’）消防站設(shè)為Y時(shí)對(duì)應(yīng)的t的期望：E(Y)=求出山上各點(diǎn)的E(Y)，min（E(Y)）即為火災(zāi)發(fā)生損失的期望的最小值；考慮到t（x’,y’）運(yùn)算量過(guò)大，我們考慮將景區(qū)分成片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)。例如我們可以等高線圖上的比例尺以128128為一個(gè)單位，將山體表面劃分為16個(gè)片區(qū)，取各個(gè)片區(qū)的中心代表該片區(qū)。求出E(Y)=求出山上各點(diǎn)的E(Y)，min（E(Y)）即為火災(zāi)發(fā)生損失的期望的最小值；min（E(Y)）對(duì)應(yīng)的（x,y）即為最佳選址地點(diǎn)。六．評(píng)價(jià)與推廣一．模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)1.模型建立過(guò)程邏輯性強(qiáng)、通俗易懂2.運(yùn)用matlab的進(jìn)行圖像處理，簡(jiǎn)潔直觀3.問(wèn)題三的模型化難為簡(jiǎn)，利用有限元的思想以直代曲，將積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散型優(yōu)化問(wèn)題4.模型四從實(shí)際出發(fā)，對(duì)選址合理性的定義符合實(shí)際缺點(diǎn)matlab，lingo程序運(yùn)行效率不高二．模型的推廣1.模型一、模型二可用于分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)位置樣本給出估計(jì)2.模型三、四貼近現(xiàn)實(shí)，對(duì)工廠，醫(yī)院等公共機(jī)構(gòu)選址具有指導(dǎo)作用八．參考文獻(xiàn)[1]姜啟源謝金星葉俊數(shù)學(xué)模型北京高等教育出版社2011.1[2]韓忠庚數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用北京高等教育出版社2009[3]薛長(zhǎng)虹于凱大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——MATLAB應(yīng)用篇成都西南交通大學(xué)出版社2003附錄問(wèn)題一附錄只包含缺失部分附近黑色點(diǎn)的18張圖片1-16：17-18：程序1.1,對(duì)第1-16張圖片插值擬合的程序clearclca=ones(512,512);imshow(a);holdonform=1:16url=strcat('C:\MATLAB7\work\',num2str(m));imageurl=strcat(url,'.bmp');A=imread(imageurl);k=1;forj=1:512fori=1:512ifA(i,j)==0B(1,k)=j;B(2,k)=i;k=k+1;break;endendendB;x=B(1,:);y=B(2,:);xi=min(B(1,:)):1:max(B(1,:));yi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi,'k')axis([1,512,1,512])holdonclearendholdoffF1=getframe;imwrite(F1.cdata,'test1.bmp')c=imread('test1.bmp')程序1.2,用matlab讀取第17-18張圖片對(duì)應(yīng)的灰度矩陣轉(zhuǎn)置的灰度圖插值擬合clearclca=ones(512,512);imshow(a);holdonform=17:18url=strcat('C:\MATLAB7\work\',num2str(m));imageurl=strcat(url,'.bmp');A=imread(imageurl);A=A';k=1;forj=1:512fori=1:512ifA(i,j)==0B(1,k)=j;B(2,k)=i;k=k+1;break;endendendB;x=B(1,:);y=B(2,:);xi=min(B(1,:)):1:max(B(1,:));yi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi,'k')axis([1,512,1,512]);holdonclearendholdoffF1=getframe;imwrite(F1.cdata,'test2.bmp')c=imread('test2.bmp')程序1.3得到補(bǔ)全的等高線圖的程序clearclca=imread('原圖.bmp')b=imread('test1.bmp')c=imread('test2.bmp')c=c';fori=1:512forj=1:512ifa(i,j)&b(i,j)&c(i,j)==1d(i,j)=1;elsed(i,j)=0;endendenddimshow(d)F1=getframe;imwrite(F1.cdata,'test3.bmp')c=imread('test3.bmp')問(wèn)題二附件:八張海拔高度相等的等高線圖:程序2.1：由等高線圖包含的數(shù)據(jù)二元插值擬合山體曲面Clc;Clear;C=[];a=0;z=[];fors=1:8url=strcat('C:\MATLAB7\work\second\',num2str(s));imageurl=strcat(url,'.bmp');A=imread(imageurl);k=1;fori=1:512forj=1:512ifA(i,j)==0B(1,k)=i;B(2,k)=j;k=k+1;endendendB;C=[CB];B=[];x=C(1,:);y=C(2,:);D=size(C);b=D(:,2)-a;a=D(:,2);E=50*s*ones(1,b);z=[zE];endxyz程序2.2:計(jì)算山體曲面積分Symsxyp00=-553;p10=7.00