【第1部分復(fù)習(xí)進階】專題03《長方體和正方體》-數(shù)學(xué)五升六銜接講義（教師版）人教版

人教版數(shù)學(xué)五升六銜接講義（復(fù)習(xí)進階）專題03長方體和正方體知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識點一：長方體和正方體的認識1、兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。2、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。3、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長度都相等，所有的面都完全相同。4、長方體和正方體都有6個面、12條棱和8個頂點，只是正方體的棱長都相等。正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。知識點二：長方體和正方體的表面積1、長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。2、長方體公式：棱長和＝（長＋寬＋高）×4底面積（占地面積）＝長×寬側(cè)面積（左面、右面）＝寬×高前（后）面積＝長×高表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2沒蓋的表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×23、正方體公式：棱長和＝棱長×12棱長＝棱長和÷12表面積＝棱長×棱長×6（任意一個面積×6）沒蓋的表面積＝棱長×棱長×5知識點三：長方體和正方體的體積1、物體所占空間的大小叫做物體的體積。2、容器所能容納物體的體積通常叫做它們的容積。10、長方體的體積（容積）＝長×寬×高＝底面積×高字母公式：v=abhv=sh3、正方體的體積（容積）＝棱長×棱長×棱長＝底面積×棱長4、讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a×a×a）。5、計量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成，，。6、計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。7、高級單位化成低級單位乘進率；低級單位化成高級單位除以進率。8、、體積和容積單位之間的進率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、長方體或正方體容積的計算方法，跟體積計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高。百分能力達標百分能力達標一、選擇題(共5題；共5分)1．（1分）（2022五下·交城期中）下面圖形折疊后不能圍成正方體的是（）。A． B． C．【答案】B【完整解答】解：折疊后不能圍成正方體的是第二個圖形。

故答案為：B?！舅悸芬龑?dǎo)】看不出來的情況下，直接折疊一下更準確。2．（1分）（2022五下·交城期中）用鐵絲搭一個長8cm，寬5cm，高3cm的長方體框架，共需鐵絲（）cm。A．64 B．16C．32 D．以上答案都不正確【答案】A【完整解答】解：（8+5+3）×4

=16×4

=64（厘米）

故答案為：A。【思路引導(dǎo)】（長+寬+高）×4=長方體的棱長和。3．（1分）（2022五下·遵義期中）一只水桶可以裝15升水，就是說水桶的（）是15升。A．容積 B．表面積 C．體積 D．周長【答案】A【完整解答】解：一只水桶可以裝15升水，就是說水桶的容積是15升。

故答案為：A?！舅悸芬龑?dǎo)】體積和容積的關(guān)系并不是很緊密，只是有一點相似而已，也就是計算方法相同，但是兩者的含義、測量方法、單位名稱卻完全不一樣，且容積指所容納物體的體積，體積指空間大小。體積是從物體的外部來測量的，容積是從物體的內(nèi)部測量的，同一個物體的形狀和位置發(fā)生改變，體積不變，不同物體拼在一起，它們的體積也不發(fā)生改變，另外有容積的物體，它的體積一般比容積大。本題中水桶裝水，是指水桶的內(nèi)部，即指容積。4．（1分）一種果汁采用長方體塑料盒密封包裝，從外面量，盒子長6.5cm、寬4cm、高9.5cm。盒面注明“凈含量250毫升”，這項說明是否真實？（）A．真實 B．絕對不真實 C．無法確定 D．可能真實【答案】B【完整解答】解：6.5×4×9.5

=26×9.5

=247（立方厘米）

247立方厘米＜250毫升，所以絕對不真實。

故答案為：B。

【思路引導(dǎo)】用長乘寬乘高求出長方體盒子的體積，然后與容積比較。注意盒子的容積一定會小于體積才真實。5．（1分）（2022五下·惠來期中）把你的右手握成拳頭，然后將拳頭放人裝滿水的盆中，盆中流出的水（）A．比2毫升少 B．正好2毫升C．比2升多 D．比2毫升多比2升少【答案】D【完整解答】解：把你的右手握成拳頭，然后將拳頭放人裝滿水的盆中，盆中流出的水比2毫升多比2升少。

故答案為：D?！舅悸芬龑?dǎo)】盆中流出的水的體積等于拳頭的體積，則拳頭的體積比2毫升多比2升少。二、判斷題(共5題；共5分)6．（1分）（2022五下·惠來期中）一位病人發(fā)燒，醫(yī)生給他輸了25升的藥水。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：一位病人發(fā)燒，醫(yī)生給他輸了25毫升的藥水。

故答案為：錯誤。【思路引導(dǎo)】根據(jù)實際生活經(jīng)驗以及題干中的具體數(shù)據(jù)來填空。7．（1分）如果兩個長方體體積相等，那么它們的長、寬、高也一定相等。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：兩個長方體體積相等，它們的長、寬、高不一定也相等。原題說法錯誤。

故答案為：錯誤。

【思路引導(dǎo)】兩個長方體體積相等，只能說明長寬高的積相等，不能說明長寬高也一定相等。8．（1分）（2022五下·蓬江月考）一個長方體至少有4個面是長方形。（）【答案】（1）正【完整解答】解：一個長方體至少有4個面是長方形。說法正確。

故答案為：正確?！舅悸芬龑?dǎo)】長方體一般有6個面；每個面都是長方形，特殊情況下有兩個相對的面是正方形，其余4個面是完全相同的長方形。9．（1分）（2022五下·德江期中）一個正方體的棱長擴大3倍，體積就擴大27倍。（）【答案】（1）正【完整解答】解：設(shè)原來正方體的棱長是1厘米，則有：

（3×3×3）÷（1×1×1）

=27÷1

=27，

所以一個正方體的棱長擴大3倍，體積就擴大27倍，說法正確。

故答案為：正確?！舅悸芬龑?dǎo)】正方體的體積=棱長×棱長×棱長，本題設(shè)原來正方體的棱長是1厘米，分別計算出擴大后正方體的體積和擴大前正方體的體積，并相除即可得出答案。10．（1分）（2022五下·金鄉(xiāng)期中）長方體的6個面一定都是長方形，正方體的6個面一定是正方形。（）【答案】（1）錯誤【完整解答】解：長方體的6個面可能都是長方形，正方體的6個面一定是正方形。

故答案為：錯誤?！舅悸芬龑?dǎo)】一般情況下長方體的6個面都是長方形，特殊情況下，長方體相對的兩個面是正方形；正方體的6個面一定是正方形。三、填空題(共9題；共21分)11．（2分）（2022五下·交城期中）5個棱長是1dm的正方體的表面積之和是dm2，把它們排成一行拼成一個長方體，這個長方體的表面積是dm2。A.5B.30C.26D.22【答案】B；D【完整解答】解：1×1×6×5=30（平方分米）

排成一排，長是5分米，寬是1分米，高是1分米

（5×1+5×1+1×1）×2=11×2=22（平方分米）

故答案為：B；D?！舅悸芬龑?dǎo)】正方體的棱長×棱長×6=正方體的表面積，；正方體的表面積×5=5個正方體的表面積；

（長×寬+長×高+寬×高）×2=長方體的表面積。12．（5分）（2022五下·濟南期中）5L＝dm3250mL＝L7.02m3＝m3dm348000cm3＝dm3【答案】5；0.25；7；20；48【完整解答】解：5L＝5dm3

250mL÷1000＝0.25L0.02m3×1000=20dm3，7.02m3＝7m320dm3；

48000cm3÷1000＝48dm3。

故答案為：5；0.25；7；20；48。【思路引導(dǎo)】1升=1立方分米；毫升÷1000=升；立方米×1000=立方分米；立方厘米÷1000=立方分米。13．（3分）（2022五下·惠來期中）長方體和正方體都有個面，面和面相交的線段叫做，一個正方體的棱長總和是96cm，則它的一條棱長為cm?！敬鸢浮?；棱；8【完整解答】解：長方體和正方體都有6個面，面和面相交的線段叫做棱；

96÷12=8（厘米）。

故答案為：6；棱；8。

【思路引導(dǎo)】長方體和正方體都有6個面、12條棱、8個頂點；面和面相交的線段叫做棱；正方體的一條棱長=棱長和÷12。14．（2分）一個長方體長9cm，寬和高都是5cm，這個長方體有個面是長方形。這個長方體的體積是cm3。【答案】4；225【完整解答】解：一個長方體長9cm，寬和高都是5cm，這個長方體有4個面是長方形。

體積：9×5×5=225（cm3）。

故答案為：4；225。【思路引導(dǎo)】因為寬和高相等，所以這個長方體有2個正方形的面，4個長方形的面；用長乘寬再乘高求出長方體的體積即可。15．（1分）（2022五下·遵義期中）一個棱長是5dm的正方體水池，蓄水后水面低于池口2dm，此時蓄水L。【答案】75【完整解答】解：5×5×（5-2）

=25×3

=75（dm3）

=75L。

所以此時蓄水75L。

故答案為：75?！舅悸芬龑?dǎo)】本題根據(jù)蓄水池中水的體積=底面積×高進行解答，所以蓄水池中水的體積=正方體的棱長×正方體的棱長×（正方體的棱長-水面低于池口的距離），代入數(shù)值計算即可得出答案。16．（2分）（2022五下·遵義期中）一個長方體的底面是周長為20厘米的正方形，高4厘米，這個長方體的表面積是，體積是?！敬鸢浮?30平方厘米；100立方厘米【完整解答】解：正方形的邊長=20÷4=5（厘米）；

長方體的表面積=5×5×2+5×4×4

=25×2+20×4

=50+80

=130（平方厘米）；

長方體的體積=5×5×4

=25×4

=100（立方厘米）。

故答案為：130平方厘米；100立方厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)正方形的邊長=正方形的周長÷4即可計算出長方體底面的棱長，長方體底面是正方形時，長方體前后、左右四個面的面積相等（即正方形的邊長×長方體的高），所以長方體的表面積=底面邊長×底面邊長×2+底面邊長×長方體的高×4；長方體的體積=底面邊長×底面邊長×長方體的高，代入數(shù)值計算即可。17．（2分）（2022五下·德江期中）一個長方體長20cm，寬10cm，高8cm。如果把它切成2個完全一樣的長方體，表面積增加最小是，最大是。【答案】160；400【完整解答】解：沿高切，增加的表面積=20×10×2=400（平方厘米）；

沿寬切，增加的表面積=20×8×2=320（平方厘米）；

沿長切，增加的表面積=10×8×2=160（平方厘米）。

因為160＜320＜400，所以表面積增加最小的是160平方厘米，最大是400平方厘米。

故答案為：160；400。【思路引導(dǎo)】沿高切，表面積增加2個長×寬的面的面積；沿寬切，表面積增加2個長×高的面的面積；沿長切，表面積增加2個寬×高的面的面積，分別計算出來，再比較大小即可得出答案。18．（2分）（2021五下·商丘期末）把兩個相同的小正方體拼成一個長方體（如圖），表面積減少了50cm2，每個小正方體的表面積是cm2，拼成的長方體的表面積是cm2。【答案】150；250【完整解答】50÷2=25（cm2）

25×6=150（cm2）

150×2-50

=300-50

=250（cm2）

故答案為：150；250。

【思路引導(dǎo)】觀察圖可知，把兩個相同的小正方體拼成一個長方體，表面積減少了兩個面的面積，減少的面積÷2=一個面的面積，然后用一個面的面積×6=小正方體的表面積；

拼成的長方體表面積=兩個正方體的表面積之和-減少的面積，據(jù)此列式解答。19．（2分）（2021五下·簡陽期末）下圖是用幾個棱長為1cm的正方體積木搭建了一個模型，這個模型的體積是cm3。如果把這個模型補成一個正方體，至少還需要塊同樣的積木。【答案】12；52【完整解答】解：1×12=12（立方厘米）

4×4×4-12

=16×4-12

=64-12

=52（塊）。

故答案為：12；52?！舅悸芬龑?dǎo)】這個模型的體積=平均每個小正方體積木的體積×個數(shù)；至少還需要同樣積木的個數(shù)=大正方體的個數(shù)-現(xiàn)有的個數(shù)；其中，大正方體的個數(shù)=棱長×棱長×棱長=4×4×4=64塊。四、計算題(共1題；共4分)20．（4分）（2020五下·許昌期中）求下面圖形的表面積和體積。（單位：dm）【答案】解：6×6×6=216dm2

6×6×6-2×3×2=204dm3

答：這個圖形的表面積是dm2；體積是204dm3?！舅悸芬龑?dǎo)】將小長方體剩下的面平移出來，那么就形成一個正方體，所以正方體的表面積=棱長×棱長×5；圖形的體積=正方體的體積-長方體的體積，其中正方體的體積=棱長×棱長×棱長，長方體的體積=長×寬×高。五、解答題(共12題；共65分)21．（5分）一個長方體，從前面看到的是一個邊長為4cm的正方形，從上面看到的是一個長6cm、寬4cm的長方形。這個長方體的棱長總和是多少厘米？【答案】解：（6＋4＋4）×4

=（10＋4）×4

=14×4

=56（厘米）

答：這個長方體的棱長總和是56厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】長方體的棱長和=（長＋寬＋高）×4。22．（7分）（2020五下·甌海期中）有一種長方體包裝箱，尺寸如左下圖所示（單位：分米），求它的表面積和體積。（1）（3分）表面積：（2）（4分）體積：【答案】（1）（6×4＋6×8＋4×8）×2

=（24＋48＋32）×2

=（72＋32）×2

=104×2

=208（平方分米）（2）6×4×8

=24×8

=192（立方分米）【思路引導(dǎo)】（1）長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2；（2）長方體的體積=長×寬×高。23．（9分）觀察右圖，回答問題。（1）（3分）兩個儲物箱的形狀都是正方體嗎？（2）（3分）正方體的儲物箱的棱長是多少？哪幾個面完全相同？（3）（3分）長方體的儲物箱的長、寬、高各是多少？哪幾個面完全相同？【答案】（1）解：第一個儲物箱的形狀是正方體，第二個儲物箱的形狀是長方體。（2）解：正方體的儲物箱的棱長是6分米；正方體的6個面完全相同。（3）解：長方體的儲物箱的長、寬、高分別是6分米、7分米和6分米；前面和后面完全相同，都是正方形；上、下、左、右4個面完全相同是長方形，長7分米，寬6分米。【完整解答】（1）觀察可知，第一個儲物箱的形狀是正方體，第二個儲物箱的形狀是長方體；

（2）正方體的儲物箱的棱長是6分米，正方體的6個面完全相同；

（3）長方體的儲物箱的長、寬、高分別是6分米、7分米和6分米；前面和后面完全相同，都是正方形；上、下、左、右4個面完全相同是長方形，長7分米，寬6分米.【思路引導(dǎo)】長方體的特征是：長方體有6個面，每個面都是長方形，也可能相對的兩個面是正方形，相對的面完全相同，長方體有12條棱，相對的棱長度相等，長方體有8個頂點；正方體的特征：6個面，6個面是完全相同的正方形，12條棱，棱的長度相等；長方體中相交于一個頂點的三條棱分別叫作長方體的長、寬、高，一般情況下，把底面中較長的一條棱叫作長，較短的一條棱叫作寬，垂直于底面的棱叫作高，據(jù)此解答.24．（4分）有一個正方體木塊,把它分成兩個長方體木塊后,表面積增加了24cm2,這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米?【答案】解：24÷2×6=72(cm2)【完整解答】24÷2×6

=12×6

=72（平方厘米）

答：這個正方體木塊原來的表面積是72平方厘米.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，一個正方體木塊，把它分成兩個長方體木塊后，表面積增加了兩個底面積，用增加的面積÷2=正方體的底面積，然后用底面積×6=正方體的表面積，據(jù)此列式解答.25．（5分）一個長方體高26cm,如下圖,把它切成兩個小長方體,表面積增加了80cm2,求原來長方體的體積?！敬鸢浮拷猓?0÷2×26=1040(cm3)【完整解答】80÷2×26

=40×26

=1040（cm3）

答：原來長方體的體積是1040cm3.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，將一個大長方體沿與底面平行的方向切成兩個小長方體，表面積增加了兩個大長方體的底面積，用增加的表面積÷2=大長方體的底面積，然后用底面積×高=大長方體的體積，據(jù)此列式解答.26．（5分）用紙皮做一個長1.2米、寬20分米、高60厘米無蓋的長方體箱子用來堆放同學(xué)們收聚的礦泉水空瓶，至少要用多少平方分米的紙皮?【答案】解：1.2米=12分米，60厘米=6分米

12×20+12×6×2+20×6×2=624（平方分米）

答：至少要用624平方分米的紙皮?！舅悸芬龑?dǎo)】需要做一個無蓋的長方體箱子，所以只需求出這個長方體的側(cè)面積和底面積就是做這個長方體箱子需要紙皮多少平方分米，長方體的側(cè)面積=長×高×2+寬×高×2，長方體的底面積=長×寬；1米=10分米，1分米=10厘米。27．（5分）（2022五下·通遼期中）一根長方體木料，它的橫截面的面積是0.14平方米，長是20分米，5根這樣的木料體積一共是多少方？【答案】解：20分米=2米；

0.14×2×5

=0.28×5

=1.4（立方米）

答：5根這樣的木料體積一共是1.4方?！舅悸芬龑?dǎo)】長方體的體積=長方體的底面積×長方體的高，本題中長方體的體積=橫截面的面積×長方體的長，先根據(jù)1米=10分米，將長方體的長轉(zhuǎn)化成米，再根據(jù)5根木料的體積=1根木料的橫截面面積×長方體的長×木料的根數(shù)，代入數(shù)值計算即可。28．（5分）（2022五下·高青期中）把一個長9分米，寬5分米，高3.14分米的長方體鐵塊，熔鑄成一個圓錐，圓錐底面半徑是3分米，高是多少分米？【答案】解：9×5×3.14=141.3（立方分米）

141.3×3÷（3.14×3×3）

=423.9÷28.26

=15（分米）

答：高是15分米?！舅悸芬龑?dǎo)】長方體體積=長×寬×高，長方體體積=圓錐體積，圓錐體積×3÷圓錐的底面積=圓錐的高。29．（5分）（2022五下·德江期中）一個底面積為20平方厘米、高為38厘米的長方體水箱，將一個石塊放入水中，全部浸入，水深30厘米，取出石塊后，水深28厘米，這個石塊的體積是多少？【答案】解：20×（30-28）

=20×2

=40（立方厘米）

答：這個石塊的體積是40立方厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】長方體的體積=長方體的底面積×長方體的高，本題中石塊的體積=長方體水箱的底面積×（放入石塊后的水深-取出石塊后的