概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版） 教案 第4章 數(shù)字特征與極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)教案第4章數(shù)字特征與極限定理授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第4章第1節(jié)數(shù)學(xué)期望課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)數(shù)學(xué)期望、根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征、根據(jù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，并會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字特征。2．會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會(huì)根據(jù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。教學(xué)基本內(nèi)容一．隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值,記為或，即.2．連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱該積分值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記為或，即二．隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1．定理：設(shè)有隨機(jī)變量的函數(shù)，且存在.（1）設(shè)為離散型隨機(jī)變量，，則（2）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則2．定理：設(shè)有隨機(jī)變量（,）的函數(shù)，且存在.（1）若為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為則（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，則三．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)1．設(shè)為常數(shù)，則2．設(shè)為常數(shù)，為隨機(jī)變量，則3．設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則4．5．設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則6．若為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有四．例題講解例1．求下列離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例2．求下列連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：(1)指數(shù)分布；(2)正態(tài)分布.例3．一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從以為參數(shù)的指數(shù)分布，工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元．求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.例4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-1012P0.30.20.40.1例5．設(shè)風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從上的均勻分布，而飛機(jī)某部位受到的壓力F是風(fēng)速V的函數(shù)：（常數(shù)k>0），求F的數(shù)學(xué)期望.例6．設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律為XY1210.250.3220.080.35求.例7．設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求例8．某工廠每天從電力公司得到的電能X（單位：千瓦）服從[10，30]上的均勻分布，該工廠每天對(duì)電能的需要量Y（單位：千瓦）服從[10,20]上的均勻分布，其中X與Y相互獨(dú)立.設(shè)工廠從電力公司得到的每千瓦電能可取得300元利潤(rùn)，如工廠用電量超過(guò)電力公司所提供的數(shù)量，就要使用自備發(fā)電機(jī)提供的附加電能來(lái)補(bǔ)充，使用附加電能時(shí)每千瓦只能取得100元利潤(rùn)．問(wèn)一天中該工廠獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望是多少？例9．例10．設(shè)一電路中電流與電阻是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為試求電壓的數(shù)學(xué)期望。

授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第4章第2節(jié)方差課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)方差及其性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征.參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，并會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的數(shù)字特征，掌握常用分布的數(shù)字特征。2．會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會(huì)根據(jù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。教學(xué)基本內(nèi)容一．隨機(jī)變量的方差1．方差：設(shè)X為隨機(jī)變量，若存在，則稱之為X的方差，記為或，即.稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為.2．若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則3．若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則.4．方差的計(jì)算公式：.二．方差的性質(zhì)1．設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0.2．設(shè)X為隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有.3．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y).4．若相互獨(dú)立，則有5．一些重要分布的期望與方差分布分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布二項(xiàng)分布幾何分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布，例4.12求下列離散型隨機(jī)變量的方差：(1)(0-1)分布；(2)泊松分布.例4.13求下列連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：(1)均勻分布；(2)指數(shù)分布.例4.14甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工某種零件，它們每生產(chǎn)1000件產(chǎn)品所出現(xiàn)的次品數(shù)分別用表示，其分布律如下，問(wèn)哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好？01230.70.20.060.040.80.060.040.1例4.15設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的指數(shù)分布，服從參數(shù)為9的泊松分布，求.授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第3章第3節(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)難點(diǎn)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念教學(xué)基本內(nèi)容一．協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念1．協(xié)方差：設(shè)二維隨機(jī)變量，若存在，則稱它為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，記為，或，即2．相關(guān)系數(shù)：當(dāng)時(shí)，稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)。3.不相關(guān)：當(dāng)時(shí)，稱隨機(jī)變量與不相關(guān)或線性無(wú)關(guān)。4．協(xié)方差的計(jì)算公式：二．協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1..2.3.4.5.6.的充分必要條件是與以概率1具有確定的線性關(guān)系，即，其中為常數(shù).幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）越大，這時(shí)與的線性關(guān)系就越密切，當(dāng)=1時(shí)，與就有確定的線性關(guān)系；反之，越小，說(shuō)明與的線性關(guān)系就越弱，若=0，則表明與之間無(wú)線性關(guān)系，故稱與是不相關(guān)的.可見(jiàn)，的大小確實(shí)是與間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一種度量.（2）若與相互獨(dú)立，則與不相關(guān).反之，若與不相關(guān)，則與卻不一定是相互獨(dú)立的.（3）設(shè)服從二維正態(tài)分布，即，可以證明：（4）對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y）來(lái)說(shuō)，與相互獨(dú)立的充要條件為，現(xiàn)在又知，故對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y）來(lái)說(shuō)，與不相關(guān)等價(jià)于與相互獨(dú)立.三．矩1．設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若存在，則稱它為X的k階原點(diǎn)矩.2．若存在，則稱它為X的k階中心矩.3．若存在，則稱它為X和Y的k+l階混合矩.4．若存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.四．例題講解例1．設(shè)保險(xiǎn)公司對(duì)投保人的汽車保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)分別設(shè)定了免賠額（單位：元），現(xiàn)任選一位同時(shí)投保汽車保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的客戶，X表示其汽車保單的免賠額，Y表示其財(cái)產(chǎn)保單的免賠額，隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y)，.例2．設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布.求，例3．若，且，問(wèn)與是否不相關(guān)？是否相互獨(dú)立？例4．已知求例5．，，授課序號(hào)04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第4章第4節(jié)切比雪夫不等式大數(shù)定律與中心極限定理課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)切比雪夫不等式、切比雪夫大數(shù)定律、伯努力大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律、列維－林德伯格定理和狄莫弗－拉普拉斯定理教學(xué)難點(diǎn)切比雪夫大數(shù)定律、伯努力大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律參考教材作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1.了解切比雪夫不等式。2.了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努力大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定律）。3.了解列維－林德伯格定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）和狄莫弗－拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）。教學(xué)基本內(nèi)容一.切比雪夫不等式1．定理：（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對(duì)于任意，有或二．大數(shù)定律1．定理：（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)，而是事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則當(dāng)時(shí)依概率收斂于.即對(duì)任意，都有，或.2．定理：（辛欽大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，并且有數(shù)學(xué)期望，則在時(shí)依概率收斂于，即對(duì)，都有，或.三.中心極限定理1．定理：(列維—林德伯格定理)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差：則對(duì)任意的都有2．定理：（棣莫弗—拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意，有.四．例題講解例1．設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚時(shí)每盞燈開燈的概率均為0.7，假定所有電燈的開或關(guān)是相互獨(dú)立的，試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率.例2．例3．設(shè)某品牌汽車的