新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第2課時空間中的距離問題課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊

第2課時空間中的距離問題A組1.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內(nèi),且點P(-2,1,4)到平面α的距離為103,則實數(shù)x等于()A.-1 B.-11C.-1或-11 D.-212.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則點A1與BC1所在直線間的距離是().A.62a B.a C.2a D.3.如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=6,則點B1到平面PAD的距離為().(第3題)A.6 B.355 C.64.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是().(第4題)A.5 B.8 C.6013 D.5.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分別是AB,CC1的中點,則點D1到直線GF的距離為.

(第5題)6.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,全部棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則點B1到平面ABC1的距離為.

(第6題)7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,設(shè)點C到平面ABC1D1的距離為d1,點D到平面ACD1的距離為d2,BC到平面ADD1A1的距離為d3,則d1,d2和d3的大小關(guān)系為.

8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點,N為BC的中點.(1)求點M到直線AC1的距離;(2)求點N到平面MA1C1的距離.B組1.已知PD⊥正方形ABCD所在平面,且PD=AD=1,則點C到平面PAB的距離d=().A.1 B.2 C.22 D.2.在空間直角坐標(biāo)系中,定義平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同時為零),點P(x0,y0,z0)到平面α的距離d=|Ax0+By0+Cz0+A.55 B.23.已知二面角α-l-β的平面角為60°,動點P,Q分別在平面α,β內(nèi),點P到β的距離為3,點Q到α的距離為23,則P,Q兩點之間距離的最小值為().A.2 B.2 C.23 D.44.如圖,P是正方形ABCD所在平面外一點,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中點,則點M到平面PAC的距離為.

(第4題)5.設(shè)棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在棱C1C上滑動,則點B1到平面BMD1的距離的最大值是.

6.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱AB上的動點.(1)求證:DA1⊥ED1;(2)若直線DA1與平面CED1的夾角為45°,求AEAB的值(3)寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置(結(jié)論不要求證明).(第6題)7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中點,點P在線段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中點.求:(1)異面直線AM與PQ夾角的余弦值;(2)點M到直線PQ的距離;(3)點M到平面AB1P的距離.(第7題)

參考答案第2課時空間中的距離問題A組1.CPA=(x+2,2,-4),而點P到平面α的距離d=PA·n|n|=103,即|-2(x+22.A如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).(第2題)∴A1B=(0,a,-a),|A1B|=2a,BC1=(-a,0,a),|BC1|=2a.∴點A3.C如圖,以A1B1所在直線為x軸,A1D1所在直線為y軸,A1A所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.(第3題)設(shè)平面PAD的一個法向量是n=(x,y,z).由題意知,B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),∴AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),則由AD·n=0,AP·n=0,連接AB1.∵B1A=(-2,0,2),∴點B1到平面PAD的距離d=B1A·4.C(方法一)∵B1C1∥BC,B1C1?平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1.從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求.如圖①,過點B1作B1E⊥A1B于點E.∵BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面A1BCD1.∴B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離.在Rt△A1B1B中,|B1E|=|A∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為6013①②(第4題)(方法二)如圖②,以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,12,0),D1(0,0,5).設(shè)B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0).設(shè)平面A1BCD1的一個法向量為n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,∴a=0,b=512c,∴又B1B=(0,0,∴點B1到平面A1BCD1的距離為B1B·n|∵B1C1∥平面A1BCD1,∴B1C1到平面A1BCD1的距離為60135.423如圖,以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),連接GD1,于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以GD1在GF方向上的投影數(shù)量為(第5題)所以點D1到直線GF的距離為5-6.217如圖,建立空間直角坐標(biāo)系(第6題)則A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),所以C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).設(shè)平面ABC1的一個法向量為n=(x,y,z),則有C故點B1到平面ABC1的距離d=C1B1·n7.d2<d1<d3由向量法可求得d1=22a,d2=33a,d3=a,故d2<d1<d8.解如圖,由題意知AB,AC,AA1兩兩垂直,所以可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,(第8題)則A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2).(1)直線AC1的一個單位方向向量為s0=0,22,22,MC1=(-2,2,1),故點M到直線AC1(2)設(shè)平面MA1C1的一個法向量為n=(x,y,z),則n⊥A1C1,n所以n·A1C1=0,且n·即(x,y,z)·(0,2,0)=0,(x,y,z)·(2,0,-1)=0.所以y=0,且2x-z=0,取x=1,則n=(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量,與n同向的單位向量為n0=55,0,255.連接MN,因為N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故點N到平面MA1C1的距離d=|MN·n0|=3B組1.C如圖,以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),∴AP=(-1,0,1),AB=(0,1,0),BC=(-1,0,0).(第1題)設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z),則由n·AP=0,n·AB∴點C到平面PAB的距離d=BC·2.B作出正四棱錐P-A'B'C'D',如圖,以底面中心O為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A'(1,1,0),B'(-1,1,0),P(0,0,2).(第2題)設(shè)平面PA'B'的方程為Ax+By+Cz+D=0,將以上3個點的坐標(biāo)代入計算,得A=0,B=-D,C=-12D,所以平面PA'B'的方程為-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以點O到側(cè)面的距離d=3.C作PM⊥β,QN⊥α,垂足分別為點M,N.(第3題)分別在平面α,β內(nèi)作PE⊥l,QF⊥l,垂足分別為點E,F,如圖,連接ME,NF,則ME⊥l,NF⊥l.∴∠PEM為二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,|PE|=|PM|同理可得|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|∴當(dāng)|EF|2取最小值0時,|PQ|2最小,此時|PQ|=23.4.32222如圖,(第4題)則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),從而M(2,1,0),PA=(2,0,-3),PC=(0,2,-3).設(shè)n=(x,y,z)為平面PAC的一個法向量,則n⊥PA,n⊥PC.所以n即2所以x=y=3z2,取z=2,得x=y=3,所以n=(3,3,2)為平面PAC又因為MA=(0,-1,0),所以點M到平面PAC的距離d=MA·n|n|5.63a如圖,以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,a),B(a,a,0),B1(a,a,a),設(shè)M(0,a,b)(0≤b≤a),則BB1=(0,0,a),BM=(-a,0,b),BD1=(-a,-a,a),設(shè)平面BMD1的一個法向量為n=(x(第5題)則n令x=b,得平面BMD1的一個法向量為n=(b,a-b,a),∴點B1到平面BMD1的距離為d=BB1·n|n|=a22·a2-ab6.解如圖,以D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,則(第6題)D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1).設(shè)E(1,m,0)(0≤m≤1).(1)證明:DA1=(1,0,1),ED1=(因為DA1·ED1=1×(-1)+0×(所以DA1⊥ED1.(2)設(shè)平面CED1的一個法向量為v=(x,y,z),則v⊥CD1,v⊥CE,而CD1=(0,-1,1),CE=(1,所以-y+z=0,x+(m-所以v=(1-m,1,1)為平面CED1的一個法向量.因為直線DA1與平面CED1的夾角為45°,所以sin45°=|cos<DA1,v>|,所以即|2-m|2·m2-2m+3=22,解得m=1(3)點E到直線D1C距離的最大值為62,此時點E在點A處7.解如圖,以B為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則(第7題)A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)∵AM=(-2,3,4),PQ=(4,