上海市崇明區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

上海市崇明區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題考生留意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必需涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清晰地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)干脆填寫結(jié)果.】1.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：2.不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)分式不等式計算方法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，解得，即不等式的解集為.故答案為：3.已知復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，求得，再依據(jù)為純虛數(shù)，即可求解.【詳解】，若是純虛數(shù)所以即故答案為：4.若對數(shù)函數(shù)且）的圖象經(jīng)過點，則實數(shù)______.【答案】2【解析】【分析】干脆將點代入計算即可.【詳解】將點代入得，解得故答案為：2.5.設(shè)等比數(shù)列滿意a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【答案】-8【解析】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項公式可得.【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭等比數(shù)列的有關(guān)公式并能敏捷運用，尤其須要留意的是，在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)當(dāng)要分類探討，有時還應(yīng)擅長運用整體代換思想簡化運算過程.6.已知方程組無解，則實數(shù)的值等于______.【答案】【解析】【分析】方程組無解，轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，即可解決.【詳解】由題知，方程組無解，所以直線與直線平行，所以，解得，當(dāng)時，兩直線重合，方程組有多數(shù)解，不滿意題意，當(dāng)時，兩直線平行，方程組有無解，滿意題意，故答案為：7.已知角的終邊與單位圓交于點，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，然后利用誘導(dǎo)公式可計算出，可得答案.【詳解】把代入單位圓，可得，故，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故答案為：.8.將半徑為2的半圓形紙片卷成一個無蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓錐側(cè)面綻開圖即可計算.【詳解】如圖所示，圖1是圓錐(圖2)的側(cè)面綻開圖，，則扇形弧長，設(shè)圓錐底面圓半徑為，則，得，則在Rt中，圓錐的高，故答案為:.9.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得，從而可得切線的斜率，用點斜式寫出切線方程再化簡即可.【詳解】解：因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線方程為：，即或.故答案為：10.設(shè)函數(shù)，若對隨意的實數(shù)x都成立，則的最小取值等于______.【答案】2【解析】【分析】對隨意實數(shù)x都成立，這個條件說明，解方程可得答案.【詳解】對隨意的實數(shù)x都成立，，，又故答案為：211.在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，點P為其內(nèi)部或邊界上一點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積幾何意義去求的取值范圍即可解決.詳解】正六邊形ABCDEF中，過點B作于，則又即，故的取值范圍為故答案為：12.已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點、，P是與在第一象限的交點，當(dāng)時，雙曲線的離心率等于______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)P點是橢圓和雙曲線的交點，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出，，在△中結(jié)合余弦定理即可列出方程求解．【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓離心率為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線離心率為，由題可知：．設(shè)，，則，由①②得，，，代入③整理得，，兩邊同時除以得，，即，即，解得，即．故答案為：【點睛】本題綜合考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是嫻熟應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合焦點三角形中的余弦定理，列出方程組即可求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13、14題每題4分，15、16題每題5分）【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.】13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性以及常見基本函數(shù)的單調(diào)性即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A;的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，因此不是奇函數(shù)，不符合題意，對于B;的定義域為,關(guān)于原點對稱，且，故，因此為奇函數(shù)，但是，故不是上是嚴(yán)格增函數(shù)，不符合題意，對于C;的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，因此不是奇函數(shù)，不符合題意，對于D,的定義域為,關(guān)于原點對稱，且，故，因此為奇函數(shù)，又依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，而，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，符合題意，故選：D14.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分性、必要性的定義進(jìn)行分析推斷即可.【詳解】當(dāng)成立時，明顯，當(dāng)時，例如時，分式?jīng)]有意義，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A15.設(shè)函數(shù)，若對于隨意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再由存在唯一確定的，使得，得，從而得解.【詳解】當(dāng)時，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程的思想，正確理解兩變量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.已知曲線C：，命題p：曲線C僅過一個橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點；命題q：曲線C上的點到原點的最大距離是2.則下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題【答案】A【解析】【分析】結(jié)合均值不等式得到當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，以及，從而可推斷命題q的真假性，檢驗點是否在曲線上即可推斷命題p的真假性.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因此曲線C所圍成的區(qū)域的在圓上或者內(nèi)部，即，故曲線C上的點到原點的最大距離是2，因此命題q為真命題，圓上以及內(nèi)部橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有，其中點明顯在曲線C上，但是不在曲線上，故曲線C僅過一個橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，因此命題p為真命題，故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】17.如圖，長方體中，，與底面ABCD所成的角為.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得長方體高的值，進(jìn)而求得四棱錐的體積；（2）先作出異面直線與所成角，再利用余弦定理求其大小即可解決.【小問1詳解】連接AC，因為平面ABCD，所以是與底面ABCD所成的角.所以，所以，所以.【小問2詳解】聯(lián)結(jié)BD，則，所以就是異面直線與所成的角（或其補角）中，，，所以，又，則所以異面直線與所成角的大小為.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中,為角的對邊，且滿意，且，求的取值范圍.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡函數(shù)可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）依據(jù)正弦定理及二倍角的余弦公式可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問1詳解】由題知，由（），解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為（）；【小問2詳解】依題意，由正弦定理，，因為在三角形中，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，∴，，由于，所以，則，則，又，所以，由，所以的取值范圍是.19.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場地由線段及曲線段圍成.經(jīng)測量，，米，曲線是以為對稱軸的拋物線的一部分，點到、的距離都是米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個矩形游樂場，其中點在線段或曲線段上，點、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于米.設(shè)米，游樂場的面積為平方米.（1）試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；（2）求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）試確定點的位置，使得游樂場的面積最大.（結(jié)果精確到0.1米）【答案】（1）（2）（3）當(dāng)點在曲線段上且其到的距離約為米時，游樂場的面積最大【解析】【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后依據(jù)題意求解析式即可；（2）分別求出在不同線段的解析式，然后計算面積；（3）在不同狀況計算最大值，然后比較兩個最大值就可以得到面積最大值，然后確定的位置.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線段所在拋物線的方程為，由題意可知，點和在此拋物線上，代入可得：，.所以曲線段BC的方程為：.【小問2詳解】由題意，線段的方程為，當(dāng)點在曲線段上時，，當(dāng)點在線段上時，，所以.【小問3詳解】當(dāng)時，，令，得，（舍去）.當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此當(dāng)時，是極大值，也是最大值.當(dāng)時，，當(dāng)時，是最大值.因為，所以當(dāng)時，取得最大值，此時，所以當(dāng)點在曲線段上且其到的距離約為米時，游樂場的面積最大.20.已知橢圓的右焦點為F，左右頂點分別為A、B，直線l過點B且與x軸垂直，點P是橢圓上異于A、B的點，直線AP交直線l于點D.（1）若E是橢圓的上頂點，且是直角三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，求的面積；（3）推斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明.【答案】（1）（2）（3）以BD為直徑的圓與直線PF相切，證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得，然后利用列方程得到，再結(jié)合，解方程得到即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）依據(jù)得到橢圓方程，依據(jù)得到直線AP的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到點坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求面積即可；（3）設(shè)，得到直線AP的方程為，跟直線的方程聯(lián)立得到，BD中點，然后依據(jù)點到直線的距離和半徑的關(guān)系推斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系即可.【小問1詳解】由題意，，，，由題意，，，，故，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)時，橢圓方程為，則，，由對稱性，不妨設(shè)點P在x軸上方，則直線AP的方程為，代入橢圓方程，得，解得（舍去），，所以，所以.【小問3詳解】設(shè)，則，直線AP方程為，令則，所以，BD中點，當(dāng)直線PF的斜率不存在時，方程為；當(dāng)直線PF的斜率不存在時，方程為即，經(jīng)檢驗滿意，故直線PF方程為，點M到直線PF的距離，所以以BD為直徑的圓與直線PF相切.【點睛】方法點睛：涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽視直線斜率為0或不存在等特別情形．強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算實力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知數(shù)列滿意.（1）若數(shù)列的前4項分別為4，2，，1，求的取值范圍；（2）已知數(shù)列中各項互不相同.令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列是常數(shù)列；（3）已知數(shù)列是m（且）個連續(xù)正整數(shù)1，2，…，m的一個排列.若，求m的全部取值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）4或5【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，找到關(guān)于的不等關(guān)系，即可求解.（2）分別從充分性、必要性兩個角度證明即可.（3）對取不同的值進(jìn)行推斷，再對分狀況探討即可.【小問1詳解】由題意，，令，得，即，則或，此時解得或；令，得，即，兩邊同時平方解得.則求交集可得，，即【小問2詳解】必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，所以數(shù)列是常數(shù)列.充分