高中數(shù)學(xué)課堂情景引入經(jīng)典案例

高中數(shù)學(xué)課堂情景引入經(jīng)典案例

目錄

1.集合的含義與表示...........................................................7

2.集合間的基本關(guān)系...........................................................7

3.集合的基本運(yùn)算.............................................................8

4.補(bǔ)集........................................................................8

5.函數(shù)的概念..................................................................8

6.函數(shù)的表示法...............................................................9

7.分段函數(shù)....................................................................9

8.函數(shù)的單調(diào)性...............................................................9

9.函數(shù)的最值.................................................................10

10.奇偶性....................................................................10

11.根式....................................................................10

12.分?jǐn)?shù)指數(shù)累................................................................11

13.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).........................................................11

14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.......................................................11

15.對(duì)數(shù)......................................................................11

16.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)...........................................................12

17.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).........................................................12

18.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.......................................................12

19.W函數(shù)..................................................................12

20.函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例.......................................................13

21.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征...............................................13

22.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征..........................................14

23.空間幾何體的三視圖.......................................................14

24.空間幾何體的直觀圖.......................................................14

25.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積..........................................14

26.球的體積和表面積.........................................................15

27.平面與平面之間的位置關(guān)系.................................................15

28.直線與平面平行的判定.....................................................15

29.平面與平面平行的判定.....................................................15

30.直線與平面平行的性質(zhì).....................................................16

31.平面與平面平行的性質(zhì).....................................................16

第1頁(yè)共80頁(yè)

32.直線與平面垂直的判定.....................................................16

33.平面與平面垂直的判定.....................................................16

34.平面與平面垂直的性質(zhì).....................................................17

35.兩點(diǎn)間的距離公式.........................................................17

36.兩條平行直線間的距離.....................................................17

37.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程..............................................................17

38.圓的一般方程.............................................................18

39.直線與圓的位置關(guān)系.......................................................18

40.圓與圓的位置關(guān)系.........................................................18

41.直線與圓的方程的應(yīng)用.....................................................18

42.空間兩點(diǎn)間的距離公式.....................................................19

43.算法的概念................................................................19

44.程序框圖、順序結(jié)構(gòu).......................................................19

45.條件結(jié)構(gòu).................................................................20

46.循環(huán)結(jié)構(gòu).................................................................20

47.輸入語句、輸出語句和賦值語句............................................20

48.條件語句.................................................................20

49.循環(huán)語句.................................................................21

50.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法......................................21

51.進(jìn)位制....................................................................21

52.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.............................................................21

53.系統(tǒng)抽樣.................................................................22

54.分層抽樣.................................................................22

55.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布............................................22

56.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征......................................22

57.兩個(gè)變量的線性相關(guān).......................................................22

58.隨機(jī)事件的概率...........................................................23

59.概率的意義...............................................................23

60.(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)(randomnumbers)的產(chǎn)生.......................................23

61.幾何概型..................................................................23

62.三角函數(shù).................................................................24

63.任意角....................................................................24

64.弧度制....................................................................25

65.三角函數(shù)的定義...........................................................25

第2頁(yè)共80頁(yè)

66.三角函數(shù)線...............................................................26

67.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系...................................................26

68.誘導(dǎo)公式二、三、四.......................................................26

69.誘導(dǎo)公式五、六............................................................26

70.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.................................................27

71.周期函數(shù)..................................................................27

72.正、余弦函數(shù)的性質(zhì).......................................................28

73.畫函數(shù)y=Asin（o）x+（p）的圖象................................................28

74.函數(shù)y=Asin（cox+（p）的性質(zhì)及應(yīng)用..........................................29

75.向量加法運(yùn)算及其幾何意義.................................................29

76.想一想，向量a、b、c有何關(guān)系？..........................................30

77.向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.................................................30

78.平面向量基本定理.........................................................30

79.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.......................................................31

80.平面向量共線的坐標(biāo)表示...................................................31

81.平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義........................................31

82.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角......................................31

83.平面向量應(yīng)用舉例.........................................................32

84.三角恒等變換.............................................................32

85.兩角差的余弦公式.........................................................32

86.兩角和與差的正弦、余弦...................................................33

87.兩角和與差的正切.........................................................33

88.二倍角的正弦、余弦、正切公式............................................33

89.三角恒等變換.............................................................34

90.解三角形.................................................................34

91.正弦定理..................................................................35

92.余弦定理.................................................................35

93.正、余弦定理的綜合應(yīng)用...................................................35

94.距離問題.................................................................36

95.高度、角度問題...........................................................36

96.數(shù)列......................................................................36

97.數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法...................................................37

98.數(shù)列的遞推公式...........................................................37

99.等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式.................................................37

第3頁(yè)共80頁(yè)

100.等差數(shù)列的性質(zhì)..........................................................38

101.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和......................................................38

102.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.............................................38

103.等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式...............................................39

104.等比數(shù)列的性質(zhì)..........................................................39

105.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和......................................................39

106.數(shù)列求和................................................................40

107.不等式..................................................................40

108.不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)..................................................41

109.不等式性質(zhì)的應(yīng)用........................................................41

110.一元二次不等式及其解法...................................................41

111.含參數(shù)一元二次不等式的解法..............................................42

112.二元一次不等式(組)與平面區(qū)域............................................42

113.線性規(guī)劃的概念..........................................................43

114.線性規(guī)劃的應(yīng)用..........................................................43

115.基本不等式..............................................................43

116.基本不等式的應(yīng)用一證明與最值問題.......................................43

117.邏輯用語................................................................44

118.命題..................................................................44

119.四種命題間的相互關(guān)系.....................................................45

120.充分條件與必要條件......................................................45

121.充要條件習(xí)題課..........................................................45

122.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞........................................................46

123.非(not).....................................................................................................................................46

124.全稱量詞與存在量詞.......................................................46

125.含有一個(gè)量詞的命題的否定...............................................47

126.圓錐曲線................................................................47

127.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程........................................................48

128.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)......................................................48

129.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程......................................................48

130.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)....................................................49

131.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程......................................................50

132.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)....................................................50

133.導(dǎo)數(shù).....................................................................50

第4頁(yè)共80頁(yè)

134,導(dǎo)數(shù)的概念................................................................51

135.導(dǎo)數(shù)的幾何意義..........................................................51

136.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式............................52

137.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則..........................................................52

138.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)......................................................52

139.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)........................................................52

140.函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)..................................................53

141.生活中的優(yōu)化問題舉例....................................................53

142.統(tǒng)計(jì).....................................................................53

143.回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.........................................54

144.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用.......................................54

145.推理與證明..............................................................54

146.合情推理................................................................55

147.演繹推理................................................................56

148.綜合法與分析法..........................................................56

149.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義.....................................58

150.框圖.....................................................................59

151.結(jié)構(gòu)圖.................................................................60

152.邏輯用語................................................................60

153.命題...................................................................60

154.四種命題..................................................................61

155.四種命題間的相互關(guān)系....................................................62

156.充分條件與必要條件.......................................................62

157.充要條件................................................................62

158."且''與"或”...............................................................62

159.“非”......................................................................63

160.全稱量詞1.4.2存在量詞................................................63

161.含有一個(gè)量詞的命題的否定................................................63

162.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程........................................................63

163.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)......................................................64

164,直線與橢圓的位置關(guān)系......................................................64

165.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程......................................................64

166.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)....................................................64

167.直線與雙曲線的位置關(guān)系..................................................65

第5頁(yè)共80頁(yè)

168.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程......................................................65

169.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)....................................................65

170.直線與拋物線的位置關(guān)系..................................................66

171.空間向量.................................................................66

172.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算......................................................66

173.空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.........................................66

174.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示..................................................67

175.空間向量與平行關(guān)系......................................................67

176.空間向量與垂直關(guān)系......................................................67

177.空間向量與空間角、距離..................................................67

178.變化率問題..............................................................68

179.導(dǎo)數(shù)的概念..............................................................68

180.導(dǎo)數(shù)的幾何意義..........................................................68

181.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)......................................................68

182.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.................................68

183.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)......................................................69

184.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)........................................................69

185.函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)..................................................69

186.生活中的優(yōu)化問題舉例....................................................69

187.曲邊梯形的面積與汽車行駛的路程.........................................70

188.定積分的概念............................................................70

189.微積分基本定理..........................................................70

190.合情推理................................................................71

191.綜合法與分析法..........................................................71

192.反證法...................................................................71

193.數(shù)學(xué)歸納法..............................................................72

194.數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念..................................................72

195.復(fù)數(shù)的幾何意義..........................................................72

196.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義.....................................73

197.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算..................................................73

198.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.....................................73

199.兩個(gè)基本原理的應(yīng)用......................................................73

200.排列（一）...............................................................74

201.排列（二）.................................................................74

第6頁(yè)共80頁(yè)

202.組合（一）...............................................................74

203.組合（二）.................................................................75

204.二項(xiàng)式定理..............................................................75

205.“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)...........................................76

206.離散型隨機(jī)變量及其分布列................................................76

207.離散型隨機(jī)變量..........................................................77

208.離散型隨機(jī)變量的分布列..................................................77

209.條件概率................................................................77

210.事件的獨(dú)立性............................................................78

211.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布..................................................78

212.離散型隨機(jī)變量的均值....................................................78

213.離散型隨機(jī)變量的方差....................................................79

214.正態(tài)分布................................................................79

215.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用.......................................80

1.集合的含義與表示

一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他請(qǐng)教數(shù)

學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么？”集合是不加定義的概念，數(shù)

學(xué)家很難回答那位漁民.

有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚在網(wǎng)中

跳動(dòng).數(shù)學(xué)家非常激動(dòng)，高興地告訴漁民：“這就是集合！”

問題1：數(shù)學(xué)家說的集合是指什么？

問題2：網(wǎng)中的“大魚”能構(gòu)成集合嗎？

2.集合間的基本關(guān)系

第7頁(yè)共80頁(yè)

根據(jù)集合的定義，我們知道集合有無數(shù)多個(gè)，可以用集合來區(qū)分事物.如（四

足動(dòng)物｝，｛兩足動(dòng)物｝,｛綠色植物｝,｛菌類植物｝,｛植物｝，｛動(dòng)物｝，｛汽車｝.但

有些集合之間有密切的關(guān)系.如｛四足動(dòng)物｝與｛動(dòng)物｝,前一個(gè)集合的元素都是后

一個(gè)集合的元素，且后一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)比前一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)多很多，這

兩個(gè)集合之間的關(guān)系如何用簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？學(xué)完本節(jié)內(nèi)容就明白了!

3.集合的基本運(yùn)算

已知一個(gè)班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個(gè)班有多

少是獨(dú)生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對(duì)這一問題做出判

斷嗎？

事實(shí)上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出

的條件不足以判斷這個(gè)班獨(dú)生子女的人數(shù)，為了解決這個(gè)問題，我們還必須知道

“有兄弟且有姐妹的同學(xué)的人數(shù)”.應(yīng)用本小節(jié)集合運(yùn)算的知識(shí)，我們就能清晰

地描述并解決上述問題了.

4.補(bǔ)集

如果你所在班級(jí)共有60名同學(xué)，要求你從中選出56名同學(xué)參加體操比賽，

你如何完成這件事呢？

你不可能直接去找張三、李四、王五、……，一一確定出誰去參加吧？如果

按這種方法做這件事情，可就麻煩多了.若確定出4位不參加比賽的同學(xué)，剩下

的56名同學(xué)都參加，問題可就簡(jiǎn)單多了.不要小看這個(gè)問題的解決方法，它可

是這節(jié)內(nèi)容（補(bǔ)集）的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ).

5.函數(shù)的概念

某人到一個(gè)水果店去買西瓜，價(jià)格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元，6

斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元.此人挑了一個(gè)西瓜，稱

重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧.可這位聰明的顧客馬上說，你

不僅沒少要，反而多收了我的錢.當(dāng)顧客講出理由，店主只好承認(rèn)了錯(cuò)誤，照實(shí)

收了錢.同學(xué)們，你知道顧客是怎么曉得店主騙人的嗎？

第8頁(yè)共80頁(yè)

6.函數(shù)的表示法

如果一個(gè)人極有才華，我們會(huì)用“才高八斗”來形容他；如果一個(gè)人兼有文

武才能，我們會(huì)用“出將入相”來形容他；如果一個(gè)人是稀有而可貴的人才，我

們會(huì)用“鳳毛麟角”來形容他；如果一個(gè)人品行卓越，天下絕無僅有，我們會(huì)用

“斗南一人”來形容他.那么對(duì)于函數(shù)，又有哪些不同的表示方法呢？

7.分段函數(shù)

某魔術(shù)師猜牌的表演過程是這樣的，表演者手中持有六張撲克牌，不含王牌

和牌號(hào)數(shù)相同的牌，讓6位觀眾每人從他手里任摸一張，并囑咐摸牌時(shí)看清和

記住自己的牌號(hào)，牌號(hào)數(shù)是這樣規(guī)定的，A為1,J為11,。為12,K為13,其

余的以牌上的數(shù)字為準(zhǔn)，然后，表演者讓他們按如下的方法進(jìn)行計(jì)算，將自己的

牌號(hào)乘2加3后乘5,再減去25,把計(jì)算結(jié)果告訴表演者（要求數(shù)值絕對(duì)準(zhǔn)確）,

表演者便能立即準(zhǔn)確地猜出誰拿的是什么牌，你能說出其中的道理嗎？

8.函數(shù)的單調(diào)性

德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學(xué)習(xí)之后立即開始，而且遺忘的進(jìn)

程并不是均勻的，最初遺忘速度較快，以后逐漸緩慢.他認(rèn)為“保持和遺忘是時(shí)

間的函數(shù)”，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線，即著名的艾賓浩斯記憶

遺忘曲線.如下圖：

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這條曲線告訴我們，學(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進(jìn)程是不均衡的，記

憶的最初階段遺忘的速度很快，后來就逐漸變慢了.這條曲線表明了遺忘規(guī)律是

“先快后慢”.通過這條曲線能說明什么數(shù)學(xué)問題呢？

9.函數(shù)的最值

你知道2008年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間為什么由原定的7月25日推遲到8

月8日嗎？

通過查閱資料，我們了解到開幕式推遲的主要原因是天氣，北京的天氣到8

月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國(guó)

際體育賽事.

在日常生活中，我們會(huì)關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化（如食品的價(jià)格、燃油價(jià)格等）,

所有這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變

大還是變小的問題，也就是本節(jié)我們所要研究的函數(shù)的最值問題.

10.奇偶性

大自然是一個(gè)真正的設(shè)計(jì)師，它用對(duì)稱的方法創(chuàng)造了千百萬種不同的生

命.被譽(yù)為“上海之鳥”的浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的設(shè)計(jì)模型，是一只碩大無比、展開雙

翅的海鷗.它的兩翼呈對(duì)稱狀，看上去舒展優(yōu)美，它象征著浦東將展翅高飛，飛

向更高、更廣闊的天地，創(chuàng)造更新、更宏偉的業(yè)績(jī).一些函數(shù)的圖象也有著如此

美妙的對(duì)稱性，那么這種對(duì)稱性體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

11.根式

關(guān)于根號(hào)的故事，最有價(jià)值和意義的當(dāng)屬也的發(fā)現(xiàn)，它導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)

危機(jī)，并促使了邏輯學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展.

公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派，名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，畢達(dá)哥拉斯

學(xué)派提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石.而“一切數(shù)均可表示

成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰.

對(duì)于這一理論，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為1的

正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)

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表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示.希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)

V2的誕生.小小也的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大的風(fēng)暴.史稱

“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.希帕索斯也因發(fā)現(xiàn)了根號(hào)2,憾動(dòng)了學(xué)派的基石而被扔進(jìn)

大海.

12.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

牛頓是大家所熟悉的物理學(xué)家，你知道他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)嗎？他在1676年

6月13日寫給萊布尼茨的信里面說：“因?yàn)閿?shù)學(xué)家將這，。加，叔如等寫成

L1—11111

&4等，所以可將g,...寫成,。2…；將)—,菰；…寫成相I，a

晨3…”正是由于牛頓的這一發(fā)現(xiàn)，才使得正整數(shù)指數(shù)累推廣到了任意實(shí)數(shù)

指數(shù)幕.本節(jié)我們就一起來探究一下指數(shù)幕的擴(kuò)充過程.

13.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

2010年11月1日，全國(guó)人口普查全面展開，而2000年我國(guó)約有13億人

□.我國(guó)政府現(xiàn)在實(shí)行計(jì)劃生育政策，人口年增長(zhǎng)率較低.若按年增長(zhǎng)率1%計(jì)

算，到2010年底，我國(guó)人口將增加多少？到2020年底，我國(guó)人口總數(shù)將達(dá)到

多少？如果我們放開計(jì)劃生育政策，年增長(zhǎng)率是2%,甚至是5%,那么結(jié)果將

會(huì)是怎樣的呢？會(huì)帶來災(zāi)難性后果嗎？

14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并能與氧結(jié)合形成二氧化碳后進(jìn)

入所有活組織，先被植物吸收，后被動(dòng)物納入.只要植物或動(dòng)物生存著，它們就

會(huì)持續(xù)不斷地吸收碳14,在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)

停止呼吸碳14,其組織內(nèi)的碳14便開始衰變并逐漸消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)，

只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，就可推斷其年代.這就是考古學(xué)家常用的

碳14測(cè)年法.你知道生物體內(nèi)碳14的衰減有著怎樣的變化規(guī)律嗎？

15.對(duì)數(shù)

“對(duì)數(shù)”(logarithm)一詞是納皮爾首先創(chuàng)造的，意思是“比數(shù)”.他最早用

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“人造的數(shù)”來表示對(duì)數(shù).

俄國(guó)著名詩(shī)人萊蒙托夫是一位數(shù)學(xué)愛好者，傳說有一次他在解答一道數(shù)學(xué)

題時(shí)，冥思苦想沒法解決，睡覺時(shí)做了一個(gè)夢(mèng)，夢(mèng)中一位老人提示他解答的方法,

醒后他真的把此題解出來了，萊蒙托夫把夢(mèng)中老人的像畫了出來，大家一看竟是

數(shù)學(xué)家納皮爾，這個(gè)傳說告訴我們：納皮爾在人們心目中的地位是多么地高！那

么，“對(duì)數(shù)”到底是什么呢？學(xué)完本節(jié)內(nèi)容就明白了！

16.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

已知對(duì)數(shù)logs64,log264,log28,log464,log48.

對(duì)數(shù)logs64的值與對(duì)數(shù)log264和log28的值有什么關(guān)系？

對(duì)數(shù)log864的值與對(duì)數(shù)log464和log48的值有什么關(guān)系？

由上面的問題你能得出什么結(jié)論？

17.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

我們所處的地球正當(dāng)壯年，地殼運(yùn)動(dòng)還非常頻繁，每年用地震儀可以測(cè)出的

地震大約有500萬次，平均每隔幾秒鐘就有一次，其中3級(jí)以上的大約只有5萬

次，僅占1%,7級(jí)以上的大震每年平均約有18次，8級(jí)以上的地震每年平均僅1

次，那么地震的震級(jí)是怎么定義的呢？這里面就要用到對(duì)數(shù)函數(shù).

18.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一個(gè)駕駛員喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒

之后，血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度減少.為了保證交通安全，某地

交通規(guī)則規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量應(yīng)不大于0.08mg/mL,問若喝了少量酒

的駕駛員至少過多少時(shí)間才能駕駛？

19.塞函數(shù)

數(shù)學(xué)史上很早就借用“事”字，起先用于表示面積，后來擴(kuò)充為表示平方或

立方.1859年中國(guó)清末大數(shù)學(xué)家李善蘭(1811?1882)譯成《代微積拾級(jí)》一書，

創(chuàng)設(shè)了不少數(shù)學(xué)專有名詞，如函數(shù)、極限、微分、積分等，并把“Power”這個(gè)詞

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譯為“毒”.這樣“幕”就轉(zhuǎn)譯為若干個(gè)相同數(shù)之積.

大約到15世紀(jì)，人們才意識(shí)到要用一個(gè)縮寫的方式來表示若干個(gè)相同數(shù)的

乘積.直到17世紀(jì)才開始出現(xiàn)在事的符號(hào)中將指數(shù)與底數(shù)分開來表示的趨勢(shì).

1636年蘇格蘭人休姆(Hume)引進(jìn)了一種較好的記法，他用羅馬數(shù)字表示指

數(shù)，寫在底數(shù)的右上角，如“A不，寫作“A"'"，這種記法與現(xiàn)在相比較，除了數(shù)

字采用羅馬數(shù)字外，其余完全一樣.一年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒將其進(jìn)行了

改進(jìn)，把羅馬數(shù)字改用阿拉伯?dāng)?shù)字，成了今天的樣子。此后由英國(guó)數(shù)學(xué)家渥里

斯(Wallis,1616?1703)、牛頓等人分別引入負(fù)指數(shù)基和分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念及符

號(hào)，從而使基的概念及符號(hào)發(fā)展得更完備了。那么，什么是累？暴與又有什

么關(guān)系呢？

20.函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了

擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天多售出2件.于是商場(chǎng)經(jīng)理決定每件

襯衫降價(jià)15元.那么經(jīng)理的決定正確嗎？

這需要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題用函數(shù)模型來解決.

21.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

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觀察下列空間幾何體：有什么共同特征？

22.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

觀察下列實(shí)物圖，你能說明由該實(shí)物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同

嗎？

23.空間幾何體的三視圖

從不同角度看廬山，有古詩(shī)：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同；不識(shí)廬

山真面目，只緣身在此山中.”對(duì)于我們所學(xué)幾何體，從不同方向看到的形狀也

各有不同，我們通常用三視圖把幾何體畫在紙上.

24.空間幾何體的直觀圖

皮影戲，又稱影子戲或燈影戲，是一種用燈光照射獸皮或紙板做成的人物剪

影以表演故事的民間戲曲.表演時(shí)，藝人們?cè)诎咨徊己竺?，一邊操縱戲曲人物,

一邊用當(dāng)?shù)亓餍械那{(diào)唱述故事，同時(shí)配以打擊樂器和弦樂，有濃厚的鄉(xiāng)土氣

息.在河南、山西等地的農(nóng)村，這種拙樸的民間藝術(shù)形式很受人們的歡迎.皮影

戲和太陽光照射成像都具備光線、不透明物體和投影面這些相同的條件.皮影戲

中的成像與太陽光成像原理一樣嗎？

25.柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

北京奧運(yùn)會(huì)結(jié)束后，國(guó)家對(duì)體育場(chǎng)館都進(jìn)行了改造，從專業(yè)比賽場(chǎng)館逐步成

為公眾觀光、健身的綜合性體育場(chǎng)館，國(guó)家游泳中心也完成了上述變身，新增了

內(nèi)部開放面積，并建成了大型的水上樂園.經(jīng)營(yíng)方出于多種考慮，近幾年內(nèi)“水

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立方”外墻暫不承接商業(yè)化廣告，但出于長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，決定為水立方外墻訂制特殊

顯示屏，屆時(shí)“水立方”將重新煥發(fā)活力，大放異彩.能否計(jì)算出“水立方”外

墻所用顯示屏的面積？

26.球的體積和表面積

觀察下面的幾何體，你能求出它們的體積和表面積嗎？

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系觀察下圖中的NAOB與NA'O'B'.

這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？

27.平面與平面之間的位置關(guān)系

觀察我們的教室，教室的墻面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光燈抽

象成一條直線，那么日光燈所在直線與墻面、地面、天花板有何位置關(guān)系？

28.直線與平面平行的判定

門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只要門扇不被關(guān)閉，不論

轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置，它能活動(dòng)的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面（墻

面）存在不變的位置關(guān)系.

29.平面與平面平行的判定

2011年10月160,在日本舉行的世界體操錦標(biāo)賽上，中國(guó)男子體操隊(duì)在

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男團(tuán)奪冠后，隊(duì)長(zhǎng)陳一冰在吊環(huán)比賽中獲得冠軍，這是他第四次獲得世錦賽吊環(huán)

冠軍.吊環(huán)項(xiàng)目對(duì)運(yùn)動(dòng)員雙臂力量要求很高，所有動(dòng)作均由雙臂支撐完成.“水

平十字”是吊環(huán)的標(biāo)志性動(dòng)作，要求運(yùn)動(dòng)員在雙臂支撐下，在空中將身體舒展，

所形成的平面與地面平行，身體軀干與雙臂要形成“十字”形，且需靜止兩秒以

上.在比賽中，裁判只要觀察運(yùn)動(dòng)員雙臂、軀干是否與地面平行，即可判斷該動(dòng)

作是否標(biāo)準(zhǔn).

30.直線與平面平行的性質(zhì)

將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在的直線與桌面平行，觀察過書脊的

每頁(yè)紙和桌面的交線與書脊的位置.

31.平面與平面平行的性質(zhì)

2010年在上海舉行的世界博覽會(huì)給全世界的游客留下了深刻的印象，作為

東道主的