高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)演練知能檢測(cè) 文

第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)[全盤(pán)鞏固]1．二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋t圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是()A．－4B．4C．－2D．2解析：選A二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.2．下面給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是()A．①y＝xeq\f(1,3)，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1D．①y＝xeq\f(1,3)，②y＝xeq\f(1,2)，③y＝x2，④y＝x－1解析：選B函數(shù)y＝x2的定義域、值域分別為R和[0，＋∞)，且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故該函數(shù)應(yīng)與圖象②對(duì)應(yīng)；函數(shù)y＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)的定義域、值域都是[0，＋∞)，故該函數(shù)應(yīng)與圖象③對(duì)應(yīng)；函數(shù)y＝x－1＝eq\f(1,x)，該函數(shù)應(yīng)與圖象④對(duì)應(yīng)，故排除選項(xiàng)C，D.對(duì)于函數(shù)y＝xeq\f(1,3)，隨著x的增大，函數(shù)圖象向x軸彎曲；而對(duì)于函數(shù)y＝x3，隨著x的增大，函數(shù)圖象向y軸彎曲，故圖象①應(yīng)與函數(shù)y＝x3對(duì)應(yīng)．3．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象是()ABCD解析：選D∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向上，且與y軸的交點(diǎn)(0，c)在負(fù)半軸上．4．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(3,0)，則函數(shù)f(x)()A．在(－∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增B．在(－∞，3)上單調(diào)遞增C．在[1,3]上單調(diào)遞增D．單調(diào)性不能確定解析：選A由已知可得該函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為x＝2，又二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是單調(diào)遞減的，在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的．5．方程x2＋ax－2＝0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))解析：選C令f(x)＝x2＋ax－2，由題意，知f(x)圖象與x軸在[1,5]上有交點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f5≥0.))解得－eq\f(23,5)≤a≤1.6．(·衢州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)＜f(x2)C．f(x1)＞f(x2)D．f(x1)與f(x2)的大小不能確定解析：選B函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝－1，設(shè)x0＝eq\f(x1＋x2,2)，由0＜a＜3，得到－1＜eq\f(1－a,2)＜eq\f(1,2)，又x1＜x2，用單調(diào)性和離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近作判斷，故選B.7．若y＝xa2－4a－9是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，則整數(shù)a解析：∵函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，∴a2－4a∴2－eq\r(13)＜a＜2＋eq\r(13)，又函數(shù)是偶函數(shù)，∴a2－4a∴整數(shù)a的值可以是－1,1,3或5.答案：－1,1,3或58．二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式為_(kāi)_______．解析：依題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－1，又其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝eq\f(1,2).∴f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－1.答案：f(x)＝eq\f(1,2)(x－2)2－19．(·海口模擬)二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)任意x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，則x的取值范圍是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x＝2為對(duì)稱軸，由于二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)中距對(duì)稱軸較近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)較小，∴|1－2x2－2|＜|1＋2x－x2－2|，即|2x2＋1|＜|x2－2x＋1|，∴2x2＋1＜x2－2x＋1，∴－2＜x＜0.答案：(－2,0)10．設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，y＝f(x)的表達(dá)式是冪函數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,8))).求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達(dá)式．解：設(shè)在[－1,1)上，f(x)＝xn，由點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,8)))在函數(shù)圖象上，求得n＝3.令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x(1)當(dāng)a＝2，x∈[－2,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，對(duì)稱軸x＝－eq\f(3,2)∈[－2,3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(2a－1,2).①當(dāng)－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)滿足題意；②當(dāng)－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即綜上可知a＝－eq\f(1,3)或－1.12．(·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．(1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a＞1)，∴f(x)在[1，a]上是減函數(shù)．又定義域和值域均為[1，a]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a，,fa＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a＋5＝a，,a2－2a2＋5＝1，))解得a＝2.(2)∵f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2∵對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,3]．[沖擊名校]1．對(duì)于任意a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范圍是()A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(3，＋∞)解析：選Bf(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＞0，,g－1＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2＞0，,x2－5x＋6＞0.))解得x＞3或x＜1，故選B.2．已知函數(shù)f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0,3)B．[3,9)C．[1,9)D．[0,9)解析：選D據(jù)題意只需轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≤0時(shí)，ax2－(3－a)·x＋1>0恒成立即可．結(jié)合f(x)＝ax2－(3－a)x＋1的圖象，當(dāng)a＝0時(shí)驗(yàn)證知符合條件；當(dāng)a≠0時(shí)必有a>0，當(dāng)x＝eq\f(3－a,2a)≥0時(shí)，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a≤3；當(dāng)x＝eq\f(3－a,2a)<0時(shí)，只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－a,2a)))>0即可，解得3<a<9.綜上所述可得a的取值范圍是0≤a＜9.[高頻滾動(dòng)]1．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，則下列說(shuō)法一定正確的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)＋1為奇函數(shù)D．f(x)＋1為偶函數(shù)解析：選C法一：根據(jù)題意，令x1＝x2＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1為奇函數(shù)．法二：(特殊函數(shù)法)由條件f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1可取f(x)＝x－1，而f(x)＋1＝x是奇函數(shù)．2．設(shè)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的三個(gè)命題：①y＝f(x)是周期函數(shù)；②y＝f(x)的圖象