高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 1.1 函數(shù)

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

§1-1函數(shù)

§1-2極限的概念

§1-3極限的運(yùn)算

§1-4無窮小與無窮大

§1-5函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的概念

函數(shù)的三種表示方法

函數(shù)的幾種性質(zhì)

反函數(shù)

初等函數(shù)§1-1函數(shù)內(nèi)容提要1．函數(shù)的定義在工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的研究中，常常遇到不同的量，例如時間、速度、溫度、成本、利潤等等．這些量可以分為兩大類：其中，保持某一數(shù)值不變的量稱為常量；而在一定范圍內(nèi)可以取不同數(shù)值的量稱為變量。函數(shù)的概念一引例1【銀行存款】銀行的存款本金A0

，年利率為r，t年末A0

將增值為At，若以年為期來計算利息，則一年末的本利和；兩年末的本利和；

……類推之，年末的本利和。由上述例子可以看出，我們在研究事物的變化時，通過對客觀事物的分析，建立各因素之間的關(guān)系式，這種關(guān)系式通過數(shù)量關(guān)系揭示事物的變化和發(fā)展規(guī)律，這就是我們中學(xué)已學(xué)過的函數(shù)，函數(shù)描述了變量之間的某種依賴關(guān)系。定義1設(shè)x

和y是兩個變量，D是實數(shù)集R的某個子集。按照函數(shù)關(guān)系f（對應(yīng)法則）：如果對任意，變量y總有確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y

是變量x

的函數(shù)，記作，稱D為該函數(shù)的定義域，x

為自變量，

y

為因變量。當(dāng)自變量x

取數(shù)值時，與x0

對應(yīng)的因變量y

的值稱為函數(shù)在點x0

處的函數(shù)值，記為，或，當(dāng)x取遍D的各個數(shù)值時，對應(yīng)的變量y

取值的全體組成的數(shù)集稱為這個函數(shù)的值域。注意關(guān)于函數(shù)概念的進(jìn)一步說明有以下兩點：（2）函數(shù)兩要素：函數(shù)的定義域D和函數(shù)關(guān)系f

。函數(shù)的定義域D是自變量x的取值范圍，而函數(shù)值y則是由函數(shù)關(guān)系f確定的。也就是說，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，兩個函數(shù)才是相同的。例如，函數(shù)和函數(shù)

就是兩個不同的函數(shù)，因為它們的定義域不同；（1）函數(shù)記號：在函數(shù)的表達(dá)式中，f

()表示函數(shù)關(guān)系，而表示對應(yīng)于x

的函數(shù)值，兩者是有區(qū)別的；解例1已知函數(shù)，求。2.分段函數(shù)引例3

【脈沖電壓函數(shù)】在電子技術(shù)中以為周期的脈沖電壓函數(shù)表示為引例4【階梯函數(shù)】在自動控制系統(tǒng)中的階梯函數(shù)表示為其中a，c

為常數(shù)。像這樣把定義域分成若干部分，函數(shù)關(guān)系由不同的式子分段表示，稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)。它表示一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)的組合。引例5【符號函數(shù)】

如圖1-1所示圖1-13．函數(shù)的表示法在函數(shù)的定義中，并沒有具體規(guī)定用什么方法表示函數(shù)。為了能更好地研究函數(shù)，就應(yīng)該采用適當(dāng)?shù)姆椒▽⑵浔硎境鰜恚瘮?shù)的表示法通常有三種，即解析式法、表格法和圖像法。4．函數(shù)的幾種特性（1）有界性若存在正數(shù)M，使得函數(shù)在某區(qū)間I

上恒有

，則稱函數(shù)在I上有界，否則稱函數(shù)在I上無界。若函數(shù)在

I上有界，則其圖像在直與之間，顯然，若函數(shù)有界，則其界不唯一。例如，正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有界，因為對均成立；函數(shù)在內(nèi)無界，而上有界。（2）單調(diào)性若對于區(qū)間I內(nèi)任意兩點，當(dāng)時，有（或），則稱函數(shù)在

I上單調(diào)增加（或單調(diào)減少），此時區(qū)間I稱為單調(diào)增區(qū)間（或單調(diào)減區(qū)間）。（3）奇偶性設(shè)函數(shù)的定義D

關(guān)于原點對稱，若對任意都成立：

，則是D上的偶函數(shù)；

，則是D

上的奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。研究函數(shù)奇偶性的用途在于：如果知道一個函數(shù)是偶函數(shù)或奇函數(shù)，則知其圖像的一半即可知其全部，比如常見的偶函數(shù)和奇函數(shù)。（4）周期性對于函數(shù)，若存在不為零的數(shù)T，對任意，均有

，且恒成立，則稱為I上的周期函數(shù)，稱T為的周期，通常所說的周期是指它的最小正周期5．反函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)二1．平移和伸縮通過平移能產(chǎn)生新的函數(shù)，例如的圖像是將的圖像向上平移2個單位，的圖像是將的圖像向右平移4個單位，如圖1-2所示。圖1-2向右平移：用代替，將圖像右移個單位形成函數(shù)；向左平移：用代替，將圖像左移個單位形成函數(shù)；向上平移：用代替，將圖像上移個單位形成函數(shù)；向下平移：用代替，將圖像下移個單位形成函數(shù)。一般地，已知曲線，則有：（1）平移（2）伸縮用一個常數(shù)k

乘以函數(shù)，是函數(shù)的圖像沿垂直方向擴(kuò)大或縮小k

倍形成函數(shù)；負(fù)號表示該圖像關(guān)于軸對稱2．復(fù)合函數(shù)引例5【原油擴(kuò)散面積】油輪在海洋發(fā)生原油泄漏事故，假設(shè)原油污染海水的面積A

是被污染圓形水面的半徑r

的函數(shù)：。同時由于原油在海面上不斷擴(kuò)散，則污染半徑r

又是時間t

的函數(shù)，因此，原油擴(kuò)散面積與時間的函數(shù)關(guān)系是定義2設(shè)y

是u

的函數(shù)，

u是x

的函數(shù)，當(dāng)x

在某一區(qū)間上取值時，相應(yīng)的u使y有意義，則與

可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，此時u為中間變量，稱y是x

的復(fù)合函數(shù)。一般地，如果，則稱為f

和φ這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。稱為外層函數(shù)，它是因變量y

與中間變量

u

的函數(shù)關(guān)系；為內(nèi)層函數(shù)，它是中間變量u

與自變量

x的函數(shù)關(guān)系。解例2

函數(shù)是由

復(fù)合而成的，而函數(shù)是由復(fù)合而成的。要認(rèn)識復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，必須要清楚其復(fù)合過程，也就是要理解如何對復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解。通常采取由外層到內(nèi)層分解的辦法，將拆分成若干基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復(fù)合。習(xí)慣上我們將基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)成為簡單函數(shù)。解例3將下列函數(shù)分解為簡單函數(shù)：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）解例4將下列函數(shù)分解為簡單函數(shù)：（1）（2）（1）（2）3．初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成，并能用一個解析式來表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。否則稱為非初等函數(shù)。例如，多項式函數(shù)