高中數(shù)學(xué)-定積分的概念教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能目標(biāo)：

通過(guò)問(wèn)題情景，經(jīng)歷求曲邊梯形的面積的形成過(guò)程，了解定積分概念的實(shí)際

背景。理解求曲邊梯形面積的一般步驟。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：

通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)以直代曲、以不變代變及無(wú)限逼近的思想。通過(guò)類比體

會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無(wú)限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn)，接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯

物主義思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的積極態(tài)度。

教材分析

《曲邊梯形的面積》是人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書A版選修2-2第一

章第五節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共兩課時(shí)，這是第一課時(shí)，主要內(nèi)容是曲邊梯形的面積求解.

1、曲邊梯形的面積在教材中的地位和作用

教材借助于求曲邊梯形的面積這一直觀具體的實(shí)例來(lái)引入到定積分的學(xué)習(xí)中，為定積分

概念構(gòu)建認(rèn)知基礎(chǔ)，為理解定積分概念及幾何意義起到了拋磚引玉的鋪墊作用。同時(shí)也為今

后大學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ).

2、曲邊梯形的面積對(duì)思維發(fā)展的地位與作用

求曲邊梯形面積的過(guò)程中蘊(yùn)涵、滲透定積分的基本思想方法，貫穿于整個(gè)定積分學(xué)習(xí)的

始終，作為定積分的前奏曲，《曲邊梯形的面積》是定積分概念的引例和重要鋪墊材料，故

本節(jié)課顯得至關(guān)重要.

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：直觀體會(huì)定積分的基本思想方法："以直代曲"、"無(wú)限逼近"的思想；

初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟-"四步曲"

（即：分割、近似代替、求和、取極限）。

難點(diǎn)："以直代曲"、"無(wú)限逼近"思想的形成過(guò)程及理解.

4、本節(jié)課可以采取探究式教學(xué)方法，也可以采用教師講授式教學(xué)方法.

5、例題選取

本節(jié)課采用了課本中的例題.

學(xué)情分析

高二學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)網(wǎng)格法估算面積,

在高一學(xué)過(guò)隨機(jī)模擬法估算面積，對(duì)求不規(guī)則圖形面積有一定的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想分

割，近似代替，以直代曲等思想，學(xué)生基本沒有接觸，因此課前讓學(xué)生搜集這方面的資料,

比如劉徽的割圓術(shù)，學(xué)生做好這些準(zhǔn)備工作后，本節(jié)課的學(xué)習(xí)應(yīng)該比較順利。

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

【問(wèn)題一】：舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀如下圖所

示，其最上端弧48是一段拋物線，中間部分是線段3C,最下端

部分是圓弧CD建造這樣的大壩自然要根據(jù)它的體積備料，計(jì)

算它的體積就需要盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出它的斷面面積.

請(qǐng)同學(xué)們想一想，能否求出該斷面的面積？

上節(jié)課我們留了一下作業(yè)：

1.在以前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中我們知道常見多邊形、圓、扇形等圖形的面積可借助公式來(lái)求,

對(duì)于不規(guī)則圖形，有什么辦法求面積？這些方法有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

2.請(qǐng)想辦法了解劉徽的割圓術(shù)，體會(huì)其思想。

22

3.熟記公式1+2+“2=〃(〃+1*2〃+1)

6

二、設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：想一想：以前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中有沒有計(jì)算不規(guī)則圖形面積的方法？

生：網(wǎng)格法、隨機(jī)模擬法、鋪沙法等等.

師：這些方法有什么有優(yōu)缺點(diǎn)？.

生：操作很簡(jiǎn)單，但是誤差較大，隨機(jī)性強(qiáng).

師：那我們有沒有更好的方法呢？大家看能否從下面的思考題中得到啟示.

思考：在有測(cè)量長(zhǎng)度工具的情況下，如何求以下多邊形的面積？

則與圓周合體而無(wú)所失矣…”我們今天就用這些思想來(lái)解決我們本節(jié)課的問(wèn)題.

師：板書新課.

缺點(diǎn)？

生：可以用梯形，矩形等代替，梯形誤差小，但是不好計(jì)算，矩形誤差大，但是好計(jì)算.

師：好計(jì)算是我們的標(biāo)準(zhǔn)，但是準(zhǔn)確是我們的目的，兩者能兼顧嗎？誤差的原因是什么？我

們可以在很小的范圍內(nèi)以直代曲，這樣，就可以是誤差變小了。

思考：如何求其面積.

先研究一個(gè)特殊情形:如何求直線x=O,x=l,y=O與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積（圖

中陰影部分）？

思考：曲邊梯形與我們熟悉的“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？能否將求這個(gè)曲邊梯形的面

積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？

師：我們分別嘗試一下這兩個(gè)方案，大家討論交流后，找小組展示

三.方法嘗試

(1)分割

1］等分成n個(gè)小區(qū)間：［0,工］,…,［曰,上］,…，［2二！,2］,過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作

把區(qū)間［0,

nnnnnnn

x軸

的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作AS”AS2,…,AS”…,AS”.

(2)以直代曲

'/-I/'

對(duì)區(qū)間—上的小曲邊梯形，用如圖的相應(yīng)小矩形近似代替，則矩形的長(zhǎng)

nn

為，寬為，矩形的面積為,從而

AS,?_____________

(3)求和

因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的___________值，所以n個(gè)小矩形的

面積之和，就是所求曲邊梯形的面積S=的近似值即

S=AS|+-I--HkSjH---FkSa

號(hào)小

(4)逼近

當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即以f0(亦即〃-鐘)時(shí)，-4［02+l2+22+---+(n-l)2］^5

而當(dāng)時(shí)+F+22+…+(〃-1)2]

T.由此可知曲邊梯形的面積S=—.(學(xué)生板書)

師：求極限是難點(diǎn)，但不是我們的重點(diǎn)，直接給出求極限的方法.然后我們得出一般曲

邊梯形面積的求法

(設(shè)函數(shù)丁=/(x)在［a,加上連續(xù).

由曲線y=/(x)與直線x=a、x=b、

x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形(圖5-

1).為討論方便，假定/(x)N0.

(1)分割

由于函數(shù)y=/(x)上的點(diǎn)的縱坐

標(biāo)不斷變化，整個(gè)曲邊梯形各處的高不

相等，差異很大.為使高的變化較小，

圖5-1

先將區(qū)間例分成〃個(gè)小區(qū)間，即插入

分點(diǎn).

a=<玉<x2<???<%?=b

在每個(gè)分點(diǎn)處作與y軸平行的直線段，將整個(gè)曲邊梯形分成〃個(gè)小曲邊梯形，其中第i

個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為M=%-再_。=1,2,「”.由于/(x)連續(xù)，故當(dāng)乂很小時(shí)，第i個(gè)

小曲邊梯形各點(diǎn)的高變化很小.在區(qū)間［巧巧］上任取一點(diǎn)多，則可認(rèn)為第i個(gè)小曲邊梯形

的平均高度為/(4)，

(2)近似代替，第i個(gè)曲邊梯形的面積用代替.

(3)求和：曲邊梯形面積s的近似值為s“/(&)?,?

i=\

(4)取極限：曲邊梯形面積s==iims?=limt/??)￥?

〃一?+oo“f+oo/=1

四、應(yīng)用

下面請(qǐng)同學(xué)們求解：求直線x=0,x=l,y=0與曲線y=/所圍成的曲邊梯形的面積.

學(xué)生黑板展示，教師點(diǎn)評(píng).

本例要求學(xué)生利用本節(jié)課所學(xué)方法來(lái)求解，一是體會(huì)本節(jié)數(shù)學(xué)思想，二是體會(huì)該方法的

繁瑣，為后面給出微積分基本定理做好鋪墊.

五、小結(jié)(師生共同完成)

(1)求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；

(2)用到的數(shù)學(xué)思想：以直代曲，無(wú)限逼近.

六、課后作業(yè)

L復(fù)習(xí)本節(jié)課體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

2.預(yù)習(xí)1.5.2

評(píng)測(cè)練習(xí)

題目：求直線x=O,x=l,y=O與曲線y=/所圍成的曲邊梯形的面積.

參考公式:尸+23+……〃3=俏〃+1)一

4

評(píng)測(cè)結(jié)果及分析：本題與例題相比只是換了一個(gè)函數(shù)解析式，沒有刻意提高難度，意在

讓學(xué)生能簡(jiǎn)單地進(jìn)行模仿，從結(jié)果上來(lái)看，學(xué)生能夠簡(jiǎn)單地模仿計(jì)算，但是規(guī)范性上有待加

強(qiáng)，再者，學(xué)生不善于用符號(hào)語(yǔ)言，抽象思維能力，概括能力有待于進(jìn)一步加強(qiáng)，通過(guò)本題

學(xué)生可以體會(huì)出這個(gè)方法可以用來(lái)求解面積，但是運(yùn)算較繁瑣，為以后學(xué)習(xí)微積分基本定理

做好鋪墊.

效果分析

本節(jié)課是第一課時(shí)，學(xué)生課前收集了很多資料，做了很多準(zhǔn)備工作，為本節(jié)課的探究降

低了難度，通過(guò)長(zhǎng)江溢流壩的例子引入，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在，通過(guò)讓學(xué)生收

集劉徽的資料，讓學(xué)生看到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大成績(jī)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，通過(guò)一節(jié)

課的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解了求曲邊梯形面積的步驟和數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步讓學(xué)生明白了轉(zhuǎn)化與化歸

思想在數(shù)學(xué)中的重要性，例題中兩種方案的實(shí)踐，讓學(xué)生體會(huì)出無(wú)限逼近的思想，最后推廣

到一般情況，讓學(xué)生體會(huì)出從特殊到一般的研究思路，當(dāng)堂練習(xí)，讓學(xué)生再次經(jīng)歷探究過(guò)程，

體會(huì)探究過(guò)程，鞏固了本節(jié)課的知識(shí).

觀評(píng)記錄

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

【問(wèn)題一】：舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀如下圖所

示，其最上端弧4日是一段拋物線，中間部分是線段BC,最下端

部分是圓弧CD.建造這樣的大壩自然要根據(jù)它的體積備料，計(jì)

算它的體積就需要盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出它的斷面面積.

請(qǐng)同學(xué)們想一想，能否求出該斷面的面積？

上節(jié)課我們留了一下作業(yè)：

1.在以前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中我們知道常見多邊形、圓、扇形等圖形的面積可借助公式來(lái)求,

對(duì)于不規(guī)則圖形，有什么辦法求面積？這些方法有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

2.請(qǐng)想辦法了解劉徽的割圓術(shù)，體會(huì)其思想。

22

3.熟記公式1+2+……“2=，("+M2〃+1)

【點(diǎn)評(píng)】從實(shí)際例子入手引入，既激發(fā)學(xué)生的求知欲望，又能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)無(wú)處

不在，通過(guò)提前預(yù)留作業(yè)，思考的辦法，讓學(xué)生提前做準(zhǔn)備工作，降低了本節(jié)課的探究難

度.

二、設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：想一想：以前的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中有沒有計(jì)算不規(guī)則圖形面積的方法？

生：網(wǎng)格法、隨機(jī)模擬法、鋪沙法等等.

師：這些方法有什么有優(yōu)缺點(diǎn)？.

生：操作很簡(jiǎn)單，但是誤差較大，隨機(jī)性強(qiáng).

師:‘那我們有沒有更好的方法嚼大家看能否從下面的思考題中得到啟示.

思考：在有測(cè)量長(zhǎng)度工具贏況下，如何求以下多邊形的面積？

生：可以通過(guò)分割轉(zhuǎn)化為多個(gè)小多邊形逐個(gè)求解，最后求和.

師：這種分割思想早在三國(guó)時(shí)期，劉徽在九章算術(shù)中就有所記載，請(qǐng)同學(xué)介紹以下劉徽

的割圓術(shù).

生：（上臺(tái)展不）

師：（點(diǎn)評(píng)），用劉徽的話講就是“…割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割,

則與圓周合體而無(wú)所失矣…”我們今天就用這些思想來(lái)解決我們本節(jié)課的問(wèn)題.

師：板書新課.

缺點(diǎn)？

生：可以用梯形，矩形等代替，梯形誤差小，但是不好計(jì)算，矩形誤差大，但是好計(jì)算.

師：好計(jì)算是我們的標(biāo)準(zhǔn)，但是準(zhǔn)確是我們的目的，兩者能兼顧嗎？誤差的原因是什么？我

們可以在很小的范圍內(nèi)以直代曲，這樣，就可以是誤差變小了。

思考：如何求其面積.

先研究一個(gè)特殊情形:如何求直線x=O,x=l,y=O與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積（圖

中陰影部分）？

思考：曲邊梯形與我們熟悉的“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？能否將求這個(gè)曲邊梯形的面

積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？

y

y=x2

生：用三角形，梯形，矩形等都可以近似代替，矩形面積最好算..

師：我們就用矩形來(lái)代替進(jìn)行計(jì)算，在選矩形時(shí)，它的高可以取每個(gè)區(qū)間左端點(diǎn)處的

函數(shù)值，也可選右端點(diǎn)處的函數(shù)值，其它的自變量的函數(shù)值可以嗎？

生：(討論交流后)，都可以，但是端點(diǎn)值好算.

師：我們分別嘗試一下這兩個(gè)方案，大家討論交流后，找小組展示

【點(diǎn)評(píng)】層層推進(jìn)，設(shè)置問(wèn)題串，突破一個(gè)又一個(gè)障礙，最終找到解決問(wèn)題的方法.

三.方法嘗試

(1)分割

1］等分成n個(gè)小區(qū)間：…，［上…，［土口,與，過(guò)各區(qū)間端點(diǎn)作

把區(qū)間［0,

nnnnnnn

x軸

的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作AS?,…,ASj

(2)以直代曲

對(duì)區(qū)間—上的小曲邊梯形，用如圖的相應(yīng)小矩形近似代替，則矩形的長(zhǎng)

nn

為,寬為，矩形的面積為,從而

AS,?_____________

(3)求和

因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的___________值，所以n個(gè)小矩形的

面積之和，就是所求曲邊梯形的面積S=的近似值即

S-AS〕+AS,H------FAS,H------h

xX/(-)^

,=!n

(4)逼近

當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即Ax—>0(亦即>+x))時(shí),+l2+22+---+(n-l)2]TS

而當(dāng)—時(shí)，3［。2+F+22+…+(〃-1)2］

T.由此可知曲邊梯形的面積S=—.(學(xué)生板書)

師：求極限是難點(diǎn)，但不是我們的重點(diǎn)，直接給出求極限的方法.然后我們得出一般曲

邊梯形面積的求法

(設(shè)函數(shù)丁=/(x)在［a,。］上連續(xù).

由曲線y=/(x)與直線x=a、x=b、

x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形(圖5-

1).為討論方便，假定/(x)20.

(1)分割

由于函數(shù)y=/(x)上的點(diǎn)的縱坐

標(biāo)不斷變化，整個(gè)曲邊梯形各處的高不

相等，差異很大.為使高的變化較小，

圖5T

先將區(qū)間［a,切分成〃個(gè)小區(qū)間，即插入

分點(diǎn).

a=Xo<X］<x2<---<xn=b

在每個(gè)分點(diǎn)處作與y軸平行的直線段，將整個(gè)曲邊梯形分成〃個(gè)小曲邊梯形，其中第i

個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為M=%-匕_。=1,2,-、".由于/(尤)連續(xù)，故當(dāng)此很小時(shí)，第i個(gè)

小曲邊梯形各點(diǎn)的高變化很小.在區(qū)間［巧上任取一點(diǎn)多，則可認(rèn)為第i個(gè)小曲邊梯形

的平均高度為了(4)，

(2)近似代替，第i個(gè)曲邊梯形的面積用代替.

(3