2023-2024學(xué)年福建省福州四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年福建省福州四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若1+ai1?i=2?i(其中i是虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)a=(

)A.?3 B.?1 C.1 D.32.已知x是實(shí)數(shù)，則“x>2”是“x2+4x?12>0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖是甲、乙兩人高考前10次數(shù)學(xué)模擬成績(jī)的折線圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.甲的數(shù)學(xué)成績(jī)最后3次逐漸升高

B.甲的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30分以上的次數(shù)多于乙的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?30分以上的次數(shù)

C.甲有5次考試成績(jī)比乙高

D.甲數(shù)學(xué)成績(jī)的極差小于乙數(shù)學(xué)成績(jī)的極差4.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z?(3+2i)|=1，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐的頂點(diǎn)在球O的表面上，底面圓心與O重合，則該圓錐的表面積與球O的表面積之比為(

)A.1：4 B.1：2 C.1：6 D.1：36.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AA1，A1A.22+33 B.27.已知在三棱錐A?BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=1，則三棱錐A?BCD外接球表面積的最小值為(

)A.25+14π B.58.已知函數(shù)f(x)=x2(1?2ex+1)，g(x)滿足g(1+3x)+g(3?3x)=0，G(x)=f(x?2)?g(x)，若G(x)A.2n B.2n+1 C.4n D.4n+2二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b，c為三條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a//b，a?α，b?β，α∩β=c，則a//c

B.若a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，則a⊥α

C.若a//α，b//α，a∩b=A，a?β，b?β，則α//β

D.若α⊥β，α∩β=c，a⊥c，則a⊥β10.設(shè)向量a=(2,0)，b=(1,1)，則(

)A.|a|=|b| B.(a?b)//b11.已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx?cosA.f(x)=sin(2x?π6)

B.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π

C.x=π3是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.12.已知函數(shù)f(x)和實(shí)數(shù)m，n，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.定義在R上的函數(shù)f(x)恒有f(x)=f(m?nx)，則當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸

B.定義在R上的函數(shù)f(x)恒有f(x)=f(m?nx)，則當(dāng)n=?1時(shí)，函數(shù)具有周期性

C.若m=1，n=2，f(x)=?3x2+2x,x≤13f(m?nx),x>13，則?t∈(?∞,13)，f(t)>f(23?t)恒成立

D.若m=4，n=1，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4的半圓，則此圓錐的體積為

．14.已知單位向量a,b滿足2a+b15.設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，記S為x，y+1x，1y中的最小值，則S四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)

為落實(shí)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2018年在其扶貧基地投入200萬(wàn)元研發(fā)資金，用于蔬菜的種植及開(kāi)發(fā)，并計(jì)劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)10%．

(1)寫(xiě)出第x年(2019年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

(2)該企業(yè)從第幾年開(kāi)始(2019年為第一年)，每年投入的資金數(shù)將超過(guò)400萬(wàn)元？

(參考數(shù)據(jù)lg0.11≈?0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)17.(本小題12分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的一條對(duì)稱軸為x=π6，且f(A)=12．

(1)求A18.(本小題12分)

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且滿足b2+c2?a2=bc．

(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)若a=3，設(shè)角B的大小為19.(本小題12分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC=2，BC=23，AB=4，AA1=2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

20.(本小題12分)

如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：DE⊥平面BCD；

(2)若EF//平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B?DEG的體積．

21.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)．

(1)當(dāng)c=b時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)>1；

(2)若f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)，關(guān)于x的不等式f(x)<a的解集為(m,m+4)，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)設(shè)g(x)=?2x2+3x2+1，函數(shù)f(g(x))的最大值為1參考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.CD

11.ACD

12.ACD

13.814.π315.216.解：(1)第一年投入的資金數(shù)為200×(1+10%)萬(wàn)元，

第二年投入的資金數(shù)為200×(1+10%)2萬(wàn)元，

第x年(2019年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=200(1+10%)x萬(wàn)元，

其定義域?yàn)閧x∈N?|x≤10}；

(2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2，即x>17.解：(1)∵函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)一條對(duì)稱軸為x=π6，

∴f(π6)=sin(2×π6+φ)=±1，

∴π3+φ=kπ+π2，k∈Z，

∴φ=kπ+π6，k∈Z，

∵0<φ<π2，∴φ=π6，

∴f(x)=sin(2x+π6)，

∴f(A)=sin(2A+18.解：(Ⅰ)在△ABC中，由b2+c2?a2=bc及余弦定理，

得cosA=b2+c2?a22bc=?12，

而0<A<π，則A=π3；

(Ⅱ)由a=3，A=π3及正弦定理，

得bsinB=19.解：(1)證明：∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC

又AC=2，BC=23，AB=4，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

又CC1∩BC=C，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1

∴AC⊥平面BCC1B1又B1C?平面BCC1B1，

20.解：(1)取AC的中點(diǎn)P，連接DP，

因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又點(diǎn)E在線段AC上，CE=4，

所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD；

(2)若EF/?/平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，G為EC的中點(diǎn)，此時(shí)AE=EG=GC=2，

因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以BD=3，DC=32+(3)2=23，

所以B到DC的距離?=BD?BCDC=3×323=32，

因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD21.解：(1)當(dāng)c=b時(shí)，由f(x)>1得x2+bx+b?1>0，

即(x+b?1)(x+1)>0，

當(dāng)1?b>?1，即b<2時(shí)，原不等式的解集為(?∞,?1)∪(1?b,+∞)，

當(dāng)b=2時(shí)，原不等式的解集為(?∞,?1)∪(?1,+∞)，

當(dāng)b>2時(shí)，原不等式的解集為(?∞,1?b)∪(?1,+∞)．

(2)由f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)，得4c?b24=1，

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)<a的解集為(m,m+4)，

所以m，m+4是方程f(x)=a的兩個(gè)實(shí)根，

即x2+bx+c?a=0的兩根之差為4，

所以4=(?b)2?4(c?a)，則b2?4(c?a)=164c