江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列培優(yōu)課數(shù)列與不等式分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

培優(yōu)課數(shù)列與不等式分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知數(shù)列滿意，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)隨意的成立，則整數(shù)的最小值為()A.5 B.4 C.3 D.23.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，則的最小值為()A. B.4 C.3 D.24.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，若存在，使得成立，則的最小值為.5.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，若不等式對(duì)隨意的恒成立，則的最小值為.6.[2024新高考Ⅰ]記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知,是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.B層實(shí)力提升練7.已知數(shù)列滿意，，若不等式對(duì)隨意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為()A. B.1 C. D.9.已知數(shù)列滿意,，記，若對(duì)隨意的恒成立，則正整數(shù)的最小值為.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)數(shù)列滿意（為非零常數(shù)），存在整數(shù)，使得對(duì)隨意的都有，則.12.在下列條件：①數(shù)列{}的隨意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且數(shù)列{}為常數(shù)列，，，中，任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題.已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）設(shè)，數(shù)列{}的前項(xiàng)和記為，證明:.13.已知正項(xiàng)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿意.（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.C層拓展探究練14.已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則首項(xiàng)的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，記，若，則整數(shù).15.對(duì)于數(shù)列，若從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都大于或等于（小于或等于）同一個(gè)常數(shù)，則叫作類等差數(shù)列，叫作類等差數(shù)列的首項(xiàng)，叫作類等差數(shù)列的類公差.（1）若類等差數(shù)列滿意，請(qǐng)類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的通項(xiàng)不等式（不必證明）.（2）若數(shù)列中，，.①推斷數(shù)列是否為類等差數(shù)列，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由.②記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.培優(yōu)課?數(shù)列與不等式分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.B2.B3.D4.95.6.（1）解因?yàn)?，所?所以.又因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以,所以,所以當(dāng)時(shí)，，所以,整理，得,即,所以，明顯對(duì)于也成立，所以的通項(xiàng)公式為.（2）證明因?yàn)?所以.B層實(shí)力提升練7.A8.C9.10[解析]因?yàn)閿?shù)列滿意,，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，易得.令，而，即為減函數(shù)，所以，即,而為正整數(shù)，所以.10.[解析],,，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以.依題意，使得成立，即，.設(shè),,，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的取值范圍是.11.[解析]因?yàn)?，所以，解?當(dāng)時(shí)，，化為，變形為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，所以，所以.而（為非零常數(shù)），所以.因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得對(duì)隨意的都有，所以，化為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)闉榉橇阏麛?shù)，所以.12.（1）解若選①，因?yàn)?數(shù)列為常數(shù)列，所以,解得或.又因?yàn)閿?shù)列的隨意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且，所以數(shù)列為2，，2，，2，，，所以,即，所以又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以,即，所以若選②，因?yàn)?,,兩式相減可得,即，以下過程與條件①相同.若選③，由,可得.又,當(dāng)時(shí)，,所以.因?yàn)?所以也滿意上式，所以有，即，以下過程與條件①相同.（2）證明由（1）知，,,所以,所以.13.（1）解由,得，結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列得，所以（2）證明由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以C層拓展探究練14.（0,2）;[解析]在正項(xiàng)數(shù)列中，為嚴(yán)格增數(shù)列，則，則，解得.又，則，則.由，可得.由可得，則，則.又當(dāng)時(shí)，，則-…+-…+.由可得，，.又，則解得，則整數(shù).15.（1）解.（2）①數(shù)列是類等差數(shù)列.證明：因?yàn)?，所以，?又，所以，則是遞減