人教版高中數(shù)學(xué)全冊教案-08-圓錐曲線方程-10

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教育點(diǎn)

使學(xué)生掌握拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

要求學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉(zhuǎn)化等

方面的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

通過一個(gè)簡單實(shí)驗(yàn)引入拋物線的定義，可以對學(xué)生進(jìn)行理論來源于實(shí)踐的辯證唯物主

義思想教育.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.

（解決辦法：通過…個(gè)簡單實(shí)驗(yàn)與橢圓、雙曲線的定義相比較引入拋物線的

定義；通過一些例題加深對標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識.）

2.難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（解決辦法：由三種建立坐標(biāo)系的方法中選出一種最佳方法，避免了硬性規(guī)

定坐標(biāo)系.）

3.疑點(diǎn)：拋物線的定義中需要加上“定點(diǎn)F不在定直線1上”的限制.

（解決辦法：向?qū)W生加以說明.）

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

提問、回顧、實(shí)驗(yàn)、講解、演板、歸納表格.

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)出課題

我們已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線——

拋物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.課題是“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”.

請大家思考兩個(gè)問題：

問題1:同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？

在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖

象？

問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩

種情形.

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函

數(shù)的圖象來研究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研

究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線1的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)0

VeVl時(shí)是橢圓，當(dāng)e>l時(shí)是雙曲線，那么當(dāng)e=l時(shí)，它又是什么曲線？

2.簡單實(shí)驗(yàn)

如圖2-29,把?根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線1的位置上，一塊三角板的--條

直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)

A,截取繩子的長等于A到直線1的距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的

-點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使

三角板緊靠著直尺左右滑動(dòng)，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反

復(fù)演示后，請同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié).

3.定義

這樣，可以把拋物線的定義概括成:

平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（定點(diǎn)F

不在定直線1上）.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線.

（三）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

設(shè)定點(diǎn)F到定直線1的距離為p（p為已知數(shù)且大于0）.下面，我們來求拋物

線的方程.怎樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學(xué)生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案：

方案1：（由第一組同學(xué)完成，請一優(yōu)等生演板.）

以1為y軸，過點(diǎn)F與直線1垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（圖2-

30）.設(shè)定點(diǎn)F（p,0）,動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,過M作MD_Ly軸于D,拋物

線的集合為:p={M||MF|=|MD|）.

由坐標(biāo)我刷■可,4

化簡后得：y2=2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二組同學(xué)完成，請一優(yōu)等生演板）

以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行1的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（圖2-31）.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M

的坐標(biāo)為（x,y）,且設(shè)直線1的方程為x=-p,定點(diǎn)F（0,0）,過M作MDL1于D,

拋物線的集合為：

p={M||MF|=|MD|}.

由坐標(biāo)環(huán)福+司++耳.

化簡得：y2=2px+p2（p>0）.

方案3：(由第三、四組同學(xué)完成，請一-優(yōu)等生演板.)

取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線1的直線為x軸，x軸與1交于K,以線段KF的垂

直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(圖2-32).

謝KF]=p,a儂球挫標(biāo)為號，嘰幽的方程為x=W，設(shè)

拋物線上的點(diǎn)M(x,y)到1的距離為d,拋物線是集合p={M||MF|=d}.

獷e,d*qi，

?小學(xué)+/4號.

化簡后得：y2=2px(p>0).

比較所得的各個(gè)方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是因?yàn)檫@個(gè)

方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項(xiàng)系數(shù)是焦

點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2倍.

由于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形（列表如

下）：

Si

y

4

L

1T

y

一

^PJKP>09呻

T0>x

---------1

y

1---------

3r今r=0

>0)5/

將上表畫在小黑板上，講解時(shí)出示小黑板，并講清為什么會(huì)出現(xiàn)四種不同的情形，四

種情形中P>0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶.即：當(dāng)對

稱軸為x軸時(shí)，方程等號右端為±2px,相應(yīng)地左端為y2；當(dāng)對稱軸為y軸時(shí)，

方程等號的右端為±2py,相應(yīng)地左端為x2.同時(shí)注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時(shí)，

取正號；當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)半軸上時(shí)，取負(fù)號.

（四）四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

例題：（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

⑵已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0,-2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解，(i)a*p=3,所吸儂坐標(biāo)是埠，嘰宸魴程匕=—.

⑵因?yàn)閮z在用的黃半軸上，并且畀2,p=4,所以它的標(biāo)捷

方程是x2=-8y.

練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)是F(3,0)；

⑵》助人=?；；

⑶焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.

由三名學(xué)生演板，教師予以訂正.答案是：(l)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x,y2=-4x,

x2=4y,x2=-4y.

這時(shí)，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一

個(gè)系數(shù)P，因此只要給出確定p的一個(gè)條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線

的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會(huì)有多解.

(五)小結(jié)

本次課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用.

五、布置作業(yè)

I.It物線y'=2p?p>S上一點(diǎn)辿憔點(diǎn)的距離是哈>鄉(xiāng)，點(diǎn)M

到準(zhǔn)線的距離是多少？點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是多少？

2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

(l)x2=2y；(2)4x2+3y=0；

⑶2y2+5x=0；(4)y2-6x=0.

3.根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點(diǎn)畫出圖形：

⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對