2025-高考科學復習解決方案-數(shù)學-基礎版第二章 第1節(jié) 直線的傾斜角、斜率與直線的方程含答案

2025-高考科學復習解決方案-數(shù)學-基礎版第二章第一節(jié)直線的傾斜角、斜率與直線的方程課標解讀考向預測1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式).近幾年高考對本節(jié)內容的考查方式及題目難度變化不大，主要考查直線的方程，以常規(guī)題型常規(guī)解法為主要方向，常結合圓錐曲線考查．預計2025年高考會繼續(xù)考查直線與其他知識的交匯融合，以運算為主.必備知識——強基礎1．直線的方向向量設A，B是直線上的兩點，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，eq\x(\s\up1(01))x軸正向與直線leq\x(\s\up1(02))向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為eq\x(\s\up1(03))0°≤α<180°．3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的eq\x(\s\up1(04))正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝eq\x(\s\up1(05))tanα(α≠90°)．(2)過兩點的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線的方向向量同斜率的關系若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y,x)．5．直線的截距若直線l與坐標軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距．截距可正、可負，也可以為零．6．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式eq\x(\s\up1(07))y－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式eq\x(\s\up1(08))y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\x(\s\up1(09))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式eq\x(\s\up1(10))Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用1．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量v＝(A，B)，一個方向向量a＝(－B，A)．2．兩直線的夾角公式若直線y＝k1x＋b1與直線y＝k2x＋b2的夾角為α，則tanα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k2－k1,1＋k1k2))).1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．()(2)若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα.()(3)斜率相等的兩條直線的傾斜角不一定相等．()答案(1)√(2)×(3)×2．小題熱身(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.1T3改編)若直線經(jīng)過兩點A(m，1)，B(2－3m，2)，且其傾斜角為135°，則m的值為()A．0 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)答案D解析經(jīng)過兩點A(m，1)，B(2－3m，2)的直線的斜率為k＝eq\f(2－1,2－3m－m)＝eq\f(1,2－4m)，又直線的傾斜角為135°，所以eq\f(1,2－4m)＝－1，解得m＝eq\f(3,4).故選D.(2)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2T2改編)設x，y為實數(shù)，已知直線的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是這條直線上的三個點，則x＋y＝()A．4 B．3C．－1 D．1答案D解析因為A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直線上的三個點，所以kAB＝kAC＝2，所以eq\f(7－5,x－3)＝eq\f(y－5,－1－3)＝2，解得x＝4，y＝－3，則x＋y＝1.故選D.(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.2T10改編)如果AC<0，BC>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析因為AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不為零，將直線方程Ax＋By＋C＝0化為y＝－eq\f(A,B)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,B)))，因為AC<0，且BC>0，可得直線的斜率k＝－eq\f(A,B)>0，在y軸上的截距為－eq\f(C,B)<0，所以直線經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限．故選B.(4)過點P(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為________．答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當截距不為0時，設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5，所以直線方程為x＋y－5＝0.綜上，直線方程為3x－2y＝0或x＋y－5＝0.考點探究——提素養(yǎng)考點一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線y＝－eq\r(3)x＋3的傾斜角為()A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析設直線y＝－eq\r(3)x＋3的傾斜角為α，因為直線的斜率為k＝tanα＝－eq\r(3)，所以α＝120°.故選C.(2)已知點A(－1，2)，B(2，eq\r(3))，P(1，0)，點Q是線段AB上的動點，則直線PQ的斜率的范圍為____________，直線PQ的傾斜角的范圍為____________．答案(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4)))解析如圖，kPA＝eq\f(2－0,－1－1)＝－1，kPB＝eq\f(\r(3)－0,2－1)＝eq\r(3)，則直線PQ的斜率的范圍為(－∞，－1]∪[eq\r(3)，＋∞)．因為直線PA，PB對應的傾斜角分別為eq\f(3π,4)，eq\f(π,3)，則直線PQ的傾斜角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))).【通性通法】確定傾斜角與斜率范圍的常用方法數(shù)形結合法作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數(shù)的單調性確定函數(shù)圖象法根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【鞏固遷移】1．已知直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))答案B解析直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，則直線l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)sinα∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以當k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))時，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))；當k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))時，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).綜上所述，直線l的傾斜角θ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).故選B.2．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為________，________．答案eq\f(1,3)－3解析如圖，在正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖所示的平面直角坐標系．設對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形的性質可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OC的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考點二求直線的方程例2由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－eq\f(1,2)，經(jīng)過點A(8，－2)；(2)經(jīng)過點B(4，2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；(4)經(jīng)過兩點A(3，－2)，B(5，－4)；(5)在x軸上的截距是－7，傾斜角是45°；(6)傾斜角為60°，與y軸的交點到x軸的距離是3.解(1)由點斜式得y＋2＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)因為直線平行于x軸，所以直線的斜率等于0，由點斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0.(3)因為在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3，所以直線方程的截距式為eq\f(x,\f(3,2))＋eq\f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0.(4)由兩點式得eq\f(y＋2,－4＋2)＝eq\f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0.(5)直線的斜率k＝tan45°＝1，由點斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0.(6)直線的斜率為tan60°＝eq\r(3)，因為直線與y軸的交點到x軸的距離是3，所以直線在y軸上的截距為±3，所以所求直線方程為y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3，即eq\r(3)x－y＋3＝0或eq\r(3)x－y－3＝0.【通性通法】求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當形式．(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)．提醒：(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.(3)應用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時，注意討論B是否為0.【鞏固遷移】3．(2024·山東日照一中質檢)過點A(1，4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A．x－y＋3＝0B．x＋y－5＝0C．4x－y＝0或x＋y－5＝0D．4x－y＝0或x－y＋3＝0答案D解析解法一：當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為y＝4x，即4x－y＝0；當直線不過原點時，設直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1(a≠0)，因為直線過點A(1，4)，所以eq\f(1,a)－eq\f(4,a)＝1，解得a＝－3，此時直線方程為x－y＋3＝0.綜上，直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.解法二：易知直線斜率不存在或直線斜率為0時，不符合題意．設直線方程為y－4＝k(x－1)(k≠0)，當x＝0時，y＝4－k，當y＝0時，x＝1－eq\f(4,k)，由題意知1－eq\f(4,k)＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直線方程為4x－y＝0或x－y＋3＝0.故選D.4．求適合下列條件的直線方程．(1)經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍；(2)經(jīng)過點B(3，4)，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形；(3)已知直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，且l過點A(－4，3)．解(1)設直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.因為tanα＝3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由題意，可知所求直線的斜率為±1.又過點B(3，4)，由點斜式，得所求直線方程為y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.(3)解法一：因為直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，所以直線l的斜率k＝eq\f(3,2)，故直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.解法二：設P(x，y)是直線l上的任意一點(不同于A)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋4，y－3)，因為直線l的一個方向向量為n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，所以直線l的方程為y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.考點三直線方程的應用(多考向探究)考向1直線方程與不等式的結合例3(2024·四川成都七中診斷考試)已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，當|MA|·|MB|最小時，直線l的方程為________．答案x＋y－3＝0解析設A(a，0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up6(→))|·|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝－eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.【通性通法】求解與直線方程有關的最值問題，一般是先根據(jù)題意建立目標函數(shù)，然后利用基本不等式(或函數(shù))解決問題．【鞏固遷移】5．若直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經(jīng)過點(－2，－1)，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．16 B．8C．4 D．2答案B解析因為直線mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)經(jīng)過點(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))·(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，當且僅當eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)且2m＋n＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,2)))時取等號，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8.故選B.考向2直線方程與函數(shù)的結合例4(2023·江蘇泰州模擬)某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE(如圖)上劃出一塊長方形地面(不改變方位)建一幢公寓，則公寓的最大面積為________m2(精確到1m2)．答案6017解析在線段AB上任取一點P，分別向CD，DE作垂線，劃出一塊長方形地面，以BC，EA的交點為原點，BC，EA所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，則AB的方程為eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1.設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，20－\f(2x,3)))，則長方形的面積S＝(100－x)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(80－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(2x,3)))))(0≤x≤30)．化簡得S＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(20,3)x＋6000(0≤x≤30)．當x＝5，y＝eq\f(50,3)時，S最大，其最大值為eq\f(18050,3)≈6017m2.【通性通法】求解與函數(shù)相結合的問題，一般是利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)或某一變量的函數(shù)，借助函數(shù)的性質解題．【鞏固遷移】6．過坐標原點O作直線l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂線，垂足為H(s，t)，則s2＋t2的取值范圍是()A．[0，2eq\r(2)] B．(0，2eq\r(2)]C．[0，8] D．(0，8]答案D解析依題意，得eq\o(OH,\s\up6(→))＝(s，t)，直線l的方向向量n＝(a－1，a＋2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－1）s＋（a＋2）t＝0，,（a＋2）s－（a－1）t＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(s＝\f(6（a＋2）,（a＋2）2＋（a－1）2)，,t＝－\f(6（a－1）,（a＋2）2＋（a－1）2).))因此s2＋t2＝eq\f(36,（a＋2）2＋（a－1）2)＝eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))，因為當a＝－eq\f(1,2)時，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)取得最小值eq\f(9,2)，所以0<eq\f(36,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))≤8，即s2＋t2的取值范圍是(0，8]．故選D.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·廣西柳州模擬)過點(1，2)且方向向量為(－1，2)的直線的方程為()A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0答案A解析由題意可知，直線的斜率k＝eq\f(2,－1)＝－2，由點斜式方程，得所求直線的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故選A.2．已知直線x＋my－3＝0的傾斜角為30°，則實數(shù)m的值為()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)答案A解析由題意可知，直線x＋my－3＝0的斜率為－eq\f(1,m)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－eq\r(3).故選A.3.(2023·河北石家莊期末)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1答案A解析設直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由題圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，所以k1<k3<k2.故選A.4．已知△ABC的三個頂點為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0答案C解析由題意知M(2，4)，N(3，2)，中位線MN所在直線的方程為eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.故選C.5．(2023·廣東潮州模擬)已知點A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)答案D解析直線l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過定點P(2，1)，∵kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).故選D.6．(2023·江西南昌模擬)已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，則下列說法中錯誤的是()A．當B＝0時，直線l總與x軸相交B．當C＝0時，直線l經(jīng)過坐標原點OC．當A＝C＝0時，直線l是x軸所在直線D．當AB≠0時，直線l不可能與兩坐標軸同時相交答案D解析依題意，直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)．對于A，當B＝0時，A≠0，直線方程可化為x＝－eq\f(C,A)，此時直線l總與x軸有交點，A正確；對于B，當C＝0時，直線方程為Ax＋By＝0，此時直線l經(jīng)過坐標原點O，B正確；對于C，當A＝C＝0時，B≠0，直線方程可化為y＝0，此時直線l是x軸所在直線，C正確；對于D，當AB≠0時，如x－y＋1＝0，直線l過點(－1，0)，(0，1)，即直線l與兩坐標軸同時相交，D錯誤．故選D.7．(2024·重慶八中?？茧A段練習)過點P(1，3)作直線l，若l經(jīng)過點A(a，0)和B(0，b)，且a，b均為正整數(shù)，則這樣的直線l有()A．1條 B．2條C．3條 D．無數(shù)條答案B解析∵a，b均為正整數(shù)，∴可設直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，將P(1，3)代入直線方程，得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，當b＝3時，eq\f(1,a)＝0，方程無解，∴a＝eq\f(b,b－3)＝eq\f(b－3＋3,b－3)＝1＋eq\f(3,b－3)，∵a∈N*，eq\f(3,b－3)≠0，∴eq\f(3,b－3)∈N*，∴b－3＝1或b－3＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝6，,a＝2，))即滿足題意的直線l有2條．故選B.8．(2023·福建漳州模擬)直線xcosθ＋ysinθ＝0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))的斜率的取值范圍為()A．(－∞，eq\r(3)) B．(2，＋∞)C．(－eq\r(3)，eq\r(3)) D．(－∞，2)答案A解析當cosθ＝0時，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率為k＝0；當cosθ≠0，即θ≠eq\f(π,2)時，由xcosθ＋ysinθ＝0，得y＝－eq\f(cosθ,sinθ)x＝－eq\f(1,tanθ)x，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率為k＝－eq\f(1,tanθ).易知tanθ<－eq\f(\r(3),3)或tanθ>0，所以－eq\f(1,tanθ)<0或0<－eq\f(1,tanθ)<eq\r(3).所以直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范圍為(－∞，0)∪(0，eq\r(3))．綜上所述，直線xcosθ＋ysinθ＝0的斜率的取值范圍為(－∞，eq\r(3))．故選A.二、多項選擇題9．下列說法正確的是()A．截距相等的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x軸的直線C．經(jīng)過點P(1，1)，且傾斜角為θ的直線方程為y－1＝tanθ·(x－1)D．經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0答案BD解析對于A，當截距相等且為0時，不可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1表示，A錯誤；對于B，方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)中，當m＝0時，變?yōu)閥＋1＝0，此時與x軸平行，B正確；對于C，當傾斜角θ＝90°時，tanθ無意義，不能用y－1＝tanθ·(x－1)表示，C錯誤；對于D，設點P(x，y)是經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線上任意一點，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))∥eq\o(P1P,\s\up6(→))，其中eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)，所以(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，故經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正確．故選BD.10．(2023·河北衡水調研)已知直線l：eq\r(3)x＋y－2＝0，則下列說法中正確的是()A．直線l的傾斜角為eq\f(5π,6)B．直線l的斜率為eq\r(3)C．直線l不經(jīng)過第三象限D．直線l的一個方向向量為v＝(－eq\r(3)，3)答案CD解析因為直線l：eq\r(3)x＋y－2＝0可以表示為y＝－eq\r(3)x＋2，所以直線l的斜率k＝－eq\r(3)，傾斜角為eq\f(2π,3)，故A，B錯誤；因為直線y＝－eq\r(3)x＋2，故斜率k<0，縱截距b>0，所以直線l不經(jīng)過第三象限，故C正確；取直線上兩點A(0，2)，B(eq\r(3)，－1)，所以得到方向向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，得到直線l的一個方向向量為v＝(－eq\r(3)，3)，故D正確．故選CD.三、填空題11．(2024·河北唐山模擬)直線l的斜率為k，且k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))，則直線l的傾斜角的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析如圖，當直線l的斜率k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),3)))時，直線l的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).12．(2023·山東兗州模擬)已知直線kx－y＋2＋k＝0在兩坐標軸上的截距相等，則k＝________．答案－2或－1解析因為直線在兩坐標軸上的截距相等，所以k≠0，在kx－y＋2＋k＝0中，令x＝0，得y＝2＋k，令y＝0，得x＝－1－eq\f(2,k)，依題意，得2＋k＝－1－eq\f(2,k)，解得k＝－2或－1.13.(2024·廣東深圳中學階段考試)如圖，某公園內有一個邊長為20m的正方形ABCD區(qū)域，點M處有一個路燈，點M到AB的距離是6m，到BC的距離是8m，現(xiàn)過點M建一條直路交正方形區(qū)域兩邊于點P和點Q，若對△PBQ區(qū)域進行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最小值為________m2.答案96解析如圖，以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則M(6，8)，根據(jù)題意可得直線PQ的斜率存在，設Q(a，0)(0<a≤20)，P(0，b)(0<b≤20)，則直線PQ的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)＝1，且1＝eq\f(6,a)＋eq\f(8,b)≥2eq\r(\f(6,a)·\f(8,b))，所以ab≥192，當且僅當eq\f(6,a)＝eq\f(8,b)＝eq\f(1,2)，即a＝12，b＝16時，等號成立，所以S△PBQ＝eq\f(1,2)ab≥eq\f(1,2)×192＝96，則此綠化區(qū)域面積的最小值為96m2.14．(2023·安徽合肥模擬)經(jīng)過點(4，3)引l1，l2，l3三條直線，使它們的傾斜角的比依次為1∶2∶4，已知l2的方程為3x－4y＝0，則l1的方程為________，l3的方程為________．答案x－3y＋5＝024x－7y－75＝0解析設l1的傾斜角為α，則l2，l3的傾斜角分別為2α，4α，由l2的方程為3x－4y＝0，可知kl2＝eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(3,4)>0，tan4α＝eq\f(2tan2α,1－tan22α)＝eq\f(24,7)，所以l3的方程為y－3＝eq\f(24,7)(x－4)，即24x－7y－75＝0.由于4α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，由二倍角公式可得eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4)，解得tanα＝eq\f(1,3)或tanα＝－3(舍去)，故l1的方程為y－3＝eq\f(1,3)(x－4)，即x－3y＋5＝0.四、解答題15．已知?ABCD的三個頂點為A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，求對角線AC，BD所在直線的方程．解因為?ABCD的三個頂點為A(0，0)，B(3，0)，C(5，3)，設D(x，y)，因為AC和BD的中點重合，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋5,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(0＋3,2)＝\f(0＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以D(2，3)，所以對角線AC所在直線的斜率為eq\f(3－0,5－0)＝eq\f(3,5)，對角線BD所在直線的斜率為eq\f(3－0,2－3)＝－3，所以對角線AC所在直線的方程為y－0＝eq\f(3,5)(x－0)，即3x－5y＝0，對角線BD所在直線的方程為y－0＝－3(x－3)，即3x＋y－9＝0.16．(2024·福建寧德第一中學校考階段練習)已知直線l的橫截距為m，且在x軸、y軸上的截距之和為4.(1)若直線l的斜率為2，求實數(shù)m的值；(2)若直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于點A，B，O是坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．解(1)依題意，直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設直線l的方程為eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直線l經(jīng)過點(m，0)，(0，4－m)，所以直線l的斜率為k＝eq\f(4－m,－m)＝2，解得m＝－4.(2)設直線l的方程為eq\f(x,m)＋eq\f(y,4－m)＝1(m≠0且m≠4)，由直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于點A，B，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,4－m>0，))解得0<m<4，又由A(m，0)，B(0，4－m)，可得S△AOB＝eq\f(1,2)|m||4－m|＝eq\f(1,2)m(4－m)＝eq\f(1,2)(－m2＋4m)＝－eq\f(1,2)(m－2)2＋2，當m＝2時，S△AOB取得最大值2，此時直線l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即y＝－x＋2.17．(多選)(2024·湖南湘潭一中質檢)已知直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1經(jīng)過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是()A．|a|>|b| B．eq\r(－a)>eq\r(b)C．(b－a)(b＋a)>0 D．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)答案AB解析因為直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1經(jīng)過第一、二、三象限，可得a<0，b>0，由直線的斜率小于1，可得0<－eq\f(b,a)<1，結合a<0，可得a<0<b<－a，由絕對值的性質，可得|a|>|b|，所以A正確；由冪函數(shù)y＝eq\r(x)的單調性，得eq\r(－a)>eq\r(b)，所以B正確；由b－a>0，b＋a<0，得(b－a)·(b＋a)<0，所以C錯誤；由eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以D錯誤．故選AB.18．(多選)(2023·廣東湛江模擬)在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD四邊所在直線與x軸的交點分別為(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，則正方形ABCD四邊所在直線中過點(0，0)的直線的斜率可以是()A．2 B．eq\f(3,2) C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)答案ABD解析因為選項斜率均為正值，不妨假設AB所在的直線過點(0，0)，設直線AB的傾斜角為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，斜率為k.①若CD所在的直線過點(1，0)，如圖1，可得|BC|＝sinα，|CD|＝2cosα，因為|BC|＝|CD|，即sinα＝2cosα，則k＝tanα＝2；②若CD所在的直線過點(2，0)，如圖2，可得|BC|＝2sinα，|CD|＝3cosα，因為|BC|＝|CD|，即2sinα＝3cosα，則k＝tanα＝eq\f(3,2)；③若CD所在的直線過點(4，0)，如圖3，可得|BC|＝4sinα，|CD|＝cosα，因為|BC|＝|CD|，即4sinα＝cosα，則k＝tanα＝eq\f(1,4).綜上所述，k的可能取值為2，eq\f(3,2)，eq\f(1,4).故選ABD.19.(2023·遼寧葫蘆島模擬)如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，直線AB過點P(1，0)，當AB的中點C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時，直線AB的方程是________．答案(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0解析由題意，可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x，設A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由點C在直線y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三點共線，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,（m－0）（－\r(3)n－1）＝（n－0）（m－1），))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))，又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.第二節(jié)兩條直線的位置關系與距離公式課標解讀考向預測1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.近三年高考考查了點到直線的距離公式，以與圓錐曲線交匯融合的形式出現(xiàn)在多選題和填空題中，兩條直線的位置關系也是?？純热葜?，難度不大．預計2025年高考會繼續(xù)以多選題或填空題的形式與其他知識交匯考查.必備知識——強基礎1．兩條直線的位置關系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置關系如下表：位置關系l1，l2方程系數(shù)滿足的條件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2垂直eq\x(\s\up1(02))k1k2＝－1相交eq\x(\s\up1(03))k1≠k2直線l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝eq\x(\s\up1(04))(A1，B1)，l4的法向量v2＝eq\x(\s\up1(05))(A2，B2))的位置關系如下表：位置關系法向量滿足的條件l3，l4方程系數(shù)滿足的條件平行v1∥v2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直v1⊥v2eq\x(\s\up1(07))A1A2＋B1B2＝0相交v1與v2不共線eq\x(\s\up1(08))A1B2－A2B1≠02.兩條直線的交點直線l1和l2的交點坐標即為兩條直線的方程組成的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．相交?方程組有eq\x(\s\up1(09))唯一解；平行?方程組eq\x(\s\up1(10))無解；重合?方程組有eq\x(\s\up1(11))無數(shù)個解．注意：雖然利用方程組解的情況可以判斷兩條直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．3．三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結論：|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).③特例：點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對稱關系(1)點(x，y)關于原點(0，0)的對稱點為(－x，－y)．(2)點(x，y)關于x軸的對稱點為(x，－y)，關于y軸的對稱點為(－x，y)．(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離．()答案(1)×(2)×(3)√2．小題熱身(1)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T6改編)點A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為________．答案eq\r(5)解析點A(2，5)到直線l：x－2y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).(2)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離為________．答案eq\f(8,15)解析依題意，將直線l1：3x＋4y－6＝0化為l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以兩平行線間的距離為d＝eq\f(|－18＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(8,15).(3)(人教A選擇性必修第一冊習題2.3T1改編)兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點坐標是________．答案(2，3)解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以兩條直線的交點坐標為(2，3)．(4)直線l1：px＋3y＋1＝0與直線l2：6x－2y－5＝0垂直，則p的值為________．答案1解析由題意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.考點探究——提素養(yǎng)考點一兩條直線的位置關系(多考向探究)考向1判斷兩條直線的位置關系例1(1)直線2x＋y＋1＝0和直線x＋2y＋1＝0的位置關系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合答案B解析方程2x＋y＋1＝0可化為y＝－2x－1，因此該直線的斜率k1＝－2.方程x＋2y＋1＝0可化為y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，因此該直線的斜率k2＝－eq\f(1,2)，因為k1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以這兩條直線相交但不垂直．故選B.(2)(2024·四川宜賓敘州區(qū)第一中學期中)直線l1：2x－my＋8＝0和直線l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置關系是()A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．重合答案B解析因為2·m＋(－m)·2＝0，所以直線l1與直線l2相互垂直．故選B.【通性通法】判斷兩條直線位置關系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關系得出結論．【鞏固遷移】1．(多選)(2024·湖南郴州模擬)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A．若斜率k1＝k2，則l1∥l2B．若k1k2＝－1，則l1⊥l2C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2D．若α1＋α2＝π，則l1⊥l2答案ABC解析對于A，若兩直線的斜率k1＝k2，則它們的傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，A正確；對于B，由兩直線垂直的條件可知，若k1k2＝－1，則l1⊥l2，B正確；對于C，由兩直線平行的條件可知，若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，C正確；對于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝eq\f(π,3)，α2＝eq\f(2π,3)，則k1＝tanα1＝eq\r(3)，k2＝tanα2＝－eq\r(3)，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D錯誤．故選ABC.考向2由兩條直線的位置關系求參數(shù)例2(1)(2023·遼寧丹東二模)直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，則a＝()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案A解析由題意，直線l1：x＋ay－3＝0與直線l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.當a＝－2時，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；當a＝1時，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1與l2重合．故選A.(2)(2024·江蘇徐州模擬)若直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，則a＝________．答案±1解析因為直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，解得a＝±1.【通性通法】解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”【鞏固遷移】2．(2023·陜西安康統(tǒng)考二模)已知直線l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直線l2：(a－2)x＋y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當a＝1時，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；當l1∥l2時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）＝a－2，,2a≠1，))解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故選A.3．(2023·吉林統(tǒng)考二模)已知a>0，b>0，若直線l1：ax＋by－2＝0與直線l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，則a＋2b的最小值為________．答案9解析由兩直線垂直，得2a＋b(1－a)＝0，即2a＋b＝ab，整理可得eq\f(2,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝eq\f(2a,b)＋1＋4＋eq\f(2b,a)≥5＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(2b,a))＝9，當且僅當a＝b＝3時，等號成立，因此a＋2b的最小值為9.考點二兩條直線的交點、距離公式(多考向探究)考向1兩條直線的交點例3過直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點，且過原點的直線的方程為()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案D解析解法一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得直線l1和l2的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又所求直線過原點，所以所求直線的方程為y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0.故選D.解法二：根據(jù)題意，可設所求的直線方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因為此直線過原點，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以所求直線的方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.故選D.【通性通法】求過兩條直線交點的直線方程的方法(1)直接法：先求出兩條直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程．(2)共點直線系法：分離參數(shù)，假設直線方程中含有的參數(shù)為λ，則將直線方程化為f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x，y）＝0，,g（x，y）＝0))即可得定點坐標，從而得到所求的直線方程．【鞏固遷移】4．(2024·山西呂梁模擬)過直線x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交點，且與直線x＋2y－3＝0垂直的直線方程是________．答案2x－y＋5＝0解析解法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以交點坐標為(－2，1)．直線x＋2y－3＝0的斜率為－eq\f(1,2)，所以所求直線方程的斜率為－eq\f(1,－\f(1,2))＝2，由點斜式方程得，所求直線方程為y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.解法二：設所求直線方程為x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0.因為所求直線與直線x＋2y－3＝0垂直，所以所求直線方程的斜率為2，易知λ≠eq\f(1,2)，則eq\f(1＋λ,2λ－1)＝2，得λ＝1，則所求直線方程為2x－y＋5＝0.考向2與距離有關的問題例4(1)(2023·陜西咸陽模擬)已知直線l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，則點P(1，2)到直線l2的距離d＝()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)答案D解析由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝eq\f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq\f(4\r(5),5).故選D.(2)(2024·福建廈門階段考試)若平面內兩條平行線l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0間的距離為eq\f(3\r(5),5)，則實數(shù)a＝________．答案－1解析∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，不滿足題意；當a＝－1時，d＝eq\f(|2＋1|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，滿足題意．故a＝－1.【通性通法】求解距離問題的思路(1)點到直線的距離的求法：可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．(2)兩條平行直線間的距離的求法：①利用“轉化法”將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；②利用兩條平行直線間的距離公式．注意：(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行直線間的距離公式要求兩條直線方程中x，y的系數(shù)分別相等．【鞏固遷移】5．(多選)已知直線l過點P(－1，2)，且點A(2，3)，B(－4，5)到直線l的距離相等，則直線l的方程為()A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0C．x＝－1 D．y＝2答案BC解析解法一：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意，知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－eq\f(1,3)，所以直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，符合題意．故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：當AB∥l時，直線l的斜率k＝kAB＝－eq\f(1,3)，則直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；當直線l過AB的中點(－1，4)時，直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.6．(多選)(2023·山東濟南調研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和直線l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0答案BD解析設直線l的方程為4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題意，知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因為eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l的方程為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考點三對稱問題(多考向探究)考向1點關于點、直線關于點對稱例5(1)過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段恰好被點P平分，則直線l的方程為()A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0答案D解析設l1與l的交點為A(a，8－2a)．由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，把點B的坐標代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因為點A(4，0)，P(0，1)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.故選D.(2)(2023·江蘇鎮(zhèn)江期中)直線l：y＝2x＋3關于點P(2，3)對稱的直線l′的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0答案A解析因為l和l′關于點P對稱，則兩直線平行，可設l′的方程為2x－y＋b＝0(b≠3)，點P到兩直線的距離相等，則eq\f(|2×2－3＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|2×2－3＋b|,\r(22＋（－1）2))，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直線l′的方程是2x－y－5＝0.故選A.【通性通法】兩類中心對稱問題(1)點關于點對稱：點P(x，y)關于M(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)直線關于點對稱的兩種方法【鞏固遷移】7．直線3x－2y＝0關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對稱的直線方程為()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案B解析設所求直線上任一點為(x，y)，則其關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))對稱的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直線3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化簡得3x－2y－2＝0，所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.故選B.8．(2024·河北張家口質檢)光線從點A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B經(jīng)過的路程為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案C解析點A(－3，5)關于x軸的對稱點為C(－3，－5)，則光線從A到B經(jīng)過的路程為CB的長度，即|CB|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10).故選C.考向2點關于直線的對稱例6(2024·河北張家口階段考試)點P(2，0)關于直線l：x－y＋3＝0的對稱點Q的坐標為()A．(－3，5) B．(－1，－4)C．(4，1) D．(2，3)答案A解析設點P(2，0)關于直線l：x－y＋3＝0的對稱點Q的坐標為(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×1＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))所以點Q的坐標為(－3，5)．故選A.【通性通法】若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)對稱，則由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,B（x2－x1）－A（y2－y1）＝0，))可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標．【鞏固遷移】9．(2023·廣東深圳模擬)已知點A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)關于直線4x＋3y＝11對稱，則a，b的值為()A．a(chǎn)＝－1，b＝2 B．a(chǎn)＝4，b＝－2C．a(chǎn)＝2，b＝4 D．a(chǎn)＝4，b＝2答案D解析點A，B關于直線4x＋3y＝11對稱，則kAB＝eq\f(3,4)，即eq\f(b＋2－（－b）,a＋2－（b－a）)＝eq\f(3,4)①，且AB的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在已知直線上，代入得2(b＋2)＋3＝11②，聯(lián)立①②組成方程組，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))故選D.考向3直線關于直線的對稱例7(2024·河南南陽模擬)直線x－2y－1＝0關于直線y－x＝0對稱的直線方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0答案A解析在直線x－2y－1＝0上任取一點P(a，b)，設點P關于直線y－x＝0的對稱點為Q(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－b,x－a)＝－1，,\f(y＋b,2)＝\f(x＋a,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝y(tǒng)，,b＝x，))即P(y，x)，因為點P(y，x)在直線x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直線方程是2x－y＋1＝0.故選A.【通性通法】求直線l1關于直線l對稱的直線l2的兩種方法(1)在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關于直線的對稱點的方法求出這兩點關于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程．(2)設點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點關于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程．特別地，若直線l1與直線l平行，則在直線l1上取一點，求出該點關于直線l的對稱點，由點斜式可得直線l2的方程．【鞏固遷移】10．已知直線l1：x－y＋3＝0與直線l：x－y－1＝0，若直線l1關于直線l的對稱直線為l2，則直線l2的方程為________．答案x－y－5＝0解析解法一：由題意，知l1∥l2，設直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直線l1上取點M(0，3)，設點M關于直線l的對稱點為M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)，將M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5.所以直線l2的方程為x－y－5＝0.解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，設直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因為直線l1，l2關于直線l對稱，所以l1與l，l2與l間的距離相等．由兩平行直線間的距離公式得eq\f(|3－（－1）|,\r(2))＝eq\f(|m－（－1）|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直線l2的方程為x－y－5＝0.課時作業(yè)一、單項選擇題1．(2024·甘肅天水模擬)直線l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，則實數(shù)a＝()A．1 B．－1C．1或－1 D．0答案A解析因為直線l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，所以a2－1＝0且－a－1≠0，解得a＝1.故選A.2．過點A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0答案A解析由題意，可設所求直線方程為x－2y＋m＝0，將A(2，3)代入上式，得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0.故選A.3．已知直線l1：x＋2y－5＝0和直線l2：3x－y－1＝0的交點為A，O為坐標原點，則點A到原點的距離|AO|為()A．1 B．2C．eq\r(5) D．eq\r(3)答案C解析解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直線l1與直線l2的交點A(1，2)，又O為坐標原點，則|AO|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以點A到原點的距離|AO|為eq\r(5).故選C.4．(2024·遼寧撫順模擬)直線l1：2x＋y－1＝0與直線l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(實數(shù)a為參數(shù))的位置關系是()A．l1與l2相交B．l1與l2平行C．l1與l2重合D．l1與l2的位置關系與a的取值有關答案B解析由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0，因為2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1與l2平行．故選B.5．(2023·湖北武漢模擬)已知定點P(－2，0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，則點P到直線l的距離的最大值為()A．2eq\r(3) B．eq\r(10)C．eq\r(14) D．2eq\r(15)答案B解析將(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ變形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是經(jīng)過兩直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交點的直線系．設兩直線的交點為Q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交點Q(1，1)，所以直線l恒過定點Q(1，1)，于是點P到直線l的距離d≤|PQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（0－1）2)＝eq\r(10)，即點P到直線l的距離的最大值為eq\r(10).故選B.6．(2023·山西陽泉模擬)設直線l1：x－2y－2＝0與l2關于直線l：2x－y－4＝0對稱，則直線l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0答案A解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2＝0，,2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))取直線l1：x－2y－2＝0上一點(0，－1)，設點(0，－1)關于直線l：2x－y－4＝0的對稱點為(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a)＝－\f(1,2)，,2×\f(a,2)－\f(b－1,2)－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))直線l2的斜率k＝－eq\f(11,2)，所以直線l2的方程為y＝－eq\f(11,2)(x－2)，整理得11x＋2y－22＝0.故選A.7．(2024·山東濟南質檢)已知a>0，b>0，直線(a－1)x＋2y＋3＝0與直線x＋by－1＝0垂直，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．2＋eq\r(2) B．4C．3＋2eq\r(2) D．6答案C解析因為直線(a－1)x＋2y＋3＝0與直線x＋by－1＝0垂直，所以(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq\r(2)(當且僅當a＝eq\r(2)－1，b＝eq\f(2－\r(2),2)時，等號成立)．故選C.8．(2023·海南三亞二模)△ABC的頂點A(4，3)，AC邊上的中線所在直線的方程為4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分線所在直線的方程為x＋2y－5＝0，則AC邊所在直線的方程為()A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－2，))所以點B的坐標為(9，－2)，設點A(4，3)關于直線x＋2y－5