安徽省合肥六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥六校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.25〖答案〗B〖解析〗由題意有，故．故選：B．2.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與都是紅球C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D.至少有一個黑球與至少有一個紅球〖答案〗C〖解析〗依題意，記2個紅球為，2個黑球為，則從中任取2個球的總的基本事件為，對于A，至少有一個黑球的基本事件為，都是黑球的基本事件為，顯然兩個事件有交事件，所以不為互斥事件，故A錯誤；對于B，至少有一個黑球的基本事件為，都是紅球的基本事件為，顯然兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；對于C，恰有一個黑球的基本事件為，恰有兩個黑球的基本事件為，顯然兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；對于D，至少有一個黑球的基本事件為，至少有一個紅球的基本事件為，顯然兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故選：C.4.已知命題p：，命題q：，若是的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）〖答案〗B〖解析〗由得或，因為是的充分不必要條件，所以是的充分不必要條件，所以，解得或.故選：B.5.已知表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，為取整函數(shù)，是函數(shù)的零點，則（）A.4 B.5 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在遞增，且，，所以函數(shù)存在唯一的零點，故.故選：C.6.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D若，，，則〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.7.一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)與中至少有一個不閉合的事件為與至少有一個不閉合的事件為，則，所以燈亮的概率為.故選：B.8.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長都為2，則（）A.平面 B.該二十四等邊體的體積為C.ME與PN所成的角為 D.該二十四等邊體的外接球的表面積為〖答案〗D〖解析〗依題意，補齊正方體，如下圖，對于A，假設(shè)平面，平面，，，二十四等邊體就是一種半正多面體，由對稱性可知，六邊形為正六邊形，，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，A錯誤；對于B，，正方體的棱長為，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉個三棱錐體積，即，B錯誤；對于C，，為異面直線與所成角（或補角），在等邊中，，C錯誤；對于D，如圖，取正方形對角線交點為，即為該二十四等邊體的外接球球心，在等腰中，，在正方形中，，即外接球半徑，該二十四等邊體的外接球的表面積，D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.向量與夾角的取值范圍是C.與共線的單位向量為 D.存在，使得〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，即，又，則，故A正確；對于B，設(shè)向量與的夾角為，則，因為，則，所以，即，又，所以，即向量與夾角的取值范圍是，故B正確；對于C，與共線的單位向量為或，即或，故C錯誤；對于D，假設(shè)存在，使得，則，即，則，所以，即，又，則，故D正確.故選：ABD.10.如圖為國家統(tǒng)計局公布的2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出統(tǒng)計圖，則（）A.2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出均呈增長趨勢B.2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為27535C.2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差大于人均消費支出的極差D.2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例均大于80%〖答案〗BC〖解析〗對于選項A：由圖知2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入呈增長趨勢，但人均消費支出2020年比2019年少，故A不正確；對于選項B：由圖可知2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為，故B正確；對于選項C：2017~2022年全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為，人均消費支出的極差為，因為，所以人均可支配收入的極差大于人均消費支出的極差，故C正確；對于選項D：2022年全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出占人均可支配收入的比例為，小于80%，故D不正確.故選：BC.11.關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|的敘述正確的是（）A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增C.f(x)在[－π，π]有4個零點 D.f(x)的最大值為2〖答案〗AD〖解析〗A：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時，f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx，f(x)在單調(diào)遞減，故B錯誤；C：當(dāng)x∈[0，π]時，令f(x)＝sin|x|＋|sinx|＝2sinx＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上為偶函數(shù)，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根為－π，0，π，有3個零點，故C錯誤；D：∵sin|x|≤1，|sinx|≤1，當(dāng)或時兩等號同時成立，∴f(x)的最大值為2，故D正確．故選：AD.12.已知正方體，則（）A.直線與所成的角為60° B.直線與所成的角為90°C.直線平面所成的角為45° D.直線與平面所成的角為45°〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連接，，由正方體的性質(zhì)知：，直線與所成的角即為與所成的角，因為為等邊三角形，所以直線與所成角為60°，故A正確；對于B，連接，因為平面，平面，所以，又因，，所以，平面，所以平面，平面，所以，所以直線與所成的角為90°，故B正確；對于C，因為平面，所以直線平面所成的角為，，所以直線平面所成的角為45°，故C正確；對于D，連接交于點，因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，設(shè)正方體的邊長為，所以，，所以，所以，所以直線與平面所成的角為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的最小值為______．〖答案〗〖解析〗因為，令，則，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為__________.〖答案〗〖解析〗因為，故，即，由于，故，因為，故.故〖答案〗為：.15.在中，若，則的形狀為_________.〖答案〗等腰或直角三角形〖解析〗，由正弦定理可得，所以，即，，或，，或，因此為等腰或直角三角形.故〖答案〗為：等腰或直角三角形.16.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為___________.〖答案〗〖解析〗從2至8的整數(shù)有2，3，4，5，6，7，8，互質(zhì)的兩個數(shù)有2和3，2和5，2和7，3和4，3和5，3和7，3和8，4和5，4和7，5和6，5和7，5和8，6和7，7和8，共14對，所以隨機取2個數(shù)，互質(zhì)的概率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知一個圓錐的底面半徑為，高為，在其內(nèi)部有一個高為的內(nèi)接圓柱．（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求圓柱的側(cè)面積的最大值及此時的值．解：（1）設(shè)圓錐頂點為，底面圓心為，圓柱的底面半徑為，作出圓錐和圓柱的軸截面如下圖所示，，，則，圓柱側(cè)面積.（2）由（1）知：，當(dāng)時，圓柱側(cè)面積取得最大值.18.已知向量，，.（1）求的值；（2）若，，且，求的值.解：（1）根據(jù)題意，由于向量，那么可知.（2）根據(jù)題意，由于且，那么.19.定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）若使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，時，，所以，解得，所以時，，當(dāng)時，，所以，又，所以，，即在上的〖解析〗式為.（2）因為時，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，與都是減函數(shù)，所以也是減函數(shù)，，所以，故實數(shù)的取值范圍是.20.在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的面積為，滿足.（1）求角；（2）若，求周長最大值.解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，由余弦定理，得，整理得，由余弦定理，得，因為，所以.（2）因為，所以根據(jù)正弦定理，得，所以，在中，由余弦定理，得，整理得，因為，所以，整理可得即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以取得最大值是，當(dāng)時取到，所以周長的最大值為.21.隨著老年人消費需求從“生存型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變．消費層次不斷提升，“銀發(fā)經(jīng)濟”成為社會熱門話題之一，被各企業(yè)持續(xù)關(guān)注.某企業(yè)為了解該地老年人消費能力情況，對該地年齡在的老年人的年收入按年齡，分成兩組進行分層抽樣調(diào)查，已知抽取了年齡在的老年人500人．年齡在的老年人300人．現(xiàn)作出年齡在的老年人年收入的頻率分布直方圖（如下圖所示）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地年齡在的老年人年收入的平均數(shù)及第95百分位數(shù)；（2）已知年齡在的老年人年收入的方差為3，年齡在的老年人年收入的平均數(shù)和方差分別為3.75和1.4，試估計年齡在的老年人年收入的方差．解：（1）頻率分布直方圖中，該地年齡在的老年人年收入的平均數(shù)約為：，由頻率分布直方圖，年收入在萬元以下的老年人所占比例為，年收入在萬元以下的老年人所占比例為，因此，第95百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計該地年齡在的老年人年收入的第95百分位數(shù)為.（2）設(shè)年齡在的老年人樣本的平均數(shù)記為，方差記為；年齡在的老年人樣本的平均數(shù)記為，方差記為；年齡在的老年人樣本的平均數(shù)記為，方差記為，由（1）得，由題意得，，，，則，由，可得，即估計該地年齡在的老年人的年收入方差為3.22.如圖，是半球的直徑，為球心，依次是半圓上的兩個三等分點，是半