福建省泉州市2024屆高中畢業(yè)班5月適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市2024屆高中畢業(yè)班5月適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.等比數(shù)列中，，，記為的前n項和，則（）A. B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列公比為，則，因為，則，又，故，，，則．故選：D2.已知集合，，若，則（）A.-3 B.-1 C.1 D.3〖答案〗C〖解析〗，，若，則，，故．故選：C.3.已知圓的內(nèi)接四邊形中，，，，則（）A.-3 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗圓的內(nèi)接四邊形中，，則，在中，，在中，，所以．故選：A4.已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）A. B.2 C.-2 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，，由，得，解得，，∴，∴.故選：B．5.設(shè)雙曲線E的中心為O，一個焦點為F，過F作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、．若，則E的離心率等于（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的方程為，且，則E的兩條漸近線方程分別為，．設(shè)直線的傾斜角為，則，易得≌，所以，且，從而，所以，故，即，整理，得，故E的離心率等于．故選：C6.數(shù)學(xué)家泰勒給出如下公式：，，這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性．若根據(jù)以上公式估算的值，則以下數(shù)值中最精確的是（）A.0.952 B.0.994 C.0.995 D.0.996〖答案〗C〖解析〗由題意可得：．故選：C.7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報名參加4項不同的趣味運動項目，每人只能報一項，則在乙、丙、丁三位同學(xué)所報項目與甲同學(xué)所報項目不同的條件下，四位同學(xué)所報項目各不相同的概率等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗乙、丙、丁三位同學(xué)所報項目與甲同學(xué)所報項目不同有種可能．四位同學(xué)所報項目各不相同有種可能．在乙、丙、丁三位同學(xué)所報項目與甲同學(xué)所報項目不同的條件下，四位同學(xué)所報項目各不相同的概率，故選:B．8.函數(shù)在的最大值為m，在的最大值為n，則以下命題為假命題的是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且〖答案〗A〖解析〗A：若，，則，得，所以，故，所以，，得，，所以，矛盾，故A為假命題；B：當(dāng)時，函數(shù)在的最大值為，在上的最大值為，此時，，故，且，故B為真命題；C：當(dāng)時，函數(shù)在最大值為，在上的最大值為，此時，，故，且，故C為真命題；D：當(dāng)時，函數(shù)在的最大值為，在上的最大值為1，此時，，故，且，故D為真命題．故選：A．二、多選題9.已知，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意，得，，，對于A，，故A正確；對于B，取，，則，故B錯誤；對于C，取，，則，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．故選：AD10.中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，的面積，則以下說法正確的是（）A.B.的周長的最大值為6C.若，則為正三角形D.若邊上的中線長等于，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，，即可得到，又，所以，故A項錯誤．對于B，由余弦定理，利用基本不等式可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時周長最大值為6，故B項正確．對于C，由B項可知當(dāng)時，，則，故為正三角形，故C項正確．對于D，設(shè)邊上的中線為，設(shè)，在中，，在中，，聯(lián)立可解得，則，故D項錯誤．故選：BC.11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．已知正三棱臺中，，棱，的中點分別為，．若該棱臺頂點，的曲率之差為，則（）A.B平面C.直線與平面所成角的正弦值等于D.多面體頂點D的曲率的余弦值等于〖答案〗BC〖解析〗正三棱臺中，棱，的中點分別為，，延長，相交于P，設(shè)O為的中心，棱的中點為E，以過O且平行于的直線為x軸，直線為y軸，直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∵正三棱臺的頂點，的曲率之差為，∴，則，又，∴，，令，則，，，，，，，，．對于A，∵，，，∴與不垂直，故A錯誤；對于B，∵，，則，同理，，又，平面，∴平面，即平面，故B正確；對于C，∵，，令平面，即平面的法向量為，則，取，得，令直線與平面所成角為，∴，故C正確；對于D，∵，，∴，又多面體頂點D的曲率，∴，故D錯誤．故選：BC．三、填空題12.菱形中，，，則__________．〖答案〗-3〖解析〗由題意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故〖答案〗為：-3．13.已知四面體有兩個面是邊長為2的正三角形，另外兩個面是直角三角形，則該四面體的體積等于__________．〖答案〗〖解析〗由題意,作出圖象如下圖所示，在三棱錐中，，，取的中點，連結(jié)，，在和中，由幾何知識得，兩三角形為等腰直角三角形，∴又平面，平面，，所以平面．故，分別是三棱錐和三棱錐的高，從而．在中，，，，∴．所以．故〖答案〗：14.已知為坐標(biāo)原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)，，則，依題意，四邊形為矩形，則，即，所以，即，則，所以頂點的軌跡方程為，故〖答案〗為:．四、解答題15.某公司為了解年研發(fā)資金（單位：億元）對年產(chǎn)值（單位：億元）的影響，對公司近8年的年研發(fā)資金和年產(chǎn)值（，）的數(shù)據(jù)對比分析中，選用了兩個回歸模型，并利用最小二乘法求得相應(yīng)的關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程：①；②．（1）求的值；（2）已知①中的殘差平方和，②中的殘差平方和，請根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗回歸方程，并利用該經(jīng)驗回歸方程預(yù)測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)．解：（1）根據(jù)題意，，，所以樣本中心點為，代入經(jīng)驗回歸方程，得，解得.所以的值為.（2）設(shè)經(jīng)驗回歸方程①的決定系數(shù)為，由，則，設(shè)經(jīng)驗回歸方程②的決定系數(shù)為，由，則，因為，所以經(jīng)驗回歸方程②的擬合效果更好；當(dāng)時，，所以年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值約為億元．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若直線與曲線相切，求；（2）若直線與曲線恰有兩個公共點，求．解：（1）當(dāng)時，，，因為直線與曲線相切，設(shè)切點為，則切線斜率，可得，解得或，所以或．（2）因為直線與曲線恰有兩個公共點，所以方程，即方程有兩個不等實根，因為是方程的一個根；當(dāng)時，方程可化為（*），依題意，方程（*）有不等于的唯一根，因為，若，則（*）即，，滿足條件；若，則由，解得：．綜上所述，或．17.如圖所示的幾何體是由圓錐與圓柱組成的組合體，其中圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，圓錐的高，M為圓柱下底面圓周上異于A，B的點．（1）求證：∥平面；（2）若，求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．（1）證明：連結(jié)，，設(shè)圓錐的底面所在平面為，則，，所以S，，O三點共線．從而，所以點S，D，C，O共面．又因為，，所以四邊形為平行四邊形，故，因為M為圓柱下底面圓周上異于A，B的點，所以平面，又平面，所以平面．（2）解：如圖，以為原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，即，且，則，，，設(shè)平面的法向量，則，即，整理得，令，則．因為，所以，從而，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，故．因為，所以，從而，解得，所以直線與平面所成角的正切值的取值范圍為．18.設(shè)A，B為橢圓C：的短軸端點，P為橢圓上異于A，B的任意一點，D在直線上．（1）求直線，的斜率的乘積；（2）證明：；（3）過右焦點F作x軸的垂線，E為上異于F的任意一點，直線交C于M，N兩點，記直線，，的斜率分別為，，，是否存在，，的某個排列，使得這三個數(shù)成等差數(shù)列？若存在，加以證明；若不存在，請說明理由．（1）解：不妨設(shè)，，設(shè)，則直線，的斜率分別為，，所以．又因為，所以，故，即直線，的斜率的乘積為．（2）證明：由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P位于第一象限或長軸右端點，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則．由（1）知，，故，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時P為C的右頂點．因為，又因為，且，所以．（3）解：設(shè)，①當(dāng)在軸上時，，不妨設(shè)，，，，，從而；②當(dāng)不在軸上時，設(shè)，，直線：，由得，所以．由消去，得，因為直線過點，則，從而，（*），又．將（*）式代入上式，得．綜上，可得，即，，或，，成等差數(shù)列．19.將足夠多的一批規(guī)格相同、質(zhì)地均勻的長方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，每個鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠而不掉下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問題．將鐵塊從上往下依次標(biāo)記為第1塊、第2塊、第3塊、……、第n塊，將前塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌面的上方，整批鐵塊就保持不倒．設(shè)這批鐵塊的長度均為1，若記第n塊比第塊向桌緣外多伸出的部分的最大長度為，則根據(jù)力學(xué)原理，可得，且為等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為．①比較與的大?。虎趯τ跓o窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列收斂于，也稱數(shù)列的極限為，記為；反之，則稱不收斂．請根據(jù)數(shù)列收斂的定義判斷是否收斂？并據(jù)此回答“里拉斜塔”問題．解：（1）依題意，第1塊鐵塊比第2塊鐵塊向桌外伸出部分的最大長度為第1塊鐵塊自身長度的一半，則，由為等差數(shù)列，得其首項為，公差，因