福建省泉州市鯉城區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市鯉城區(qū)2024屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.若全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵全集是實(shí)數(shù)集，集合，∴，∴故圖中陰影部分所表示的集合為集合去掉中的元素,即.故選：A.2若（，2，3，…，n），則數(shù)據(jù)組和，（）A.有相同的平均數(shù) B.有相同的中位數(shù)C.有相同的方差 D.有相同的眾數(shù)〖答案〗C〖解析〗由（，4，3，…，n），得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都相應(yīng)地比數(shù)據(jù)組的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)大4，ABD錯誤；數(shù)據(jù)組與數(shù)據(jù)組相對于各自平均數(shù)的波動大小不變，因此兩個數(shù)據(jù)組的方差相同，C正確.故選：C3.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的一個可能值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，由，得，即，整理得，顯然選項(xiàng)ACD不滿足要求，B符合要求.故選：B4.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，，整理得，即，由，得，所以.故選：D5.若平面向量，滿足，且時，取得最小值，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，則為直線OB上的點(diǎn)C與點(diǎn)A之間的距離，由時，取得最小值，得C為線段OB的中點(diǎn)且，由于，所以.故選：B6.已知是圓錐的軸截面，點(diǎn)C在SA上，且.若過點(diǎn)C且平行于SB的平面恰過點(diǎn)，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由過點(diǎn)C且平行于SB的平面恰過點(diǎn)O，知，根據(jù)二面角定義知，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以C是SA的中點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以是邊長為的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑為，圓錐的高為所以該圓錐的體積為.故選：C.7.若函數(shù)，，則（）A.函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱B.，使得C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對A：當(dāng)時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且增長速度比快，即的圖象在上方；同理的圖象也在上方.所以函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱是不可能的，故A錯；對B：設(shè)（），則，（），設(shè)（），則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，即.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以（因?yàn)椋什荒苋　啊保?所以在恒成立，故B錯；對C：因?yàn)椋?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故C正確；對D：由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.所以.故D錯.8.若坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)的軌跡為曲線C，則以下結(jié)論不成立的是（）A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱 B.C. D.曲線C上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的最大值為1〖答案〗D〖解析〗對于A，曲線上任意點(diǎn)，顯然成立，即點(diǎn)在曲線C上，因此曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，A正確；對于B，由，得，因此，即，B正確；對于C，令，由消去得，則有，解得，C正確；對于D，令，得，解得或，顯然點(diǎn)在曲線C上，點(diǎn)到原點(diǎn)距離，D錯誤.故選：D.二、選擇題9.若函數(shù)，則（）A.若，則既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)B.若為奇函數(shù)，則C.若，則存在兩個不同的零點(diǎn)D.若的定義域?yàn)镽，則〖答案〗BCD〖解析〗對A：時，，由可得定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對B：若為奇函數(shù)，則，對函數(shù)定義域中任意成立，所以，而時，函數(shù)定義域?yàn)?，故B正確；對于C：當(dāng)時，由可得，解得或，故C正確；對于D：若的定義域?yàn)镽，則對任意成立，于是，當(dāng)時，由知恒成立，當(dāng)時，需恒成立，即恒成立，所以，綜上時即對任意不等式組恒成立，故D正確.故選：BCD.10.已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，，則（）A.C的方程為B.C的離心率為2C.若點(diǎn)為雙曲線C上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D.若點(diǎn)為雙曲線C上支上的一點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積為〖答案〗BC〖解析〗對于A，雙曲線C：的漸近線方程，則，于是雙曲線C的方程為，A錯誤；對于B，雙曲線C的離心率，B正確；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與雙曲線上支的交點(diǎn)時取等號，C正確；對于D，由點(diǎn)在雙曲線上支上，得，，的周長，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，因此的內(nèi)切圓面積為，D錯誤.故選：BC.11.已知隨機(jī)變量X的分布列如下：123…n…若數(shù)列是等差數(shù)列，則（）A.若n為奇數(shù)，則 B.C.若數(shù)列單調(diào)遞增，則 D.〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)列是等差數(shù)列且，得，所以，對于A，當(dāng)n為奇數(shù)時，，故A正確；對于B，由得，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，若數(shù)列單調(diào)遞增，則可得，故，故選項(xiàng)C正確；對于D：由，其中，所以，因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD三、填空題12.若，則______.（用含n的式子表示）〖答案〗〖解析〗依題意，，所以.故〖答案〗為：13.若將正方體繞著棱AB旋轉(zhuǎn)后，CD所在位置為的位置，則直線和平面所成的角為______.〖答案〗〖解析〗如圖，由對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則為頂角的等腰三角形，，所以平面與平面的夾角為，旋轉(zhuǎn)后顯然與平面垂直，所以直線和平面所成的角為.故〖答案〗為：.14.若過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)和，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線AB方程為，由消去得，顯然，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以則的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請說明理由.解：（1）由E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.（2）棱柱中，側(cè)棱底面，取AB中點(diǎn)O，中點(diǎn)M，連接，則，平面，而平面，則有，又，則，即直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，假設(shè)在平面上存在點(diǎn)P，使，設(shè)，，，即，顯然，由，得，因此，即，此時，所以當(dāng)時，存在唯一的點(diǎn)，即棱的中點(diǎn)，使.16.已知函數(shù)（且）.（1）若，求a；（2）若，且對于任意，在區(qū)間上總存在極值，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，由得：（），所以.當(dāng)時，，由得：（），所以.所以.（2）時，.所以，（）.所以，（）對于任意，在區(qū)間上總存在極值就是：有兩個不相等的實(shí)根，且必有一根在區(qū)間內(nèi).因?yàn)楹瘮?shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，所以必有：.由，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，由.綜上可知：.所以，所求的取值范圍是：17.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.（1）寫出命題p：“已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，.若，則是直角三角形”的逆命題q，并判斷逆命題q的真假；（2）若外的點(diǎn)D滿足，，求面積的最大值.解：（1）逆命題q為：已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，若是直角三角形，則.命題q的為假命題，理由如下：由為直角三角形，且，得或，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此逆命題q是假命題.（2）由于外的點(diǎn)D滿足，而，則四點(diǎn)共圓，由，得，且，設(shè)，則，在中，由正弦定理得外接圓直徑，，在中，，在中，，則的面積，顯然，，因此當(dāng)時，，所以面積的最大值為.18.測試發(fā)現(xiàn)，某位慣用腳為右腳的足球球員甲在罰點(diǎn)球時，踢向球門左側(cè)、中間和右側(cè)的概率分別為0.5，0.1和0.4，并且，踢向左側(cè)、中間和右側(cè)時分別有0.1，0.2和0.2的概率踢飛或踢偏（沒有射正）.守門員在撲點(diǎn)球一般會提前猜測方向.測試發(fā)現(xiàn)，某位守門員乙在撲點(diǎn)球時猜右側(cè)（即足球運(yùn)動員甲在罰點(diǎn)球時，踢向球門左側(cè)）、中間和左側(cè)（即足球運(yùn)動員甲在罰點(diǎn)球時，踢向球門右側(cè)）的概率分別為0.6，0.1和0.3.當(dāng)他猜中方向?yàn)樽髠?cè)或者右側(cè)來時撲出點(diǎn)球的概率均為0.5，當(dāng)他猜中方向?yàn)橹虚g時，撲出點(diǎn)球的的概率為0.8.（1）求球員甲面對守門員乙時，第1次罰點(diǎn)球罰丟的概率；（2）若球員甲在上一輪罰丟點(diǎn)球，則下一輪面對球員甲罰點(diǎn)球時，守門員乙的信心將會激增，在猜中方向的前提下，所有方向撲出點(diǎn)球概率都會在原來的基礎(chǔ)上增加0.1；若球員甲在上一輪罰進(jìn)點(diǎn)球，守門員乙將會變得著急，會有0.2的概率提前移動，在守門員乙提前移動的情況下，若球員甲罰丟點(diǎn)球，則可獲得重罰機(jī)會.已知守門員乙提前移動時撲出三個方向點(diǎn)球的概率均會增加0.1.假定因?yàn)槭亻T員乙提前移動球員甲重罰點(diǎn)球仍屬于第二輪，且重罰時守門員乙不再提前移動.（i）求球員甲第二輪罰進(jìn)點(diǎn)球的概率；（ii）設(shè)為球員甲在第k輪罰進(jìn)點(diǎn)球的概率，若滿足對于，，直接寫出符合題意的.（注：最終結(jié)果均保留兩位小數(shù).）解：（1）設(shè)球員甲罰點(diǎn)球時，踢向左側(cè)、中間、右側(cè)的事件分別為，球員甲踢飛或踢偏（沒有射正）的事件為D，守門員乙在撲點(diǎn)球時撲向右側(cè)、中間、左側(cè)的事件分別為，守門員乙撲出點(diǎn)球的事件為E，則，，，設(shè)球員甲第1次罰點(diǎn)球罰丟的事件為F，則為互斥事件，則.（2）（i）當(dāng)球員甲在上一輪罰丟點(diǎn)球時，守門員乙所有方向撲出點(diǎn)球的概率都增加0.1，或者守門員乙提前移動時，所有方向撲出點(diǎn)球的也增加0.1，因此球員甲第二輪罰進(jìn)點(diǎn)球包含以下4個互斥事件：①第一輪罰進(jìn)，第二輪守門員乙未提前移動且罰進(jìn)，概率為；②第一輪罰進(jìn)，第二輪守門員乙提前移動且罰進(jìn)，此時罰丟點(diǎn)球的概率為，此時罰進(jìn)的點(diǎn)球的概率為；③第一輪罰進(jìn)，第二輪守門員乙提前移動未罰進(jìn)，此時罰進(jìn)的概率為；④第一輪未罰進(jìn)，第二輪罰進(jìn)，此時罰進(jìn)的概率為，所以第二輪球員甲罰進(jìn)的概率為.（ii）.由（1）及（2）（i）知，，則第三輪的情況如第二輪時情形，但第二輪罰進(jìn)點(diǎn)球的概率增加了，因此第三輪罰進(jìn)點(diǎn)球的概率比第二輪時要高，從而隨的增大而增大，于是若滿足對于，均有，則.19.在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點(diǎn)以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點(diǎn)，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點(diǎn).（1）將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時間關(guān)于x的函數(shù)的〖解析〗式；（2）費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決以下問題：（i）證明：.（ii）若，，，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B所經(jīng)過路