權值線段樹的增量維護

1/1權值線段樹的增量維護第一部分權值線段樹定義與數(shù)據(jù)結構 2第二部分單點增量更新操作的實現(xiàn) 4第三部分區(qū)間增量更新操作的實現(xiàn) 8第四部分區(qū)間查詢操作的實現(xiàn) 11第五部分時域動態(tài)開點與空間優(yōu)化技巧 14第六部分權值線段樹的應用場景 16第七部分樸素實現(xiàn)與樹狀數(shù)組的對比 19第八部分權值線段樹的優(yōu)化與擴展 21

第一部分權值線段樹定義與數(shù)據(jù)結構關鍵詞關鍵要點主題名稱：權值線段樹的定義

1.權值線段樹是一種用于處理一組數(shù)據(jù)區(qū)間查詢和修改的的數(shù)據(jù)結構。

2.它是一個二叉樹，其中每個節(jié)點存儲特定區(qū)間內(nèi)某個值的統(tǒng)計信息，稱為權值。

3.葉節(jié)點表示原始數(shù)組中的元素，而內(nèi)部節(jié)點表示其子區(qū)間合并后的權值。

主題名稱：權值線段樹的數(shù)據(jù)結構

權值線段樹定義

權值線段樹是一種數(shù)據(jù)結構，用于高效地維護離散序列的權值信息，并支持區(qū)間查詢、修改操作。

與普通線段樹不同的是，權值線段樹不僅存儲區(qū)間和，還存儲每個區(qū)間中元素的權值。權值是指每個元素的附加信息，它可以是任意的值。

數(shù)據(jù)結構

權值線段樹由一個數(shù)組（稱為“權值數(shù)組”）和一個二叉樹（稱為“線段樹”）組成。

權值數(shù)組

權值數(shù)組存儲序列中的元素權值。權值數(shù)組的索引與序列的索引一一對應。

線段樹

線段樹是一個二叉樹，它將序列劃分為不相交的子區(qū)間。線段樹的每個節(jié)點存儲以下信息：

*區(qū)間：節(jié)點所表示的序列子區(qū)間。

*權值和：區(qū)間內(nèi)所有元素權值的和。

*權值最大值：區(qū)間內(nèi)元素權值的最大值。

*權值最小值：區(qū)間內(nèi)元素權值的最大值。

建樹

權值線段樹可以通過遞歸的方式建樹：

1.將序列劃分為兩個相等的子區(qū)間。

2.對于每個子區(qū)間，遞歸地建樹。

3.將子區(qū)間的權值和、權值最大值和權值最小值更新到當前節(jié)點。

區(qū)間查詢

權值線段樹支持高效的區(qū)間查詢操作，可以查詢指定區(qū)間內(nèi)元素的權值信息。

1.找到表示指定區(qū)間的線段樹節(jié)點。

2.返回節(jié)點存儲的權值和。

區(qū)間修改

權值線段樹還支持區(qū)間修改操作，可以修改指定區(qū)間內(nèi)元素的權值。

1.找到表示指定區(qū)間的線段樹節(jié)點。

2.更新節(jié)點存儲的權值和。

3.遞歸地更新節(jié)點的祖先節(jié)點的權值和。

維護區(qū)間最值

權值線段樹可以高效地維護區(qū)間最值，包括區(qū)間權值最大值和權值最小值。

1.在線段樹的每個節(jié)點存儲區(qū)間權值最大值和權值最小值。

2.在區(qū)間修改操作后，遞歸地更新節(jié)點及其祖先節(jié)點的權值最大值和權值最小值。

優(yōu)勢

權值線段樹具有以下優(yōu)勢：

*高效查詢：O(logn)時間復雜度的區(qū)間查詢。

*高效修改：O(logn)時間復雜度的區(qū)間修改。

*區(qū)間最值維護：O(logn)時間復雜度的區(qū)間權值最大值和權值最小值維護。

*靈活性：可以存儲任意類型的權值信息。

應用

權值線段樹廣泛應用于各種問題中，包括：

*范圍查詢問題

*區(qū)間更新問題

*區(qū)間最值問題

*統(tǒng)計問題第二部分單點增量更新操作的實現(xiàn)單點增量更新操作的實現(xiàn)

權值線段樹的單點增量更新操作涉及修改區(qū)間內(nèi)單個元素的值，同時更新線段樹上的節(jié)點信息以反映這一變化。以下介紹具體實現(xiàn)步驟：

1.區(qū)間定位：

*確定要更新值的元素所在區(qū)間，記為`[l,r]`。

*使用遞歸或迭代方法，從根節(jié)點出發(fā)，沿著路徑`[l,r]`定位到該區(qū)間對應的葉節(jié)點。

2.更新葉節(jié)點值：

*一旦找到葉節(jié)點，更新其權值以反映增量。

3.逐層更新權值：

*從葉節(jié)點向上逐層回溯到根節(jié)點。

*對于每個經(jīng)過的內(nèi)部節(jié)點，更新其權值以反映其子節(jié)點權值的改變。

*具體更新公式：`node.val=node.left.val+node.right.val`。

4.更新路徑信息：

*在回溯過程中，對于每個經(jīng)過的內(nèi)部節(jié)點，檢查是否有延遲標記需要處理。

*如果有延遲標記，更新該節(jié)點的信息（例如，增加或減少懶惰值）。

*更新完成后，清空延遲標記。

5.遞歸更新：

*對于每個經(jīng)過的內(nèi)部節(jié)點，遞歸更新其子樹以反映增量。

*這可以通過繼續(xù)執(zhí)行步驟1-4來實現(xiàn)。

具體實現(xiàn)示例：

C++代碼：

```cpp

//基線情況：區(qū)間外

if(l>tr||r<tl)return;

//基線情況：葉節(jié)點

tree[v]+=val;

return;

}

//更新懶惰傳播

push(v);

//分裂區(qū)間

intmid=(tl+tr)/2;

//更新子樹

update(l,min(r,mid),val,v*2,tl,mid);

update(max(l,mid+1),r,val,v*2+1,mid+1,tr);

//合并權值

tree[v]=tree[v*2]+tree[v*2+1];

}

```

Python代碼：

```python

defupdate(self,l:int,r:int,val:int,v:int,tl:int,tr:int)->None:

#基線情況：區(qū)間外

ifl>trorr<tl:

return

#基線情況：葉節(jié)點

ifl==tlandr==tr:

self.tree[v]+=val

return

#更新懶惰傳播

self.push(v)

#分裂區(qū)間

mid=(tl+tr)//2

#更新子樹

self.update(l,min(r,mid),val,v*2,tl,mid)

self.update(max(l,mid+1),r,val,v*2+1,mid+1,tr)

#合并權值

self.tree[v]=self.tree[v*2]+self.tree[v*2+1]

```

Java代碼：

```java

//Basecase:Outofrange

if(l>tr||r<tl)return;

//Basecase:Leafnode

tree[v]+=val;

return;

}

//Updatelazypropagation

push(v);

//Splitinterval

intmid=(tl+tr)/2;

//Updatesubtrees

update(l,Math.min(r,mid),val,2*v,tl,mid);

update(Math.max(l,mid+1),r,val,2*v+1,mid+1,tr);

//Mergevalues

tree[v]=tree[2*v]+tree[2*v+1];

}

```

時間復雜度：

單點增量更新操作的時間復雜度為O(logn)，其中n是線段樹中元素的數(shù)量。這是因為該操作需要遍歷到包含目標元素的葉節(jié)點，并沿路徑更新所有受影響的內(nèi)部節(jié)點。第三部分區(qū)間增量更新操作的實現(xiàn)關鍵詞關鍵要點區(qū)間增量更新操作的實現(xiàn)

主題名稱：算法設計

*

*采用遞歸的方式對線段樹進行更新，利用懶惰標記機制延遲計算。

*將更新區(qū)間劃分為左右子區(qū)間，分別進行更新。

*根據(jù)更新類型（加法或乘法）和區(qū)間內(nèi)各節(jié)點的值進行相應計算。

主題名稱：復雜度分析

*區(qū)間增量更新操作的實現(xiàn)

區(qū)間增量更新操作允許將一個值增量應用于線段樹中指定區(qū)間的每個元素。對于權值線段樹，這可以通過以下步驟實現(xiàn)：

1.確定受影響的范圍：確定包含要更新區(qū)間的線段樹中的最小子樹。這可以通過二分搜索或遞歸地向下遍歷線段樹來實現(xiàn)。

2.更新葉節(jié)點：對于最小子樹中的每個葉節(jié)點，將其值增加給定的增量。

3.遞歸更新非葉節(jié)點：對于最小子樹中的每個非葉節(jié)點，重新計算其值，作為其子節(jié)點值的總和。

4.向上更新：沿最小子樹的祖先路徑向上更新每個非葉節(jié)點的值，直到達到根節(jié)點。

算法描述

```python

defrange_increment_update(self,left,right,increment):

#確定受影響的范圍

start,end=self.find_range(left,right)

#更新葉節(jié)點

foriinrange(start,end+1):

self.tree[i]+=increment

#遞歸更新非葉節(jié)點

self._propagate_up(start,end)

```

實現(xiàn)細節(jié)

*二分搜索快速確定范圍：在`find_range`方法中，使用二分搜索快速確定包含要更新區(qū)間的最小子樹。

*向上更新的傳播：在`_propagate_up`方法中，沿著受影響范圍的祖先路徑向上更新每個非葉節(jié)點的值。

*處理越界的情況：如果指定的更新范圍超出了線段樹的范圍，則將其截斷到線段樹邊界內(nèi)。

*空間復雜度：O(n)，其中n為線段樹中節(jié)點的總數(shù)。

*時間復雜度：對于平衡的線段樹，O(logn)；對于最壞情況（不平衡的線段樹），O(n)。

示例

考慮一個權值線段樹，其原始值如下：

```

[1,2,3,4,5]

```

要將區(qū)間[2,4]中的每個值增加3，執(zhí)行以下步驟：

1.確定受影響的范圍：使用二分搜索，確定最小子樹為[2,4]。

2.更新葉節(jié)點：增加[2,4]中每個葉節(jié)點的值：

*[1,5,3,7,5]

3.遞歸更新非葉節(jié)點：

*非葉節(jié)點[1,6]的值為[5,7]之和，即12。

4.向上更新：到根節(jié)點，12的值傳播到根節(jié)點[12]。

更新后的權值線段樹：

```

[12]

```第四部分區(qū)間查詢操作的實現(xiàn)關鍵詞關鍵要點【區(qū)間查詢操作的實現(xiàn)】

1.遞歸查詢：

-根據(jù)查詢區(qū)間與線段樹節(jié)點區(qū)間的關系，將查詢區(qū)間拆分為左右兩個子區(qū)間。

-對子區(qū)間遞歸查詢，將查詢結果合并得到最終結果。

2.區(qū)間重疊檢測：

-確定查詢區(qū)間與線段樹節(jié)點區(qū)間是否重疊。

-根據(jù)重疊情況，確定查詢操作的范圍。

3.值域合并：

-將查詢區(qū)間內(nèi)所有節(jié)點的值合并得到最終結果。

-合并方式取決于權值線段樹存儲的值的類型。

【區(qū)間修改操作的實現(xiàn)】

區(qū)間查詢操作的實現(xiàn)

區(qū)間查詢操作用于求解指定閉區(qū)間`[l,r]`內(nèi)所有權重的和。對于權值線段樹，實現(xiàn)區(qū)間查詢操作涉及以下步驟：

1.遞歸進入?yún)^(qū)間[l,r]：從根節(jié)點開始，使用`l`和`r`將線段樹劃分為左右子樹。

2.檢查重合情況：

-如果`l`和`r`完全包含子樹的區(qū)間，則直接返回子樹的權重和。

-如果`l`和`r`與子樹的區(qū)間沒有重合，則返回0。

3.部分重合：

-如果`l`和`r`部分重合子樹的區(qū)間，則遞歸地對左右子樹進行區(qū)間查詢，并將結果相加。

4.合并子樹權重：

-對于重合的部分，將左右子樹的權重和相加，作為該區(qū)間的權重和。

5.遞歸返回：

-將合并后的權重和作為當前區(qū)間的查詢結果并返回。

偽代碼：

```python

defrange_query(l,r,node,segment_start,segment_end):

"""

區(qū)間查詢操作

Args:

l(int):查詢區(qū)間的左端點

r(int):查詢區(qū)間的右端點

node(int):當前節(jié)點索引

segment_start(int):當前節(jié)點區(qū)間左端點

segment_end(int):當前節(jié)點區(qū)間右端點

Returns:

int:區(qū)間權重和

"""

#完全包含

ifl<=segment_startandr>=segment_end:

returntree[node]

#無重合

ifr<segment_startorl>segment_end:

return0

#部分重合

mid=(segment_start+segment_end)//2

left_result=range_query(l,r,2*node,segment_start,mid)

right_result=range_query(l,r,2*node+1,mid+1,segment_end)

returnleft_result+right_result

```

時間復雜度：

區(qū)間查詢操作的時間復雜度為`O(logn)`，其中`n`為線段樹存儲的元素數(shù)量。這是因為區(qū)間查詢操作需要遞歸地遍歷覆蓋查詢區(qū)間的子樹，而子樹數(shù)量呈對數(shù)級增長。

空間復雜度：

區(qū)間查詢操作的空間復雜度為`O(1)`，因為它不分配或釋放任何額外的空間。第五部分時域動態(tài)開點與空間優(yōu)化技巧關鍵詞關鍵要點【時域動態(tài)開點】

1.根據(jù)時序信息動態(tài)創(chuàng)建和釋放線段樹節(jié)點，避免創(chuàng)建冗余節(jié)點。

2.使用lazypropagation機制，將區(qū)間更新延遲到真正需要時才進行，減少不必要的更新操作。

3.引入version控制，跟蹤每個線段樹節(jié)點的版本，以避免并發(fā)更新帶來的混亂。

【空間優(yōu)化技巧】

時域動態(tài)開點

時域動態(tài)開點是一種在樹形數(shù)據(jù)結構（例如線段樹）上進行增量維護的優(yōu)化技術。它的核心思想是：對于每個待維護的子樹，僅在需要對其進行更新或查詢時才動態(tài)創(chuàng)建和維護。

*實現(xiàn)方式：

1.在線段樹的初始化階段，僅創(chuàng)建根節(jié)點。

2.當需要對某個子樹進行更新或查詢時，遞歸地沿路徑檢查該子樹是否存在。

3.如果子樹不存在，則新建該子樹并初始化其值。

4.對子樹進行更新或查詢操作。

*優(yōu)點：

1.減少空間復雜度：僅創(chuàng)建和維護活躍的子樹，避免了對不必要的子樹進行開辟和維護。

2.提高時間復雜度：減少了創(chuàng)建和維護子樹的時間開銷。

空間優(yōu)化技巧

空間優(yōu)化技巧旨在減少線段樹所需的空間復雜度。常用的優(yōu)化技巧包括：

*按需分配：僅在需要時分配空間，避免浪費。例如，使用內(nèi)存池或延遲分配技術。

*節(jié)點合并：將相鄰且具有相同值的節(jié)點合并為一個節(jié)點，減少冗余空間。

*路徑壓縮：在訪問路徑上的所有節(jié)點時更新其指向父節(jié)點的指針，減少對重復路徑節(jié)點的訪問。

*替罪羊樹：一種自平衡的二叉查找樹，可降低查找和更新操作的平均時間復雜度，從而節(jié)省空間。

*壓縮線段樹：一種特殊類型的線段樹，使用位操作和特殊編碼技術來緊湊地存儲信息，減少空間開銷。

具體示例

考慮一個權值線段樹，用于維護區(qū)間和。使用時域動態(tài)開點和空間優(yōu)化技巧，可以大幅提高其性能：

*初始化：僅創(chuàng)建根節(jié)點。

*查詢區(qū)間和：

1.遞歸地沿路徑檢查每個子樹是否存在。

2.若子樹不存在，則動態(tài)創(chuàng)建并初始化。

3.查詢子樹中的和值，并返回。

*更新區(qū)間值：

1.根據(jù)空間優(yōu)化技巧，按需分配或合并節(jié)點。

2.遞歸地沿路徑更新每個子樹的和值。

*節(jié)點合并：

1.維護每個節(jié)點的左右子樹的最小值和最大值。

2.如果左右子樹具有相同的值，則合并它們。

*路徑壓縮：

1.將訪問路徑上的所有節(jié)點指向其父節(jié)點。

2.減少重復訪問節(jié)點的時間開銷。

結論

時域動態(tài)開點和空間優(yōu)化技巧是增強權值線段樹增量維護性能的強大工具。通過結合這些技術，可以顯著減少空間復雜度和時間復雜度，從而提高權值線段樹在處理大規(guī)模區(qū)間更新和查詢場景中的效率。第六部分權值線段樹的應用場景權值線段樹的應用場景

權值線段樹是一種高效的數(shù)據(jù)結構，廣泛應用于各種計算場景中，尤其是在處理與線段區(qū)間查詢和區(qū)間修改操作相關的任務時。權值線段樹的應用場景包括：

區(qū)間求和

權值線段樹最常見的應用之一是計算線段集合中的元素和。通過在樹的葉子節(jié)點中存儲線段的權值，權值線段樹可以高效地計算任何給定區(qū)間的元素和。

區(qū)間開區(qū)間和閉區(qū)間求和

權值線段樹不僅可以計算閉區(qū)間[l,r]中的元素和，還可以計算開區(qū)間(l,r]或[l,r)中的元素和。只需在樹的葉子節(jié)點中存儲線段的起始和結束位置即可實現(xiàn)。

區(qū)間最大值/最小值查詢

權值線段樹可以用來查找線段集合中最大或最小的元素。通過在樹的葉子節(jié)點中存儲線段的最大值或最小值，權值線段樹可以高效地找到任何給定區(qū)間的最大值或最小值。

區(qū)間眾數(shù)查詢

權值線段樹可以用來查找線段集合中出現(xiàn)次數(shù)最多的元素。通過在樹的每個節(jié)點中維護一個出現(xiàn)次數(shù)計數(shù)器，權值線段樹可以高效地找到任何給定區(qū)間的眾數(shù)。

區(qū)間第k大查詢

權值線段樹可以用來查找線段集合中第k大的元素。通過在樹的每個節(jié)點中維護一個排序的子集，權值線段樹可以高效地找到任何給定區(qū)間的第k大元素。

區(qū)間第k小查詢

權值線段樹還可以用來查找線段集合中第k小的元素。類似于區(qū)間第k大查詢，通過在樹的每個節(jié)點中維護一個排序的反向子集，權值線段樹可以高效地找到任何給定區(qū)間的第k小元素。

區(qū)間異或和查詢

權值線段樹可以用來計算線段集合中元素異或和。通過在樹的葉子節(jié)點中存儲線段的異或和，權值線段樹可以高效地計算任何給定區(qū)間的元素異或和。

區(qū)間更新

權值線段樹不僅可以執(zhí)行區(qū)間查詢操作，還可以執(zhí)行區(qū)間更新操作。通過將更新操作傳播到樹的相應節(jié)點，權值線段樹可以高效地更新任何給定區(qū)間的元素值。

離線查詢

權值線段樹可以用來處理離線查詢，其中查詢是預先已知的，但數(shù)據(jù)會隨著時間的推移而更新。通過離線處理查詢，權值線段樹可以避免多次更新樹，從而提高效率。

其他應用

除了上述應用外，權值線段樹還用于解決許多其他問題，包括：

*凸包查詢

*最近點對查詢

*范圍查詢

*最長公共子序列查詢

*最長遞增子序列查詢

權值線段樹因其高效性和多功能性而被廣泛應用于算法競賽和實際應用中。第七部分樸素實現(xiàn)與樹狀數(shù)組的對比關鍵詞關鍵要點樸素實現(xiàn)與樹狀數(shù)組的對比

主題名稱：性能比較

1.權值線段樹在查詢單點權值時比樹狀數(shù)組快O(logn)，但更新單點權值時比樹狀數(shù)組慢O(logn)。

2.樹狀數(shù)組在區(qū)間更新和查詢時效率更高，特別是涉及到區(qū)間加法或區(qū)間求和等操作時。

3.權值線段樹可以維護區(qū)間內(nèi)權值的最大值或最小值，而樹狀數(shù)組只能維護區(qū)間和。

主題名稱：內(nèi)存消耗

樸素實現(xiàn)與樹狀數(shù)組的對比

空間復雜度

*權值線段樹：O(n)

*樹狀數(shù)組：O(n)

時間復雜度

區(qū)間查詢

*權值線段樹：O(logn)

*樹狀數(shù)組：O(logn)

區(qū)間修改

*權值線段樹：O(logn)

*樹狀數(shù)組：O(logn)

單點修改

*權值線段樹：O(logn)

*樹狀數(shù)組：O(1)

單點查詢

*權值線段樹：O(logn)

*樹狀數(shù)組：O(1)

優(yōu)點

權值線段樹

*維護權值信息，方便統(tǒng)計區(qū)間權值和

*支持將區(qū)間中所有權值同時加上或減去一個常數(shù)

*可將數(shù)組映射為線段樹，實現(xiàn)高效的單點修改

樹狀數(shù)組

*占用更少的空間

*單點修改和單點查詢的時間復雜度更低

*更容易實現(xiàn)

缺點

權值線段樹

*占用更多的空間

*區(qū)間修改和區(qū)間查詢的時間復雜度更高

*難以統(tǒng)計區(qū)間權值中位數(shù)等其他統(tǒng)計信息

樹狀數(shù)組

*維護區(qū)間信息，不方便統(tǒng)計區(qū)間權值和

*無法將區(qū)間中所有權值同時加上或減去一個常數(shù)

*無法將數(shù)組映射為樹狀數(shù)組，實現(xiàn)單點修改

應用場景

權值線段樹

*需要維護權值信息并進行區(qū)間統(tǒng)計和修改的場景，例如：區(qū)間和、區(qū)間最大值、區(qū)間異或和

*需要將數(shù)組映射為線段樹進行高效單點修改的場景，例如：維護動態(tài)數(shù)組

樹狀數(shù)組

*需要維護區(qū)間信息并進行單點修改和單點查詢的場景，例如：前綴和、差分數(shù)組

*需要占用更少空間的場景，例如：內(nèi)存受限的嵌入式系統(tǒng)

總結

權值線段樹和樹狀數(shù)組都是維護數(shù)組的有效數(shù)據(jù)結構。權值線段樹更適合需要維護權值信息并進行區(qū)間統(tǒng)計和修改的場景，而樹狀數(shù)組更適合需要維護區(qū)間信息并進行單點修改和單點查詢的場景。第八部分權值線段樹的優(yōu)化與擴展關鍵詞關鍵要點空間優(yōu)化

-基于可持續(xù)堆的優(yōu)化：利用可持續(xù)堆替換傳統(tǒng)的堆，減少空間復雜度，同時維護線段樹的增量維護能力。

-基于分塊的優(yōu)化：將線段樹劃分為更小的塊，僅對需要更新的塊進行操作，減少不必要的空間占用。

-基于位壓縮的優(yōu)化：使用位壓縮技術存儲權值，降低空間開銷，尤其適用于權值范圍較小的場景。

時間優(yōu)化

-基于延遲更新的優(yōu)化：延遲更新策略允許在更新操作后推遲實際更新，從而提高更新效率。

-基于路徑壓縮的優(yōu)化：在查詢操作中，路徑壓縮技術減少了訪問節(jié)點的次數(shù)，提升查詢速度。

-基于并查集的優(yōu)化：使用并查集維護權值線段樹中連通分量的信息，加速區(qū)間查詢和修改操作。

增量維護擴展

-支持動態(tài)區(qū)間和：擴展權值線段樹支持動態(tài)更新區(qū)間和，實現(xiàn)對指定區(qū)間的求和操作。

-支持動態(tài)單點修改：允許在給定位置處動態(tài)修改單個元素的權值，提高了靈活性。

-支持動態(tài)區(qū)間乘法：支持對指定區(qū)間執(zhí)行乘法操作，方便處理某些問題，如求區(qū)間乘積。權值線段樹的優(yōu)化與擴展

1.離散化

為了處理重復元素，在構建權值線段樹之前，可以對元素值進行離散化，將重復元素映射到不同的整數(shù)。這可以通過哈希表或排序+二分查找等技術實現(xiàn)。

2.延遲更新

延遲更新是一種優(yōu)化技術，用于減少對子樹的重復更新。當修改線段樹某個節(jié)點的值時，不會立即更新其子樹，而是標記一個更新標記。當訪問子樹時，再執(zhí)行該更新標記。這可以避免在多次修改相同子樹時進行不必要的更新操作。

3.路徑優(yōu)化

路徑優(yōu)化針對查詢操作進行優(yōu)化。在查詢線段樹某個范圍時，可以使用路徑優(yōu)化技術，從根節(jié)點到目標范圍的路徑上，只訪問必要的節(jié)點，從而減少時間復雜度。

4.節(jié)點合并

節(jié)點合并用于處理線段樹中相鄰節(jié)點的值相同的情況。當修改一個節(jié)點的值時，如果該節(jié)點的左右子樹的值與其相同，則可以將該節(jié)點及其子樹合并成一個節(jié)點，從而減少線段樹的大小和查詢時間。

5.權值線段樹的擴展

權值線段樹可以擴展為支持多種操作和查詢：

*單點更新：更新指定元素的值。

*區(qū)間更新：更新指定區(qū)間內(nèi)所有元素的值。

*區(qū)間查詢：查詢指定區(qū)間內(nèi)的最大值、最小值或其他統(tǒng)計信息。

*前綴查詢：查詢前綴和或前k小元素。

*后綴查詢：查詢后綴和或后k大元素。

*區(qū)間合并：合并兩個區(qū)間的值，形成新的區(qū)間。

*區(qū)間求交：求兩個區(qū)間值的交集。

6.應用場景

權值線段樹在以下應用場景中具有優(yōu)勢：

*離散化后的數(shù)組：查詢最大值、最小值、區(qū)間和等統(tǒng)計信息。

*區(qū)間修改和查詢：處理動態(tài)變化的數(shù)組，例如維護線段的長度，并支持區(qū)間增長或縮小。

*凸包：存儲點的集合，并支持查詢凸包的面積、周長或其他幾何屬性。

*動態(tài)規(guī)劃：解決一些動態(tài)規(guī)劃問題，例如區(qū)間最優(yōu)值或最長公共子序列問題。

7.實現(xiàn)細節(jié)

權值線段樹的實現(xiàn)涉及以下關鍵細節(jié)：

*結點結構：通常使用結構體來存儲每個節(jié)點的信息，包括值、左子樹指針、右子樹指針和更新標記。

*構建：自底向上構建線段樹，將數(shù)組劃分為子區(qū)間，并遞歸構建子樹。

*修改：根據(jù)更新標記，更新節(jié)點的值和子樹的值。

*查詢：使用遞歸，從根節(jié)點到目標范圍的路徑上，查詢必要的節(jié)點。

*優(yōu)化：采用延遲更新、路徑優(yōu)化、節(jié)點合并等技術進行優(yōu)化。

8.復雜度分析

權值線段樹的時間復雜度取決于操作和查詢的類型：

*單點更新：O(logn)

*區(qū)間更新：O(nlogn)

*區(qū)間查詢：O(logn)

*前綴/后綴查詢：O(logn)

*區(qū)間合并/求交：O(logn)關鍵詞關鍵要點主題名稱：點更新操作

關鍵要點：

1.對樹中某個特定節(jié)點進行值增量更新。

2.從該節(jié)點向其父節(jié)點、父節(jié)點的父節(jié)點，直至根節(jié)點，依次進行值增量傳播。

3.將該節(jié)點標記為已更新，以便后續(xù)查詢時進行值修正。

主題名稱：區(qū)間查詢操作

關鍵要點：

1.獲取指定區(qū)間內(nèi)所有節(jié)點的權值和。

2.根據(jù)子樹的標記值，修正子樹中對應節(jié)點的權值。

3.遞歸遍歷子樹并更新區(qū)間內(nèi)的權值和。

主題名稱：區(qū)間更新操作

關鍵要點：

1.對指定區(qū)間內(nèi)的所有節(jié)點進行值增量更新。

2.使用延遲標記技術，將更新操作推遲到需要查詢時再執(zhí)行。

3.通過子樹的延遲標記值，更新子樹中對應節(jié)點的權值。

主題名稱：區(qū)間查詢操作（優(yōu)化）

關鍵要點：

1.利用線段樹的單調(diào)性，優(yōu)化區(qū)間查詢操作。

2.采用子樹最大值信息，判斷當前查詢區(qū)間是否可以迅速