高中數(shù)學人教A版 習題課時提升作業(yè) 二

課時提升作業(yè)二

基本不等式

圓25分鐘練/

分值：60分

一、選擇題（每小題6分，共18分）

1.（2016?泰安高二檢測）若關于x的方程9x+（4+a>3x+4=0有解,則實數(shù)a的取

值范圍是（）

A.（-°°,-8]U[0,+oo）

C.[-8,4）

【解析】選D.由方程9x+（4+a”x+4=0有解，

即a+4=-（3“+*=-4,所以a<-8.

2.下列不等式的證明過程正確的是（）

A.若a,b￡R,貝哈+?之2、統(tǒng)=2

ab7ab

B.若x>0,貝!Jcosx+-^-32cosx--=2

■COSX7cosx

C若x<0則x+*2J)o|=4

D?若流，且ab<0,則代=-[(U)+(Y*2jT)(Y)=-2

【解析】選D.AZB,C中在應用基本不等式時忽視了前提"正數(shù)"，故均錯誤.

3.(2015?福建高考)若直線：+*=l(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于

aD

()

A.2B.3C.4D.5

【解題指南】利用基本不等式及"1"的代換求解.

【解析】選C.因為直線過點Q,l),所以宗=1,所以a+b=(a+b)C+扣

1+1+P+滬2+口+巳因為a>0,b>0,所以2+-+^>2+2電分=4,當且僅當

ababab7ab

"a=b=2"時等號成立.

二、填空題(每小題6分，共12分)

4.(2016?佛山高二檢測)已知x+3y-2=0則3*+27丫+1的最小值是.

【解析】3x+27y+l=3x+33y+l>2V3x-33y+l=7.

答案：7

5.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3廁ab的取值范圍是.

【解析】令ViB=t(t>0),由ab=a+b+322ViE+3廁1222t+3,所以t>3或t<-

1(舍去)，所以施之3啟八9,當a=b=3時取等號.

答案:[9,+8)

【誤區(qū)警示】解答本題過程中易忽視a,b￡(o,+8)而求出abe(-oo,i]u

[9,+8)的錯誤.

三、解答題(每小題10分共30分)

6.求函數(shù)丫=*2+5^15僅20)的最小值

Xi4

【解析】原式變形得：

(

y(=x+2-)2+=x+x2)++92+——9+1-,

Jx+2x+2

因為X20,所以x+2>0,

所以x+2+-^->6,

所以y27,當且僅當x=l時等號成立.

所以y=四守(x±0)的最小值為7.

X十N

7.(2016銀川高二檢測)如圖，已知小矩形花壇ABCD中,AB=3m,AD=2m,現(xiàn)要將

小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN,使點B在AM上，點D在AN上，且對角線

MN過點C.

(1)要使矩形AMPN的面積大于32m，AN的長應在什么范圍內？

⑵M,N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最小?若存在，求出這個最小

面積及相應的AM,AN的長度;若不存在，說明理由.

【解析】Q)設AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形AMPN的面積為S,則S=xy.

因為ANDCdNAM,所以旦3,所以x=%所以S=*>2).

yxy—zy—z

由泠32得2<y4或y>8,所以AN的長度應在(2,1)或(8,+8)內.

(2)當y>2時,S=,=3(y-2+忘+4)23x(2J(y-2)?意+4)=3x

(4+4)=24,當且僅當y-2=^-,gpy=4時，等號成立，解得x=6.所以存在M,N點

y-/

當AM=6,AN=4時，矩形AMPN面積最小為24.

8.已知x,y都是正實數(shù).

求證:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>8x3y3.

【證明】因為x,y都是正實數(shù)，

22

所以x+y>2A/xy>0,x+y>2xy>0,

33

x3+y3>2jxy>0.

三式相乘得(x+y)(x2+y2)(x3+y3)N8x3y3.

(gg顫)20分鐘練/

分值：40分

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.(2016?聊城高二檢測)已知a>0,b>0,貝內+注+2癡的最小值為()

aD

A.2B.2V2C.4D.5

【解析】選1+%2癡之2U-+2Vab>4.

ab7ab

2.對于xw(0片)，不等式點+懸16恒成立則p的取值范圍為()

A.(-oo,-9]B.(-9,9]

C.(-oo,9]D.[9,+oo)

【解題指南】可令t=sin2x,將原不等式轉化為關于t的不等式恒成立問題求解.

【解析】選D.令t=siMx廁cos2x=l-t.

又x?0,5所以

不等式點+急“6可化為P>(16-1)(l-t),

令y=(16-

=17-Q+16t)<17-2J；16t=9,

當且僅當316t,即t：4時取等號，

因此原不等式恒成立，只需p>9.

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.若a>0,b>0,a+b=1,Pli]—1)(a—1)的最小值是

【解析】因為

(?1)售

_(l-a)(l+a)(l-b)(l+b)_(l+a)(l+b)

=?—=——

1+a+b+ab-2

21

由a>O,b>O,a+b=l得abw（亭）=

=4,

所以*4,所以6-1)(*1)出

答案：9

4.已知x>0,y>0且滿足x+y=6,則使不等式工恒成立的實數(shù)m的取值范

xy

圍為.

【解題指南】由已知條件先求得工+2的最小值，只要m小于等于其最小值即可.

xy

【解析】因為x>o,y>o,鴻二等e+}

=他。+什9李。+6)4

當且僅當《，又x+y=6得x,,y二手寸取等號?所以m的取值范圍是(-⑻非

答案：(一8,|

三、解答題(每小題10分，共20分)

222

5.設a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l.證明a:一b+上+

bca

2R22

【證明】因為Ja+b22aA'+c22b,J+aN2c,

bca

H-----F—+a+b+c>2(a+b+c),

所以^?+^-+：2a+b+c=l.

當且僅當a=b=c=g時取等號.

6.已知a,b,x,yeR+,x,y為變量,a,b為常數(shù)，且a+b=10,1+^=l;x+y的最小值為

18,求a,b.

【解析】因為x+y=(x+y)C+￡)

=a+b+y+^>a+b+2Vab=(Va+Vb)2,

當且僅當詈爭寸取等號.又(X+y)min=(仿+VB)2=18,

gpa+b+2Vab=18,①

又a+b=10,②

由①②可得憶瀾:透

【拓展延伸】基本不等式的應用技巧

判斷定值條件是應用基本不等式的難點和易忽略點，常見的方法有：

Q)拆項、添項、配湊

此法常用在求分式型函數(shù)的最值中，

如函數(shù)f(x)=巴筌竺

_(X+1)2+5(X+1)+4

-x+1'

可按由高次項向低次項的順序逐步配湊.

(2)常值代換

這種方法常用于"已知ax+by二m(a,b,x,y均為正數(shù)),求工+工的最小值"和"已知