教案：高中數(shù)學人教A版 必修 第一冊 全稱量詞與存在量詞

第一章集合與常用邏輯用語

1.5.1全稱量詞與存在量詞

【課程標準】

1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.

2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.

3.通過學過的數(shù)學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義..

【知識要點歸納】

1.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱命題

全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給

符號V

全稱命題含有________的命題

“對〃中任意一個X,有0(x)成立"，可用符號簡記為

形式

a，，

(2)存在量詞與特稱命題

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的

符號表示3

特稱命題含有__________的命題

“存在〃中的一個吊，使0(吊)成立"可用符號簡記為

形式“，，

【經(jīng)典例題】

例1將下列命題用量詞等符號表示，并判斷命題的真假.

⑴所有實數(shù)的平方都是正數(shù)；

⑵存在一個實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)；

⑶任何一個實數(shù)除以1,仍等于這個實數(shù)；

⑷方程a/+2x+l=0(a〈0)至少存在一個負根；

⑸有些整數(shù)是偶數(shù)

例2判斷下列量詞命題的真假.

(1)對每一個無理數(shù)x,f也是無理數(shù).

⑵末位是零的整數(shù)，可以被5整除.

(3)Vx￡R,有|x+l］＞L

⑷有的集合中不含有任何元素.

⑸存在對角線不互相垂直的菱形.

例3已知命題”V1W后2,第一加20”為真命題，求實數(shù)勿的取值范圍.

［變式］若把本例中的“V"改為“才'，其他條件不變，求實數(shù)必的取值范圍.

例4.若對于任意x?R,都有ax2+2x+a〈0,則實數(shù)a的取值范圍是

例5.命題：3必/+加x+l〉O恒成立是真命題，求實數(shù)力的取值范圍.

【當堂檢測】

一.選擇題（共4小題）

1.下列命題含有全稱量詞的是（)

A.某些函數(shù)圖象不過原點B.實數(shù)的平方為正數(shù)

C.方程式+2》+5=0有實數(shù)解D.素數(shù)中只有一個偶數(shù)

2.若命題“任意xeR,x2-2mx+m..0“是真命題，則實數(shù)機的取值范圍是（

)

A.(-1,1)B.(0,1)C.[-1,1]D.[0,1]

3.下列命題中為真命題的是（)

A.3x0eR,片+2x0+2<0B?eR,XQ+XQ=-1

C.\/xGR,—XH—>0D?VxGR9—x2,—1<0

4

4.下列命題中是真命題的是（）

X2

A.Bx0GR,2°?0B.Vx￡H,lg(x+1)..O

C.若貝！Jx>0”的逆命題D.若尤Vy,貝Ijf<y2，，的逆否命題

二.填空題（共2小題）

5.設(shè)P：VXEH,x2+x+a..O,若〃是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是,

6.命題":VXER,ax2+ax+l..O,若夕是真命題，則實數(shù)Q的取值范圍為

三.解答題（共1小題）

7.設(shè)命題夕：Hr￡尺,x2—2x+m—3=0,命題4：VxwR,x2-2（m-5）x+m2+190.若

p，4都為真命題，求實數(shù)機的取值范圍.

當堂檢測答案

一.選擇題(共4小題)

1.下列命題含有全稱量詞的是(

A.某些函數(shù)圖象不過原點B.實數(shù)的平方為正數(shù)

C.方程f+2x+5=0有實數(shù)解D.素數(shù)中只有一個偶數(shù)

【分析】直接根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的定義求解即可.

【解答】解：A:某些函數(shù)圖象不過原點，不是全部的意思，不是全稱量詞命題；

B-.實數(shù)的平方為正數(shù)即是所有實數(shù)的平方根都為正數(shù)，是全稱量詞命題；

C:方程Y+2尤+5=0有實數(shù)解，不是全稱量詞命題；

D:素數(shù)中只有一個偶數(shù)，不是全稱量詞命題；

故選：B.

【點評】本題考查全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.若命題“任意xeR,x2-2mx+m..O”是真命題，則實數(shù)沉的取值范圍是(

)

A.(-1,1)B.(0,1)C.[-1,1]D.[0,1]

【分析】利用不等式恒成立，通過判別式小于等于0,列出不等式求解即可.

【解答】解：依題意,△=4m2-4m,,0,解得既弧1.

故選：D.

【點評】本題考查不等式的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列命題中為真命題的是()

A.Bx06R,Xg+2x0+2<0B.3x0eR,x^+x0=-1

C.VxeR,x?-尤+3>0D.VxeR,-x2-1<0

4

【分析】利用命題的真假對每個選項判斷，全稱特稱量詞命題定義判斷即可.

【解答】解：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，

常見的存在量詞還有：“有些”，“有一個”，“對某個”，“有”表示存在量詞，

用符號的“三”表示，特稱命題的定義.

A、eR>XQ+2x0+2<0>Z\=4—8=Y<0,錯誤.

B、3x0&R,x^+x0=-1,+Xg+l=O,A=l-4=-3<0,錯誤.

C、VxeR,x2—+—>0>x=L時x?—尤+!=。，錯誤.

424

D、X/xeR,-x2-l<0,x2+l>0,正確.

故選：D.

【點評】本題考查命題的真假判斷，全稱特稱量詞命題判斷即可.是基礎(chǔ)題.

4.下列命題中是真命題的是()

2

A.Bx0&R,2領(lǐng),，0B.VxeR,Zg(x+l)..O

C.若f>x,則x>0”的逆命題D.若x<y,則/<丁”的逆否命題

【分析】直接利用排除法和命題的真假的判斷求出結(jié)果.

【解答】解：對于選項A,

對于玉2'。,,0為假命題.

故錯誤,

對于選項c：

當0<x<l時，逆命題不成立.

對于選項。：若“x<y,則/<丁”為假命題，故逆否命題為假命題.

故選：B.

【點評】本題考查的知識要點：簡易邏輯的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，等價命題的應(yīng)

用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.

二.填空題(共2小題)

5.設(shè)p:\fxeR,x2+x+a..0,若p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_匚+⑹_.

【分析】由含參不等式恒成立問題，得：Xfx^R,f+x+a.O等價于△,,(),解不

等式即可得。的取值范圍.

【解答】解：若%2+%+a..0,是真命題，則△=1-4@0,解得a.」；

，4

故a的取值范圍是：

4

故答案為：[―,+oo).

4

【點評】本題考查了全稱量詞及全稱命題、含參不等式恒成立問題,屬于簡單題.

6.命題p:VxwR,ax2+av+1..0,若夕是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為_原女4

【分析】由含參不等式恒成立問題，得：Vxe/?,ax2+dx+l..O,等價于①當a=0

時，1..0,顯然恒成立，②當"0時，由題意有：，解得：0<國,4,

[a-4%0

得解.

【解答】解：當P是真命題時，即：V九￡尺，ax2+OX+1..0,

①當a=0時，1..0,顯然恒成立,

>()

②當owO時，由題意有：r2，解得：?！储?,

[a-4(2,,0

綜合①②得：

實數(shù)。的取值范圍為：&4,

故答案為：魄W4.

【點評】本題考查了全稱量詞及全稱命題、含參不等式恒成立問題，屬簡單題.

三.解答題(共1小題)

2

7.設(shè)命題夕x-2x+m-3=0,命題X2-2(m-5)x+m2+190.若

p,4都為真命題，求實數(shù)用的取值范圍.

【分析】分別求出命題〃，9為真時實數(shù)相的取值范圍，進而求出結(jié)論.