高中數(shù)學(xué)《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》教案

（第一課時）

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計數(shù)原理》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。

兩個計數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實

例概括兩個計數(shù)原理。學(xué)生對計數(shù)問題已經(jīng)有一些經(jīng)驗和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計數(shù)原

理和分步計數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩

個計數(shù)原理為基礎(chǔ),所以在本學(xué)科計數(shù)問題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的

重點是兩個原理的理解與應(yīng)用，解決重點的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實例。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與1.數(shù)學(xué)抽象：兩個計數(shù)原理

分步乘法計數(shù)原理；2.邏輯推理：準(zhǔn)確運用兩個計數(shù)原理解決問題

B.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)3.數(shù)學(xué)運算：運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題

具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.4.數(shù)學(xué)建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分類和分步計數(shù)

C.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.問題

【重點與難點】

重點：分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

難點：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計

一、問題導(dǎo)學(xué)

計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基通過導(dǎo)語，幫助

本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧學(xué)生回顧計數(shù)問

妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從題，引出學(xué)習(xí)課

中得出巧妙的計數(shù)方法.題。

問題1.用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座

位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

因為英文字母共有26個，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個，所以總共可以編出

26+10=36種不同的號碼.

通過具體問題，

已發(fā)學(xué)生思考，

問題2.你能說說這個問題的特征嗎？

通過分析、比

上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

較、歸納、形成

(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；

對計數(shù)原理的認(rèn)

(2)分別計算各類號碼的個數(shù)；

識。發(fā)展學(xué)生數(shù)

(3)各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).

學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

象和數(shù)學(xué)建模的

一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：

核心素養(yǎng)。

完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2

類方法中有n種不同的方法，則完成這件事共有:N=m+n種不同的方法.

二、典例解析

例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一

些自己感興趣的強項專業(yè)，如表,

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會計學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析:要完成的事情是“選一個專業(yè)”.因為這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)

中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學(xué)沒有共同

的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)

選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因為沒有一個強項專業(yè)是兩所

大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種

數(shù)N=5+4=9.

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路

(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類；

(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.

問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有m種不同

I

的方法，在第二類方案中有巾種不同的方法，在第三類方案中有m種不

23在典例分析和練

同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情習(xí)中讓學(xué)生熟悉

有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)該如何計兩個計數(shù)原理的

數(shù)呢？基本步驟，并能

分類加法計數(shù)原理：完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有區(qū)分它們的聯(lián)系

m種不同的方法,第二類辦法中有m種不同的方法……第n類辦法中有和區(qū)別，發(fā)展學(xué)

12

生邏輯推理，直

m種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+m+-+m種不同的方法.

n12n

觀想象、數(shù)學(xué)抽

跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)

象和數(shù)學(xué)運算的

是()

核心素養(yǎng)。

A.18B.36C.72D.48

解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成

八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4

個、3個、2個、1個.由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有

8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).

方法二按個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，

在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6

個、7個、8個.由分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1+2

+3+4+5+6+7+8=36(個).

方法三考慮兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對應(yīng)思想

解決.所有的兩位數(shù)共有90個，其中，個位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位

數(shù)為11,22,33,…，99,共9個；有10,20,30,90共9個兩

位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有90-18=

72(個).在這72個兩位數(shù)中，每一個個位數(shù)字(a)小于十位數(shù)字(b)的兩

位數(shù)都有一個十位數(shù)字(a)小于個位數(shù)字(b)的兩位數(shù)與之對應(yīng)，故滿足

條件的兩位數(shù)的個數(shù)是72+2=36.故選B.

答案：B

問題4.用前6個大寫的英文字母和廣9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A,

1

A,…A,B,B,…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少

19I2

種不同的號碼？

解：方法一：解決計數(shù)問題可以用“樹狀圖”列舉出來

方法二：由于6個英文字母中的任意一個都能與6個數(shù)字中的任意一個

組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有6X9=54種不同的號碼.

問題5.你能說說這個問題的特征嗎？

上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：

(1)由問題條件中的“和”，可確定完成編號要分兩步；

(2)分別計算各步號碼的個數(shù)；

(3)將各步號碼的個數(shù)相乘，得出所有號碼的個數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名。現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代

表班級參

加比賽，共有多少種不同的選法？

分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步，選男生；第二步，選女

生.

解：第一步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第二步,從24名女生中選出1人，有24種不同選擇；

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有30X24=720種不同方法.

問題6.如果完成一件事有三個步驟，做第1步有m種不同的方法，做

1

第2步有m種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這

2

件事共有多少種不同的方法？

N=mXmXm

123

如果完成一件事需要有n個步驟，做每一步中都有若干種不同方法,那么

應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步

1

有m種不同的方法，…，做第n步有m種不同的方法,那么完成這件事的

2n

方法總數(shù)如何計算？

外媒集法評皴糜理?般結(jié)論：

N=mXmX???Xm

12n

例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文

藝書，第3層放有2本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法？

(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法?

解：(1)根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得：N=4+3+2=9；

(2)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：N=4X3X2=24；

(3)需先分類再分步.

第一類：從一、二層各取一本，有4X3=12種方法；

第二類：從一、三層各取一本，有4X2=8種方法；

第三類：從二、三層各取一本，有3X2=6種方法；

根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=4X3+4X2+3X2=26

答：從書架上取2本不同種的書，有26種不同的取法.

應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2.有6名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各

有多少種不同的報名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)

(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項：

(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.

解：(1)每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報

名方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為3，=729.

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，

因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，

第三個項目有4種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為6X5X4=120.

(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這6人中選出1人

參賽.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法種數(shù)為6，=216.

三、達標(biāo)檢測

1.某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出通過練習(xí)鞏固本

4本贈送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈送方法共有（）節(jié)所學(xué)知識，通

A.20種B.15種C.10種D.4種過學(xué)生解決問

解析：若4本中有3本語文參考書和1本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，題，發(fā)展學(xué)生的

若4本中有1本語文參考書和3本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方法，若4本數(shù)學(xué)運算、邏輯

中有2本語文參考書和2本數(shù)學(xué)參考書，則有6種方法，若4本都是數(shù)推理、直觀想

學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有4+4+6+1=象、數(shù)學(xué)建模的

15（種）.故選B.核心素養(yǎng)。

答案：B

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選

擇其中的一個講座，不同的選法的種數(shù)是（）

A.56B.65C.30D.11

解析：（D第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方

法，…，依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有5,種

不同的選法.故選A.

3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3

張卡片排放在一起,可組成_________個不同的三位數(shù).

解析:分三個步驟：

第一步:百位可放8-1=7個數(shù)；

第二步:十位可放6個數(shù)；

第三步:個位可放4個數(shù).

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以組成N=7X6X4=168個不同的三位數(shù).

答案：168

4.如圖所示的電路圖,從A至B共有_________條不同的線路可通電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過支路①有3種方法;第二類,經(jīng)過支路②有1

種方法;第三類,經(jīng)過支路③有2X2=4種方法,所以總的線路條數(shù)

N=3+1+4=8.

答案：8

5.如圖，一只螞蟻沿著長方體的棱,從頂點A爬到相對頂點C,求其中經(jīng)

1

過3條棱的路線共有多少條？

解:從總體上看有三類方法,分別經(jīng)過AB,AD,AA.從局部上看每一類又需

1

分兩步完成.故第一類:經(jīng)過AB,有m=1X2=2條;第二類:經(jīng)過AD,有m=1

12

義2=2條;第三類:經(jīng)過AA,有m=1義2=2條.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從

13

頂點A到頂點C經(jīng)過3條棱的路線共有N=2+2+2=6條.

1

6.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3

人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不

同的選法？

解：由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.

方法一:分兩類.

第一類:從只會英語的6人中選1人有6種選法，從會日語的3人中選1

人有3種選法.此時共有6X3=18（種）選法.

第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法,從只會日語的2人中選1

人有2種選法,此時有IX2=2（種）選法.所以由分類加法計數(shù)原理知,共

有18+2=20（種）選法.

方法二:設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選和不入選兩類情形，

入選后又分兩種情況：（1）教英語；（2）教日語.

第一類：甲入選.

（1）甲教英語,再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理,有1

X2=2（種）選法；

（2）甲教日語,再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理,有1

X6=6（種）選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類：甲不入選.

可分兩步:第一步,從只會英語的6人中選1人有6種選法;第二步,從只

會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,有6X

2=12（種）不同的選法.綜上,共有8+12=20（種）不同的選法.

四、小結(jié)

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別通過總結(jié)，讓學(xué)

1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基生進一步鞏固本

本、最重要的方法.節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提

2.區(qū)別高概括能力。

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

區(qū)別完成一件事共有n類辦法，完成一件事共有n個步驟，關(guān)鍵

關(guān)鍵詞是“分類”詞是“分步”

每類辦法中的每種方法都能除最后一步外,其他每步得到的

獨立地完成這件事,它是獨只是中間結(jié)果，任何一步都不能

區(qū)別

立的、一次的且每種方法得獨立完成這件事,缺少任何一步

到的都是最后結(jié)果，只需一也不能完成這件事，只有各個步

種方法就可完成這件事驟都完成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立

區(qū)別各類辦法之間是互斥的、并

的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨

列的、獨立的

立”確保不重復(fù)

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題（或困難、障礙）是綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理，產(chǎn)

生這一問題的原因是不能根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的原理。要解決這一問題，就要要通過

典型的、學(xué)生比較熟悉的實例，經(jīng)過概括得出兩個計數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，

安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會兩個計數(shù)原理的基本思想。

《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》教案

（第二課時）

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計數(shù)原理》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理。

兩個計數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實

例概括兩個計數(shù)原理。學(xué)生對計數(shù)問題已經(jīng)有一些經(jīng)驗和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計數(shù)原

理和分步計數(shù)原理就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩

個計數(shù)原理為基礎(chǔ),所以在本學(xué)科計數(shù)問題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的

重點是兩個原理的理解與應(yīng)用，解決重點的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實例。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理1.數(shù)學(xué)抽象：兩個計數(shù)原理

和分步乘法計數(shù)原理；2.邏輯推理：運用分類思想解決復(fù)雜問題

B.能應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決實際問題.3.數(shù)學(xué)運算：運用計數(shù)原理解決計數(shù)問題

4.數(shù)學(xué)建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分類和分步計數(shù)問題

【重點與難點】

重點：分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

難點：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計

一、溫故知新

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基

本、最重要的方法.

2.區(qū)別通過引導(dǎo)學(xué)生回

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理顧計數(shù)原理，進

區(qū)別完成一件事共有n類辦法，關(guān)鍵完成一件事共有n個步一步比較分析加

詞是“分類”驟，關(guān)鍵詞是“分步”深對兩個計數(shù)原

理得理解。

除最后一步外,其他每

每類辦法中的每種方法都能獨步得到的只是中間結(jié)

立地完成這件事,它是獨立的、果，任何一步都不能獨

區(qū)別

一次的且每種方法得到的都是立完成這件事，缺少任

最后結(jié)果，只需一種方法就可完何一步也不能完成這件

成這件事事，只有各個步驟都完

成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨

區(qū)別各類辦法之間是互斥的、并列立的，，，關(guān)聯(lián)”確保不

的、獨立的遺漏，“獨立”確保不

重復(fù)

二、典例解析

通過具體問題，

例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊

分析、比較、歸

墻上的指定位置，

納、加深對兩個

問共有多少種不同的掛法？

計數(shù)原理的認(rèn)

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩

識。發(fā)展學(xué)生數(shù)

邊墻上”，可以分步完成.

學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，

象和數(shù)學(xué)建模的

可以分兩個步驟完成：

核心素養(yǎng)。

第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，

第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是

N=3X2=6.

左邊右邊得到的掛法

亡一乙左甲右乙

丙左甲右丙

______甲左乙右甲

'vj--丙左乙右丙

__一甲左丙右甲

丙"U.

乙左丙右乙

例5.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母

A?G或U?Z，后兩個要求用數(shù)字1?9.問最多可以給多少

個程序命名？

分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完

成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字

符，還有首字符又可以分為兩類。

解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13，

后兩個字符從中選，因為數(shù)字可以重復(fù)，

所以1?9不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是13x9x9=1053，

即最多可以給1053個程序命名.

例6.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，

而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0

或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要

對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是

計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.

問：

(1)一個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符？

(2)計算機漢字國標(biāo)碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字

符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進制位上的數(shù)

字”.由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都是0,1兩種選

擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理來

求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個

即可.

第1位第2位第3位第8位

2種2種2種2種

解：（1）一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原

在典例分析和練

理，一個字節(jié)最多可以表示

習(xí)中讓學(xué)生熟悉

2X2X2X2X2X2X2X2=28=256個不同的字符；

兩個計數(shù)原理的

（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示256個字符，

基本步驟，并能

：256〈6763,??.一個字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

區(qū)分它們的聯(lián)系

2個字節(jié)可以表示256X256=65536個不同的字符，

和區(qū)別，進而靈

V65536>6763,所以每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.

活運用兩個計數(shù)

例7.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行調(diào)試，程序員需

原理。發(fā)展學(xué)生

要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知

邏輯推理，直觀

道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多字模塊組

想象、數(shù)學(xué)抽象

成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路

和數(shù)學(xué)運算的核

徑？

心素養(yǎng)。

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程

序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)

行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊

2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任

何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩

個技術(shù)原理.

解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑

條數(shù)共為18+45+28=91；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.

又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91X81=7371.

在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考

察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分

別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的

測試次數(shù)為

18+45+18+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的

各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測

試的次數(shù)為3X2=6.

如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，

那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178,顯然178與7371的差距是非常大的.

1.使用兩個原理的原則

使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”

是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加

法計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步

解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.

2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟

(1)明確完成的這件事是什么.

(2)思考如何完成這件事.

(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.

(4)選擇計數(shù)原理進行計算.

例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字

表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機關(guān)代號，第二

部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號如圖，

其中，序號的編碼規(guī)則為：

(1)由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除0,I之外的24個英文字母組成；

(2)最多只能有2個英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機關(guān)最多能發(fā)

放多少張汽車號牌？

省、自治區(qū)、

直轄市尚稱

發(fā)牌機關(guān)代號

典例解析

分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)

放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是

可重復(fù)的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字

母，以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個字母的序號，分為五個子

類，將有2個字母的序號?，分為十個子類.

解：有號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是

序號的個數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，

有1個字母，有2個字母.

(1)當(dāng)沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可分5個

步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分布

乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10X10X10X10X10=100000.

(2)當(dāng)有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、

第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1

步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從

10個數(shù)字中選一個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計

數(shù)原理，號牌張數(shù)為：24X10X10X10X10=240000.

同樣，其余四個子類號牌也各有240000張。

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)當(dāng)有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可將這類序

號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4

位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第

5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)

字：第廣2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各

有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置，各

有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為

24X24X10X10X10=576000

同樣其余九個子類號牌也各有576000張

于是這類號牌張數(shù)一共為576000X10=5760000

綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關(guān)最多能發(fā)

放的汽車號牌張數(shù)為

10000十1200000+5760000=7060000.

解決抽?。ǚ峙洌﹩栴}的方法

（1）當(dāng)涉及對象的數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖

表法.

（2）當(dāng)涉及對象的數(shù)目很大時，一般有兩種方法:①直接使用分類加法計

數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的，則按分步進行；

若是按對象特征抽取的，則按分類進行.②間接法.去掉限制條件,計算所

有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

跟蹤訓(xùn)練.7名學(xué)生中有3名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋,有2名學(xué)生

會下圍棋但不會下象棋,另2名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出

會下象棋和會下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽，共有多少種不同的選法？

解:第1類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2

名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計數(shù)原理得

N=3X2=6（種）.

1

第2類，從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既

會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計數(shù)原

理得N=3X2=6（種）.

2

第3類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同

時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計數(shù)原

理得N=2X2=4（種）.

3

第4類，從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另

一名參加圍棋比賽，有N=2種.

4

綜上，由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有

N=N+N+N+N=6+6+4+2=18（種）.

1234

三、達標(biāo)檢測

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一通過練習(xí)鞏固本

件上衣配成一套，那么不同的配法種數(shù)為（）節(jié)所學(xué)知識，通

A.11B.28C,16384D.2過學(xué)生解決問

401題，發(fā)展學(xué)生的

解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4數(shù)學(xué)運算、邏輯

種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選推理、直觀想

法.故共有4X7=28（種）不同的配法.象、數(shù)學(xué)建模的

答案:B核心素養(yǎng)。

2.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)

的不同取法的種數(shù)為（）

A.30B.20C.10D.6

解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)

可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是

奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6（種）取法.

答案:D

3.中國有十二生肖，又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動

物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)

有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴，乙同學(xué)喜歡

牛、狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從

中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的

選法有（）

A.50種B.60種C.80種D.90種

解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論：

若甲選擇牛,此時乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有2X

10=20（種）不同的選法.

若甲選擇馬或猴，此時甲的選擇有2種，乙的選擇有3種,丙的選擇有10

種，

此時有2X3X10=60（種）不同的選法.

一共有20+60=80（種）不同的選法.故選C.

答案:C

4.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異

色,若只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法共有（）

A.48種B.72種C.96種D.108種

解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.

當(dāng)A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B

有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4X

3X2X2=48（種）方法;當(dāng)A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A

有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步

乘法計數(shù)原理知,共有4X3X2X1X1=24（種）方法.綜上,共有

48+24=72（種）方法.故選B.

答案:B

5.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會

鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選

法？

解：由題意可知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會鋼琴又會小號（把

該人記為甲），只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人.把從中選出會鋼琴

與會小號各1人的方法分為兩類.第1類，甲入選,另1人只需從其他8

人中任選1人,故這類選法共8種;第2類，甲不入選,則會鋼琴的只能從

6個只會鋼琴的人中選出，有6種不同的選法,會小號的也只能從只會小

號的2人中選此有2種不同的選法,所以這類選法共有6X2=12（種）.因

此共有8+12=20（種）不同的選法.

四、小W

個

兩通過總結(jié)，讓學(xué)

數(shù)

小——分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用

理

威生進一步鞏固本

應(yīng)分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用

物

用—兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提

五、課時練高概括能力。

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題(或困難、障礙)是綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理，產(chǎn)

生這一問題的原因是不能根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的原理。要解決這一問題，就要要通過

典型的、學(xué)生比較熟悉的實例，經(jīng)過概括得出兩個計數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，

安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會兩個計數(shù)原理的基本思想。

《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》導(dǎo)學(xué)案

(第一課時)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理；

2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”.

3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.

【重點與難點】

重點：分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

難點：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題

【知識梳理】

一、分類加法計數(shù)原理

完成一件事,如果有n類辦法，且:第一類辦法中有m種不同的方法，第二類辦法中有.m種不

12

同的方法……第n類辦法中有m種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+m+-+m種不同

n12n

的方法.

利用分類加法計數(shù)原理解題的注意事項

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完

成這件事.

(2)完成這件事的n類辦法,無論用哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而不需要

用到其他的方法.

(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“完成這件事的辦法”進行分類，要求每一種方法必屬于

某一類辦法,不同類辦法的任意兩種方法不同,也就是分類必須既不重復(fù)也不遺漏.從集合的

角度看,若完成一件事分A,B兩類辦法,則AnB=0,AUB=I(I表示全集).

二、分步乘法計數(shù)原理

完成一件事,如果需要分成n個步驟，且:做第一步有m種不同的方法，做第二步有m種不同

12

的方法……做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mXmX-Xm種不同的方

n12n

法.

利用分步乘法計數(shù)原理解題的注意事項

(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事需要幾步.

(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了，才算完成這件事,無論缺少哪

一步,這件事都不可能完成.

(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐一去做,才能完成這件事,

各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.

(4)對于同一個題目，標(biāo)準(zhǔn)不同，分步也不同.分步的基本要求:一是完成一件事，必須且只需

連續(xù)做完幾步，既不漏步也不重步;二是不同步驟的方法不能互相替代.

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題導(dǎo)學(xué)

計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題

中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面

先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.

問題1.用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編

出多少種不同的號碼？

探究與發(fā)現(xiàn)

問題2.你能說說這個問題的特征嗎？

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

二、典例解析

例1.在填寫高考志愿時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強

項專業(yè)，如表，

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會計學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路

(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類；

(2)計數(shù):求出每一類中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.

問題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類

I

方案中有m種不同的方法，在第三類方案中有m種不同的方法，那么完成這件事共有多少

23

種不同的方法？如果完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，

那么應(yīng)該如何計數(shù)呢？

跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()

A.18B.36C.72D.48

問題4.用前6個大寫的英文字母和「9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A,A,-A,B,B,…的

I1912

方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

問題5.你能說說這個問題的特征嗎？

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參

加比賽，共有多少種不同的選法？

問題6.如果完成一件事有三個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有m種不同

I2

的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事需要有n個步驟，做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？

如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有m種不同的方

12

法，…，做第n步有m種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)如何計算？

n

分那寨漆汁教糜理一般結(jié)論：

例3.書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2

本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法？

(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法？

應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2.有6名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報

名方法？(不一定6名同學(xué)都參加)

(1)每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；

(3)每項限報一人，但每人參加的項目不限.

【達標(biāo)檢測】

L某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出4本贈送給4位學(xué)

生，每位學(xué)生1本，則不同的贈送方法共有()

A.20種B.15種C.10種D.4種

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進行的5