2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題反例否定和雙元兩類導(dǎo)數(shù)大題

Page11反例否定和雙元兩類導(dǎo)數(shù)大題一.反例否定類例題1．已知函數(shù).（1）若，試求最小值；（2）若都有恒成立，求的取值范圍.練習(xí)2．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.通關(guān)題3．設(shè)函數(shù)．（I）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若當時，恒成立，求的取值范圍．例題4．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：當時，；（3）若對隨意恒成立，求實數(shù)的值.練習(xí)5．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對隨意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．通關(guān)題6．已知函數(shù)（為常數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求；（Ⅱ）當時，，求實數(shù)的取值范圍．二.雙元類轉(zhuǎn)化為同一未知數(shù)例題7．已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間和極值；當時，若，且，證明：．練習(xí)8．已知函數(shù)，其圖象與軸交于不同兩點，，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.通關(guān)題9．已知函數(shù)．（1）當時，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明:．例題10．已知函數(shù)的圖象與直線相切，是的導(dǎo)函數(shù)，且.（1）求；（2）函數(shù)的圖象與曲線關(guān)于軸對稱，若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，求證：.練習(xí)11．已知函數(shù)，其中為正實數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：反例否定和雙元兩類導(dǎo)數(shù)大題一、解答題1．已知函數(shù).（1）若，試求最小值；（2）若都有恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（2）對于恒成立的問題，分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可.試題解析：（1）當時，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.∴當時，.（2）在時恒成立，.當時，恒成立，∴.當時，.令，，.令，，∴在上單調(diào)遞增，.∴，在上單調(diào)遞增，.由洛必達法則：.∴，∴，即.考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）恒成立問題.2．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，，令，明顯只需探討與0的大小關(guān)系，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，分類探討，即可求出答案；（2）由，可得，結(jié)合（1）可知，令，可得，再結(jié)合的關(guān)系式，可得，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，探討其單調(diào)性，可知時，，又因為，從而可知，即.【詳解】（1）由題意，，令，，①當，且，即時，，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減；②當時，，由得，當時，，；當時，，.故在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當時，由得，當時，；當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；④當時，，由得或（不合題意，舍去）.當時，，；當時，，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）因為，所以.由（1）得，故只需，即可滿意.令，則，整理得，即，所以，設(shè)，所以，當時，；當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，所以當時，；當時，，又，因為，所以，，所以，所以，即，故，又所以的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等學(xué)問，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證實力與計算求解實力，屬于難題.3．設(shè)函數(shù)．（I）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若當時，恒成立，求的取值范圍．【答案】（I）的單調(diào)遞增區(qū)間為和的單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）．【解析】試題分析：（I）當時，,,由此求出的單調(diào)區(qū)間；（II）由于當時，恒成立,故,留意到,只須要推斷的單調(diào)區(qū)間即可.試題解析：（I）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和的單調(diào)遞減區(qū)間為（II），令，，當時，，在上為增函數(shù)．而，從而當時，，即恒成立．若當時，令，得（用也對）當時，，在上是減函數(shù)，而，從而當時，，即，不成立綜上可得的取值范圍為．考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性與最值．【方法點晴】不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象視察，或參變分別，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．：．無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，擅長從不同角度分析問題，是解題的法寶．4．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：當時，；（3）若對隨意恒成立，求實數(shù)的值.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有微小值，無極大值，(2)=【解析】試題分析：（1），求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有微小值，無極大值；（2）原不等式即，記，則，通過求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，有，又，得證；（3）構(gòu)造函數(shù)，則（），分類探討得，，則只能等于.試題解析：（1），，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有微小值，無極大值.（2）原不等式即，記，則.當時，，得在上單調(diào)遞減，有而由（1）知，，得證.（3）即.記，則對隨意恒成立，求導(dǎo)得（）若，則，得在上單調(diào)遞增，又，故當時，，不合題意；若，則易得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.依題意有，由（1）知，則只能等于.點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。綜合應(yīng)用的題型中，利用求導(dǎo)推斷，一般利用干脆求導(dǎo)法、構(gòu)造函數(shù)法、分別參數(shù)法解題。本題含參的函數(shù)問題，采納構(gòu)造函數(shù)法后干脆求導(dǎo)，分類探討。5．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對隨意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的解析式求得切點和切線斜率，從而得到切線方程；（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)可知單調(diào)性由的符號確定；分別在、兩種狀況下推斷導(dǎo)函數(shù)的正負，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）通過變量遷移可將問題變?yōu)樵谏虾愠闪⒌膯栴}；由與的符號易推斷；構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負可知時滿意題意；而當時，由于存在使得，從而可知時，不等式不成立；由此總結(jié)可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）當時，，函數(shù)在點處的切線方程為（Ⅱ）由題意，（?。┊敃r，令，得；，得所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（ⅱ）當時，令，得；，得或所以在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減（Ⅲ）令，當時，，單調(diào)遞增，則則對恒成立等價于即，對恒成立.（?。┊敃r，，，此時，不合題意，舍去（ⅱ）當時，令，則其中對，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增①當時，所以對，，則在上單調(diào)遞增故對隨意，即不等式在上恒成立，滿意題意②當時，由又且在區(qū)間上單調(diào)遞增所以存在唯一的使得，且時，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減則時，，即，不符合題意綜上所述，【點睛】本題考查求解曲線在某點處的切線、探討含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題、恒成立問題的求解，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值的學(xué)問.處理本題中的恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過變量遷移的方式，勝利的將問題轉(zhuǎn)化為只有單一變量的恒成立問題；變量遷移的方法通常是在變量較多且遷移變量后，新函數(shù)的單調(diào)性易于推斷的狀況下運用.6．已知函數(shù)（為常數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求；（Ⅱ）當時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】試題分析：(Ⅰ)運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（Ⅱ）借助題設(shè)條件,運用導(dǎo)數(shù)的學(xué)問與分類整合的數(shù)學(xué)思想求解.試題解析:（Ⅰ），，得，由已知得切點為，所以，得，所以．（Ⅱ）當時，，令，，（1）當時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，（2）當時，令，得或．①當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，由，得；②當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，因為成立，由，得；所以；③當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為成立；④當，即時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，因為成立，由，得，而，所以；⑤當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以在上的最大值為，因為成立，所以；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．考點：導(dǎo)數(shù)的學(xué)問與分類整合思想的運用．【易錯點晴】本題考查的是導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)的單調(diào)性和最值方面的運用的問題,這類問題的設(shè)置重在考查導(dǎo)數(shù)的工具作用.解答這類問題是,一要依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)函數(shù)在切點處的導(dǎo)函數(shù)值就切線的斜率;再一個就是切點既在切線上也在曲線上,這兩點是解決曲線的切線這類問題所必需駕馭的基本思路.本題的其次問設(shè)置的是不等式恒成立的前提下求參數(shù)的取值范圍問題,求解時先將不等式進行轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù),然后通過運用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)最值的分類探討,最終求出參數(shù)的取值范圍.7．已知函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間和極值；當時，若，且，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合均值不等式以及函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，，當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；當時，由，得，當時，，得的單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，，得的單調(diào)遞減區(qū)間是，故的極大值為，無微小值,綜上：當時，單調(diào)遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；無極值；當時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值為，無微小值.當時，，，依題意，，則，所以，即由均值不等式可得，所以，則有．而，將代入上式得，令，則，，，，即，在上單調(diào)遞減，于是，即，得證．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類探討思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題,留意變量集中的運用，變量8．已知函數(shù)，其圖象與軸交于不同兩點，，且.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先變量分別得，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，即得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明，再證明，不等式即得證.【詳解】（1）由，得.令，則.由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；于是在處取得微小值，且.又時，，由于要使的圖象與直線有兩個不同的交點，所以.（2）由（1）知.一方面，令，，則，又令，，則.易知在上單調(diào)遞增，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，于是，所以在上單調(diào)遞增.則，即.所以.又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.另一方面，令，則，易知在時，取得最小值，所以，即.，∴.∵，∴方程有唯一正根，則.又，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以依據(jù)零點存在定理，得在區(qū)間有唯一零點.所以，又，②①代入②，得，解得.于是.令，，則又令，則.留意到為減函數(shù)，所以，于是，從而為增函數(shù)，所以，故為減函數(shù)，則，即.所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.9．已知函數(shù)．（1）當時，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，證明:．【答案】（1）時，在單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后依據(jù)方程的判別式得到導(dǎo)函數(shù)的符號，進而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意得到方程有兩個根，故可得，且．然后可得，最終利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而不等式成立．【詳解】（1）∵，∴．①當，即時，，所以在單調(diào)遞增；②當，即時，令，得，，且，，當時，；當時，；∴單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述：當時，在單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）由（1）得．∵函數(shù)有兩個極值點，，∴方程有兩個根，，∴，且，解得．由題意得．令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴．【點睛】（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或探討函數(shù)的單調(diào)性時，若解析式中含有參數(shù)時，解題中肯定要弄清參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響，若有影響則必需進行分類探討．（2）解答其次問的關(guān)鍵在于求出的表達式后將問題轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新函數(shù)并利用單調(diào)性可得結(jié)論成立．10．已知函數(shù)的圖象與直線相切，是的導(dǎo)函數(shù)，且.（1）求；（2）函數(shù)的圖象與曲線關(guān)于軸對稱，若直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切的切點為，求得的導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，由切線方程和已知條件，可得方程組與可解得，進而得到所求的解析式；（2）求得的解析式,，，兩式相加和相減，相除可得,令，可得要證，即證，即證，可令求得二階導(dǎo)數(shù),推斷單調(diào)性,即可得證．【詳解】假設(shè)直線與函數(shù)圖象的切點為，因為，則由題意知，即所以，即①，又，所以②由①②可得，所以（2）由題可知，則，即，兩式相加得，兩式相減得，以上兩式相除得，即，不妨設(shè)，要證，即證，即，即證，令，那么，則，所以在上遞增，又，所以當時，恒成立，所以在上遞增，且.所以，從而成立.【點睛】本題