名師手拉手高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)直線和平面

離三政學(xué)笫二輪專甄夏國直線和平面

一、考綱要求

1.掌握平面的基本性質(zhì)，空間兩條直線、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系（特別是平

行和垂直關(guān)系）以及它們所成的角與距離的概念.

2.對于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離.

3.能運(yùn)用上述概念以及有關(guān)兩條直線、直線和平面、兩個(gè)平面的平行和垂直關(guān)系的性

質(zhì)與判定，進(jìn)行論證和解決有關(guān)問題.

4.會(huì)用斜二側(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形（特別是正三角形、正四邊形、正五邊形、

兩個(gè)平面、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系.

5.理解用反證法證明命題的思路，會(huì)用反證法證明一些簡單的問題.

二、知識(shí)結(jié)構(gòu)

L空間多邊形不在同一平面內(nèi)的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.

若空間折線的最后一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折

線.

若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個(gè)不定義

的概念，幾何里的平面是無限伸展的.

平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示.

平面常用希臘字母a、6、丫…或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形

的兩個(gè)相對頂點(diǎn)字母表示，如平面AC.

在立體幾何中，大寫字母A,B,C,…表示點(diǎn)，小寫字母，a,b,c,……表示直

線，且把直線和平面看成點(diǎn)的集合，因而能借用集合論中的符號(hào)表示它們之間的關(guān)系，例

如：

AG1一點(diǎn)A在直線1上；

A定a一點(diǎn)A不在平面a內(nèi)；

1Ua一直線1在平面a內(nèi)；

a<Za一直線a不在平面a內(nèi)；

1Am=A一直線1與直線m相交于A點(diǎn)；

aA1=A一平面a與直線1交于A點(diǎn)；

anB=1一平面a與平面p相交于直線1.

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平

面內(nèi).

公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

根據(jù)上面的公理，可得以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

r平行一沒有公共點(diǎn)

共面一

(1)直線與直線彳〔相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

〔異而(既不平行，又不相交)

'直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線和平面j直線不在平面內(nèi)［平行一沒有公共點(diǎn)

I(直線在平面外J相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

r相交一有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))

(3)平面與平面1

平行一沒有公共點(diǎn)

證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.

有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異

面直線”.

(1)兩直線平行的判定

①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.

②如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直

線和交線平行，即若a〃a,aB,aAB=b,則2〃13.

③平行于同一直線的兩直線平行，即若a〃b,b〃c,則a〃c.

④垂直于同一平面的兩直線平行，即若aj.a,b±a,則a〃b

⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若a〃6,an丫，Bny=b,

貝ija//b

⑥如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即

若aAB=b,a//a,a//0,則a/7b.

(2)兩直線垂直的判定

①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.

②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b//c,a±b,則a±

c

③一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a±a,bc

a,a±b.

④三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影

垂直，則它也和這條斜線垂直.

⑤如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a〃a,b

，a,則alb.

⑥三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若y_La,且aAB=a,B

Ay=b,yAa-c,則a±b,b±c,c±a.

(3)直線與平面平行的判定

①定義：若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.

(Za,bea,a//b,則a//a.

③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若a〃B,lua,則

1〃6.

④如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平

行.即若al?a,則l〃a.

⑤在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩個(gè)點(diǎn)的直

線與這個(gè)平面平行，即若A/a,Bea,A、B在a同側(cè)，且A、B到a等距，則AB〃a.

⑥兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若a〃

0,a(Za,atZB,a〃a,則&〃0.

⑦如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即

若aJ_a,b(Za,b±a,則b〃a.

⑧如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這

個(gè)平面內(nèi))，即若a〃b,a〃a,b〃a(或bua)

(4)直線與平面垂直的判定

①定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.

ca,nua,mCn=B,1_Lm,1J_n,則1J_a.

③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若1〃

a,a_La,則1_La.

④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若a〃

0,113,則1J.a.

⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平

面，叩若a_L6,anB=a,luB,l_La,則lj.a.

⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若

a±y,6_1_丫，且aflB=a,則aJ.Y.

(5)兩平面平行的判定

①定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無公共點(diǎn)0a〃B.

②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若

a,bua,aCb=P,，貝l」a〃B.

③垂直于同一直線的兩平面平行.即若a±a,B±a,則a〃B.

④平行于同一平面的兩平面平行.即若a〃B,則a〃匕

⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平

行，即若a,bua,c,duB,aCb=P,a〃c,b〃d,貝a//0.

(6)兩平面垂直的判定

①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，

即二面角a—a—B=90°<=>a_L0.

②如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若

B,1ua,則aJ.B.

③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若a〃B,aXy,則

3±Y.

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).

(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一

個(gè)平面內(nèi)，即若a_LB,AWa,AB_LB,則ABua.

(3)過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，

即若AGa,a_Lb,ASa,b±a,貝aua.

(4)過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若

a,PG6,B〃a,PGa,a//a,則au6.

(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在

這個(gè)平面內(nèi)，即若a〃a,Ada,Aeb,b〃a,則bua.

(1)過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；

(2)過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；

(3)過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；

(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；

(5)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；

(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；

(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；

(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).

(1)點(diǎn)在平面上的射影自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的

射影還是點(diǎn).

(2)直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在

這平面上的射影.

和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.

(3)圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)

平面圖形在該平面上的射影.

當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；

當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.

(4)射影的有關(guān)性質(zhì)

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：

(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；

(ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；

(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.

等角定理及其推論

定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.

推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)

相等.

異面直線所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線a'〃a,b'//b,

則a'和b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.

(2)取值范圍：0°<0W90°.

(3)求解方法

①根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角

②解含有6的三角形，求出角9的大小.

(1)定義和平面所成的角有三種：

(i)垂線面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和

這個(gè)平面所成的角.

(ii)垂線與平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.

(iii)一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.

(2)取值范圍0°WeW90°

(3)求解方法

①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角9.

②解含。的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的

角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角.

(1)半平面直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角

的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.

若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.

二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角。的取值范圍是

0°<0<180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所

組成的角叫做二面角的平面角.

如圖，ZPCD是二面角aABB的平面角.平面角/PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置

無關(guān).

②二面角的平面角具有下列性質(zhì)：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB_L平面PCD.

(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在

平面角的另一邊(或其反向延長線)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD，a,平面

PCD13.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定義法D

(ii)垂面法

(iii)三垂線法

(IV)根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)

(4)求二面角大小的常見方法

①先找(或作)出二面角的平面角0，再通過解三角形求得。的值.

②利用面積射影定理

S'=S?cosa

其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S'是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖

形的面積，a為二面角的大小.

③利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.

點(diǎn)到平面的距離

(1)定義面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面

的距離.

(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：

1)直接利用定義求

①找到（或作出）表示距離的線段；

②抓住線段（所求距離）所在三角形解之.

2）利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面

交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離.

3）體積法其步驟是：①在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱

錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=1S-h,求出h即為所求.這種方法的

3

優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.

4）轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為（平行）直線與平面的距離來求.

（1）定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線

和平面的距離.

（2）求線面距離常用的方法

①直接利用定義求證（或連或作）某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.

②將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.

③作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離.

（1）定義個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.公垂線夾在兩

個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度叫

做這兩個(gè)平行平面的距離.

（2）求平行平面距離常用的方法

①直接利用定義求

證（或連或作）某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.

②把面面平行距離轉(zhuǎn)化為線面平行距離，再轉(zhuǎn)化為線線平行距離，最后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線（面）

距離，通過解三角形或體積法求解之.

（1）定義條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的

公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離.

任何兩條確定的異面直線都存在唯一的公垂線段.

（2）求兩條異面直線的距離常用的方法

①定義法題目所給的條件，找出（或作出）兩條異面直線的公垂線段，再根據(jù)有關(guān)定

理、性質(zhì)求出公垂線段的長.

此法一般多用于兩異面直線互相垂直的情形.

②轉(zhuǎn)化法為以下兩種形式：線面距離面面距離

③等體積法

④最值法

⑤射影法

⑥公式法

直線與平面

【例題】

【例1】正三棱錐PABC的高和底面邊長都等于a,EF是PA與

B

8c的公垂線，E、F分別是垂足。(1)求證：側(cè)棱P/U截面BEC(2)求截面BEC

的面積：(3)求截面8EC與底面ABC所成二面角的大小

解：1)略

2)易知F為BC的中點(diǎn)，在RtAPAO中，AO=—a,PO=a,

3

7

所以PA=^a,又易知PA_LBE,

在等腰三角形PA8中，可求得8￡=巫0,

4

3a

所以在直角三角形EFB中，求得EF=(a,所以

3)ZEFA=30°

【例2】已知斜三棱柱ABC—ASG中，AiG=SG=2,D、。分別是A3、

4歷的中點(diǎn)，平面AiABSJL平面AIBCI，異面直線AB|和。由互相垂直.

(1)求證：AB|_LCQi；

(2)求證：面ACQ；

(3)若A8i=3,求直線AC與平面ACC所成的角.

解：(1)證明：?.?4G=BiG，。|是Ai亂的中點(diǎn)，于Oi,

又?平面4ABBi_L平面小BiG，CQi_L平面48由A,

而ABiu平面4ABB1，：.AB\LC\D\.

(2)證明：連結(jié)DiD,I?。是AB中點(diǎn)，：.DDi=^CCi，:.C\D\//CD,由(1)得C￡)_L

ABx，又,.?Ci?！蛊矫鍭iABBi,CiB±AB,,由三垂線定理得

又?.?41。〃。山，而C￡>nAi￡>=。，平面4CD

(3)解：由(2)4B|_L平面ACO于0,連結(jié)COi得/AC0為直線4c與平面AC。所成的

An1

角，VAB,=3,AC=AiG=2,：.AO=1,：.sinOCA=^=~,

兀

：.ZOCA=-.

6

【例3】兩個(gè)全等的正方形ABC。和ABEF所在平面相交于AB,M^AC,N

WFB,KAM=FN,求證：MN〃平面BCE

證法一：作MP_LBC,NQLBE,P、。為垂足，則MP〃A8,NQ//AB.

：.MP//NQ,又AM=NF,AC=BF,

:.MC=NB,NMCP=NNBQ=45°

：.Rt^MCP^Rt/\NBQ

MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形

J.MN//PQ

'：PQu平面BCE,MN在平面BCE外，

〃平面BCE.

證法二：如圖過“作MH_LAB于4,MMH//BC,

.AMAH

■（，—---------

ACAB

FNAH

連結(jié)NH,由BF=AC,FN=AM,得——=——

BFAB

：.NH//AF//BE,

MHIIBC

由■n平面MNH//平面BCE

NHIIBE

.?.MN〃平面BCE.

【例4】在斜三棱柱MB\C\~ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,側(cè)面

6BICIC_L底面ABC.

(1)若。是BC的中點(diǎn)，求證：AD±CCi；

(2)過側(cè)面BBCC的對角線BC\的平面交側(cè)棱于M,若AM=MAi，求證：截面MBCx

，側(cè)面BByCxC-,

(3)AM=M4是截面MBG，平面B3GC的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.

解：(1)證明："：AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，C.ADLBC

?.?底面A8C_L平面BBCiC,.,.AD_L側(cè)面BB\C\C

：.ADLCC\.

(2)證明：延長BA與8M交于N,連結(jié)CiN

*.*AM=MA\,.'.NA\=A\Bi

VA^^AiCi，???4G=4N=AS

Ci/VICiB]

???底面NBiG，側(cè)面BBiCiC,???GN，側(cè)面BB】GC

???截面?zhèn)让鍮BCiC

???截面MBC】_L側(cè)面BBiCiC.

(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.

過M作ME±BCi于E,：截面M8G_L側(cè)面BBCC

側(cè)面BBiCC又：AO_L側(cè)面BBCC.

：.ME//AD,：.M,E、。、A共面

〃側(cè)面BBiCC，J.AM//DE

VCC1LAM,：.DE//CC\

：Z)是BC的中點(diǎn)，是8G的中點(diǎn)

AM=DE=-CC：.AM=MAt.

22

【例5】己知斜三棱柱ABC4夕C的底

面是直角三角形，ZC=90°,側(cè)棱與底面所成的

角為a(00<a<90°),夕在底面上的射影D

落在BC上。

(1)求證：AC_L面BB'CC.

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，4BC,且使得D恰為

BC的中點(diǎn)。

解：⑴；B'D±?ABC,ACu面ABC,

B'D_L4C,

又AC_LBC,BCnB'D=D,

AC_L面88'C'C。

(2)由三垂線定理知道：要使AB'LBC',需且只需A9在面BB'C'C內(nèi)的射影

B'C±BC,.即四邊形B8CC為菱形。此時(shí),BC=BB,.

因?yàn)橄J_面A8C,所以，N83。就是側(cè)棱夕8與底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且為BC的中點(diǎn)，所以，此時(shí)N880=60。。

即當(dāng)a=60°時(shí),AB'±BC',且使得D恰為BC的中點(diǎn)。

【例6】如圖：已知四棱錐

P—A3CD中，底面四邊形為正方形，側(cè)

面PDC為正三角形，且平面PDCJJ點(diǎn)面

ABCD,E為PC中點(diǎn)。

(1)求證：平面EDBL平面PBC；

(2)求二面角C的平面角的正

切值。

解：(1)要證兩個(gè)平面互相垂直，常規(guī)的想法是：證明其中一個(gè)平面過另一個(gè)平

面的一條垂線。

首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC為正三角形，所以，

DELPC,那么我們自然想到：是否有。面PBC?這樣的想法一經(jīng)產(chǎn)生，證明它并

不是一件困難的事情。

:面PDCJ_底面ABCD,交線為DC,

DE在平面ABCD內(nèi)的射影就是DCo

在正方形ABCD中，DC_LCB,

DE_LCB。

又PCcBC=C,PC,BCu面PBC,

：.DEIffiPflC,

又DEu面EDB,

，平面EDB_L平面PBCo

(2)由(1)的證明可知：DE_L面PBC。所以，NBEC就是二面角

3—OE-C的平面角。

,/面PDC_L底面ABCD,交線為DC,

又平面ABCD內(nèi)的直線CB1DC。

/.CBlffiPDCo

又PCu面PDC,

CBIPCo

在RtAECB中，tanZfiEC=—=2o

CE

【例7】如圖：在四棱錐S-4?C￡>

中，SA_L平面ABCD,Z

jr

BAD=ZADC=-,AB=AD=2a,

2

CD=a,￡為SB的中點(diǎn)。

(1)求證：CE〃平面SAO；

(2)當(dāng)點(diǎn)E到平面SCO的距離為多少時(shí)，平

面SBC與平面S4O所成的二面角為45°?

解：題目中涉及到平面SBC與平面S4。所成的二面角，所以，應(yīng)作出這兩個(gè)平面的

交線(即二面角的棱)。另一方面，要

證CE〃平面S4O,應(yīng)該設(shè)法證明CE

平行于面S4O內(nèi)的一條直線，充分利

用中點(diǎn)(中位線)的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，

剛剛做出的二面角的棱正好符合要求。

(1)延長BC、4D交于點(diǎn)Fo

在\FAB中，Z

BAD=^ADC=—,所以，AB.CD都

2

與4F垂直，所以，CD//AB,所以，ACDFsMAF。又AB=2a,CD=a,所以，點(diǎn)

D、C分別為線段4F、BF的中點(diǎn)。

又因?yàn)镋為S3的中點(diǎn)，所以，EC為ASBC的中位線，所以，EC//SF。

又面SA。，Sfu面S4。，所以，CE〃平面S4。。

(2)因?yàn)椋篠4,平面ABCD,ABu平面A8CD,所以，AB1SA.又

AB1AF,AFr>SA=A,所以，A8_L面SAF1。

過A作AH1SF于H,連BH,則8H_LSF,所以，就是平面S8C與平面

SAD所成的二面角的平面角。

在RI&9/Z4中，要使NB〃4=45°,需且只需AH=4B=2a。

此時(shí)，在ASAF中，SA=S「A"=向+(4")2.2〃,所以，sA=^a。

AF4。3

在三棱錐SACD中，設(shè)點(diǎn)A到面SCD的距離為h,貝IJ

ADDC

SSA

h-^ACD'_23A_4￡>SA_皿弘_V14

S&SCDSDCDSD飛SA?+AD?4

2

因?yàn)锳3//DC,所以，AB//面SCD。所以，點(diǎn)A、5到面SCD的距離相等。又因?yàn)镋為

SB中點(diǎn)，所以，點(diǎn)E到平面SCD的距離就等于點(diǎn)8到面SCD距離的一半，即。=巫。

28

【例8】如圖，在三棱柱-中，四邊形AA8Q是菱形，四邊形

8CC5'是矩形,C'S'lAB。(1)求證：平面C4'艮LAA8；

(2)若Cb=3,AB=4,ZABB'=6(T,

求AC'與平面BCC'所成角的大小(用反三角函數(shù)表示)

解：(1)證明：

C

在三棱柱ABC—A'B'C中，CB'//CB

J.CBLAB-.又VCB±BB'；ABABB'=B

：.CB±￥ffi4^B

VCBu平面。VB

，平面CAB1平面A'AB

(2)解：由A

CB,1.平面A'AB,得平面A'A81平面8CC'

過點(diǎn)4作4”，平面8CC,，為垂足，

則H在BB'上，

連結(jié)C'H,則Z4CH為AC'與平面8CC'所成的角

連接AB，，由四邊形4AB"是菱形，ZABB'=60°

可知為等邊三角形，而H為由T中點(diǎn)，又/0=4

AH=2?于是在RrAC'8'A中，

AC'=yl42+32=5,而在R/A4，C'中,

,.2后

sin/ACH-----

5

/Ad.2百

/.ZACH=arcsin---

5

因此，直線AC與平面3CC所成的角是arcsin年。

【例9】在長方體ABCD—A,BfC,D,中，AB=a，AD=b,A4'=c

(a>b>c),由頂點(diǎn)A沿著長方體的表面

到頂點(diǎn)C的最短距離是多少？

解:如圖所示

AC[=Jc2+(a+1)2

=J-、+Z72+c，+2ab

AC2=J(b+c)2+/

=yla2+Z?2+c2+2hc

ACy=+up+b?

=4a1+b2-k-c2+2ac

a>b>c

lab-2ac=2cl(b-c)>0

2ac-2bc=2c(a-/?)>0

/.lab>2ac>2bc

故4Q=J。？+>2+。2+2bc是所求最短品巨離

【直線與平面練習(xí)】

一、選擇題

1.在長方體ABC。一A181Goi中，底面是邊長為2的正方形，高為4,則點(diǎn)4到截面

ABQi的距離是（）

2.在直二面角。一/一￡中，直線aua,直線匕u￡,a、匕與/斜交，貝底）

A.4不和方垂直，但可能a〃6B.a可能和b垂直，也可能

//h

C.a不和6垂直，a也不和6平行D.a不和b平行，但可能a_L6

二、填空題

3.設(shè)X、KZ是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“*，2且y_LZ=X〃

為真命題的是(填序號(hào)).

①x、八z是直線②x、y是直線，z是平面③z是直線，x、丫是平面④x、Kz

是平面

4.設(shè)〃力是異面直線，下列命題正確的是.

①過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和4、。都相交

②過不在〃、人上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和“、b都垂直

③過a一定可以作一個(gè)平面與b垂直

④過。一定可以作一個(gè)平面與6平行

三、解答題

5.如圖，在四棱錐P—4BC。中，底面ABC。是矩形，側(cè)棱南垂直于底面，E、F分

別是A8、PC的中點(diǎn).

⑴求證：CDLPD;

(2)求證：EF〃平面用￡);

(3)當(dāng)平面PCD與平面ABC。成多大角時(shí)，直線E/tL平面尸C。？

6.如圖，在正三棱錐A—BCC中，ZBAC=30°,AB=a,平行于A。、BC的截面EFG”

分別交AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E、F、G、H.

(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

(2)設(shè)P是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面P8C_L平面EFGH,請給出證明.

7.如圖，正三棱柱48C—48G的各棱長都相等，D、E分別是CG和A8的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在上且滿足5F：FC=\:3.

(1)若M為4?中點(diǎn)，求證：BBi〃平面EFM；

(2)求證：EF±BC；

(3)求二面角A\—B\D—Ci的大小.

8.如圖，已知平行六面體ABCD—AiBiCQ的底面是菱形且/CCB=

NGCD=NBCD=60；

(1)證明:CiCLBD；

⑵假定CD=2,CG=—，記面C\BD為。，面CBD為￡,求二面角。一B。一萬的平面角

2

的余弦值；

CD

⑶當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí),可使人心上面GBD?

cq

一、1.解析:如圖，設(shè)4GCBQi=Oi，VB\D\LAxOx，BiDi±AAi，.'.BQ」平面

41。，故平面A4iO」ABQi,交線為AOi，在面44G內(nèi)過Ai作Ai”，AOi于H,則易

知AxH長即是點(diǎn)4到平面ABiDi的距離，在RtAAiOiA中，人。=正，40尸3板,由

,4

A\0\?AiA=/z?AOi,可得47/=—.

3

答案：C

2.解析：如圖，在/上任取一點(diǎn)P,過尸分別在。、￡內(nèi)作a'//a,b'〃"在屋上任

取一點(diǎn)A,過A作AC，/,垂足為C,則AC,￡,過C作交/于B,連AB,由

三垂線定理知AB_Lb',

.?.△APB為直角三角形，故NAPB為銳角.

答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、KZ位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)為反例，②③是

真命題，④是假命題，平面X、KZ位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)為反例.

答案：②③

4.@

三、5.證明：(1)：B4_L底面ABC￡>,是尸。在平面ABCD內(nèi)的射影，

■:CDu平面ABCD且CDLAD,J.CDLPD.

(2)取CO中點(diǎn)G,連EG、FG,

V￡.F分別是AB、PC的中點(diǎn)，：.EG//AD,FG//PD

.,.平面EFG〃平面PAD,故EF〃平面PAD

(3)解：當(dāng)平面PC￡)與平面ABC。成45°角時(shí)，直線E/，面PCO

證明：G為CD中點(diǎn)，則EG_LCD,由(1)知FGLCD,故NEG尸為平面PC。與平面

ABC。所成二面角的平面角.即NEGF=45°,從而得NAOP=45°,AD=AP

由RtAB4E^RtACfi￡,MPE=CE

又尸是PC的中點(diǎn)，：.EF±PC,由CD_LEG,CDLFG,得CD_L平面EFG,CD1EF

即EFVCD,故EF_L平面PCD.

6.(1)證明：

AD〃面EFOH

面ACDA面EFGH-HGAD〃H(；

AQC：而ACD

同理EF〃尸G,二￡尸6"是平行四邊形

；A-BCD是正三棱錐，在底面上的射影0是△BC。的中心，

.'.DOLBC,：.AD±BC,

C.HGVEH,四邊形EfGH是矩形.

(2)作CPJLAZ)于P點(diǎn)，連結(jié)8P,,：AD1.BC,面BCP

'：HG//AD,WGc[fiEFGH.l^EFGH,

出

在RtZ\APC中，NC4P=30°,AC=a,：.AP=-a.

2

7.(1)證明：連結(jié)EM、MF,-：M.E分別是正三棱柱的棱AB和AS的中點(diǎn)，

：.BB\//ME,又38i<z平面EFM,〃平面EFM.

(2)證明：取BC的中點(diǎn)N,連結(jié)4N由正三棱柱得：AN1.BC,

又BF：FC=1：3,二產(chǎn)是BN的中點(diǎn)，MF//AN,

J.MFLBC,而BC_LB8i，BB\〃ME.

J.MELBC,由于MFAME=M,；.BC_L平面EFM,

又EF平面EFM,J.BCVEF.

(3)解：取BiCi的中點(diǎn)O,連結(jié)40知，4O_L面BCCiB],由點(diǎn)。作BiD的垂線

OQ,垂足為Q,連結(jié)Ai。，由三垂線定理，AQLBiQ,故N4Q。為二面角4一BQ—C

的平面角，易得NA|0O=arctanJI?.

8.(1)證明：連結(jié)4G、AC,AC和BO交于點(diǎn)O,連結(jié)GO,

??,四邊形ABC。是菱形，：.AC±BD,BC=CD

又???/8CG=/DCC,GC是公共邊，.,.△CiBC^AGDC,AC\B=C\D

?：DO=OB,：.C\OVBD,但AC_LB￡>,ACC1GO=。

，B￡)_L平面AG，又GCu平面AC"AC\CVBD.

(2)解：由(1)知AC_LB。，CiOlBD,二/GOC是二面角。一80一￡的平面角.

333

在△G3C中，BC=2,GO—,ZBCCi=60°,ACIB2=22+(-)2-2X2X-Xcos60°

222

"T,

13

,/ZOCB=30°,/.OB=-,BC=1,Ci0=-,B|JGO=GC.

22

作G”_LOC，垂足為“，則〃是。。中點(diǎn)且：.cosCiOC=—

23

CD

(3)解：由(1)知3D，平面ACi,???AQu平面AG,...BfLLCC,當(dāng)——=1時(shí),平行

CC1

六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同理可證BC1±A|C,又；BDCBG=B,.?.AC_L平面

C\BD.

空間的角

【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】

空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算

1.異面直線所成的角范圍：0°<〃W90°

方法：①平移法；②補(bǔ)形法.

2.直線與平面所成的角范圍：0°W(?W90°

方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.

方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S'=Scos。來計(jì)算

【例題】

【例1】如圖，a8為60。的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂

點(diǎn)P在/上，MGa,NG￡,且與￡所成的角等于NP與。所成的角.

(1)求證：分別與。、￡所成角相等；

(2)求MN與6所成角.

解：⑴證明：作M4_L。于4,MBA.￡于8,連接AP.PB、BN、AM,再作ACLI于

C,BDJJ于D,連接NC、MD.

VNA±a,MB_LB,：./MPB、ANPA分別是MP與6所成角及NP與。所成角，Z

MNB,NM0A分別是MN與。所成角，AZMPB=ZNPA.

在Rtz^MPB與Rt^N%中，PM=PN,ZMPB=ZNPA,：./\MPB^/\NPA,:.MB=NA.

在Rt/\MNB與Rt/\NMA中，MB=NA,MN是公共邊，:AMNB沿4NMA,：.Z

MNB=NNMA,即（1）結(jié)論成立.

⑵解：設(shè)NMNB=。,知％=04,則PB=PN=a,MB=NA=^asin9,NB=y[2acos0,V

MBA.f,BDJJ,；.MDU,：.NMDB是二面角。一/一￡的平面角，

Z.ZMDB=60°,同理NNC4=60°,

BD=AC=—MB=asin0,CN=DM=———=-V6asin°,

336sin6003

\'MB±P,MPVPN,:.BPLPN

PCRD

???NBPN=90°,ZDPB=ZCNP,：.△BPD^△PNC,—

PNPB

22

BJa-CNDB卜一（雪加夕在加8

即-----------=/=-------------------=—廠—

ayIBN2-a2a3V（V2acos6>）2-a2

整理得，16sin416sin20+3=0

解得sin2。=,或2勒11?=,或』，當(dāng)sin0=立~時(shí)，CN=—4bosin0=叵a>PN不

442223

合理，舍去.

sin0=-,：.MN與￡所成角為30°.

2

【例2】在棱長為“的正方體ABC。一A'B'C'D'中，E、尸分別是BC、

A'D'的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形8,ED尸是菱形;

(2)求直線A'C與。E所成的角；

(3)求直線AD與平面B'ED尸所成的角：

(4)求面B'EDF與面ABCD所成的角.

解：(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得B'E=ED=DF=FB'=正“，下證B'、

2

E、D、F四點(diǎn)共面，取AD中點(diǎn)G,連結(jié)A1G、EG,由EG=^AB=^A'B'知，B'

EGA'是平行四邊形.

:.B'E//A'G,又4'F^DG,：.A'G。尸為平行四邊形.

.'.A'G//FD,二"、E、D、尸四點(diǎn)共面

故四邊形8'EDF是菱形.

(2)解：如圖所示，在平面A8CQ內(nèi)，過C作CP〃CE,交直線A。于P,

則NA'CP(或補(bǔ)角)為異面直線A'C與OE所成的角.

在aA'CP中，易得A'C=&,CP=DE=-a,A'P=-a

22

由余弦定理得cosA'CP=^-

故A'C與。E所成角為arccos\F.

(3)W：ZADE=ZADF,：.AD^^B'EDF內(nèi)的射影在/EOF的平分線上.如下圖

所示.

又?:B，EDF為菱形，；.DB，為NEQF的平分線，

故直線A。與平面夕EOF所成的角為/AO8'

在RtZ^B'A。中，AD=>/2a,AB'=6a,B'/>五

則cosA￡>5'=——

3

故A。與平面3,EOF所成的角是arccos立.

3

(4)解：如圖，連結(jié)EF、B'D,交于。點(diǎn)，顯然。為夕。的中點(diǎn)，從而。為正方形

ABCD—A1B'C。的中心.

作OH_L平面ABCD,則H為正方形ABCD的中心，

再作垂足為M,連結(jié)0M,則OM_LOE,

故/0M”為二面角8'—DE'-A的平面角.

在RtADOE中，0E=—a,OD=—”,斜邊DE=—a,

222

則由面積關(guān)系得OM=ODOE=我a

OM6

故面8,E￡>F與面ABCO所成的角為arcsin^—.

【例3】如下圖，已知平行六面體ABCD—A由iCQi中，底面ABC。是邊長

為a的正方形，側(cè)棱AAi長為"且A4i與A8、AQ的夾角都是120°.

求：(1)AG的長；

(2)直線BDi與AC所成的角的余弦值.

解：(1)IAG『=星,AG=(誦+AC)(麗+AC)

=(AAt+AB+ADXAAt+AB+AD)

=|麗『+|而F+|而|2+2麗?麗+2麗?而+2而.而

由已知得:|而『=/,|而|2=|詬『="

＜麗,而＞=＜苞,而＞=120。,＜而,而＞=90°

：.