高中數(shù)學(xué)必修一講義集合

1.1集合

熱門考點(diǎn)01集合的基本概念

元素與集合

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合4記作aeA；若b不屬于集合A,記作8定4.

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法.

(4)常見數(shù)集及其符號表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

【典例1】集合Af是由大于-2且小于1的實(shí)數(shù)構(gòu)成的，則下列關(guān)系式正確的是().

A.#1GMC.leM

2

【典例2](全國高考真題(文))已知集合4={x|x=3n+2,nCN},B={681(112.14),

則集合AnB中的元素個數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

【特別提醒】

1.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時，要注意檢驗(yàn)集合是否滿

足元素的互異性.

2.集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用

于解決集合問題.

熱門考點(diǎn)02集合間的基本關(guān)系

集合間的基本關(guān)系

（1）子集：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就

說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,也說集合A是集合B的子集.記為或

8衛(wèi)A

（2）真子集：對于兩個集合A與B,如果且集合B中至少有一個元素不屬于集合

A,則稱集.合A是集合B的真子集.記為力氣B.

（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

（4）若一個集合含有n個元素，則子集個數(shù)為2"個，真子集個數(shù)為2"-L

【典例3】（2010?陜西省高考真題（理））已知全集G=，集合

A={X|X2-3X+2=0},B={x\x=2a,aeA},則集合d（AU8）中元素的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【例4】（2019?濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高一月考）集合4={%,2=4,%€/?},集合

B={x|Ax=4,xe/?},若5qA,則實(shí)數(shù)k=.

【特別提醒】

⑴判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判

斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時，需要對滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法.

⑵要確定非空集合A的子集的個數(shù)，需先確定集合A中的元素的個數(shù)，再求解.不要忽略

任何非空集合是它自身的子集.

⑶根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值（或取值范圍）的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)

系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來解決這類問題.

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成

漏解.

熱門考點(diǎn)03集合的基本運(yùn)算

（1）三種基本運(yùn)算的概念及表示

運(yùn)

自然語言符號語言Venn圖

算

交由屬于集合A且屬于集合8的所有元素組成的An8={x|xGA且xd(2)

集集合B}

AQB

并由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的AUB={x\x^A或*￡

集集合B)

補(bǔ)由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集

CM={x|x￡U且x^A}

集合

（2）三種運(yùn)算的常見性質(zhì)

ADA=A,AD0=0，AQB=3nA,A\JA=A,AU0=A,

A^B=B\JA.

CLI(CyA)=A,CyU=0,CQ=U.

ADBMoAC，AUB=AoBqA,Q(AUB)=GApIQB,

Cu(An8)=QAUCuB.

【典例5】(2018?全國高考真題(理))已知集合4={,1一》一2>0},則&A=

A.1x|—1<%<21B.|x|-l<%<2!

C.D.|x<-11|x>2}

【典例6】(2019?北京高考真題(文))已知集合4=同-1〃<2},8={x|x>l},則AU8=()

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+8)D,(1,+8)

【典例7】(2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬)已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},

A={1,2,3}.B={4,5,6},則(楙)c(1/3)等于()

A.{1,2,3}B.{4,5,6}C.{123,4,5,6}D.{7,8}

【典例8】已知集合4=僅|-3a“},8={x|2m-l<x<m+l},且Ac8=B,則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為()

A.[-1,2)B.[-1,3]

C.[2,+oo)D.[-1,+oo)

【總結(jié)提升】

1.解決集合的基本運(yùn)算問題一般應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

⑴看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題

的前提.

(2)對集合化簡.有些集合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題

變得簡單明了，易于解決.

⑶注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.集合運(yùn)算常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸和Venn圖.

2.根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)，主要有以下兩種形式：

⑴用列舉法表示的集合，直接依據(jù)交、并、補(bǔ)的定義求解，重點(diǎn)注意公共元素；

⑵由描述法表示的集合，一般先要對集合化簡，再依據(jù)數(shù)軸確定集合的運(yùn)算情況，用區(qū)間

法要注意端點(diǎn)值的情況.

熱門考點(diǎn)04集合中的“新定義”問題

【典例9](2015?湖北高考真題(理))已知集合4={(xy)|x2+y2<1,x.yeZ],

B={(x,y)||x|<2,|y|<2,弟ywZ),定義集合

A?B={(xx+x2.y!+y2)|(x1.y1)eA.(x2,y2)eB},則A?B中元素的個數(shù)為

()

A.77B.49C.45D.30

【總結(jié)提升】

解決集合新定義問題的著手點(diǎn)

⑴正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ?/p>

定義、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的

集合，是解決這類問題的突破口.

(2)合理利用集合性質(zhì)：運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型

集合問題的關(guān)鍵.在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因

素，并合理利用.

(3)對于選擇題，可結(jié)合選項(xiàng)，通過驗(yàn)證、排除、對比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯誤選項(xiàng)，

當(dāng)不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的.

第02講常用邏輯用語

1.充分條件'必要條件與充要條件的概念

若p=q，則〃是〃的充分條件,q是D的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>q且qAp

p是q的必要不充分條件p=q且q=p

p是q的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件聲q且聲P

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所直”在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全

稱量詞，并用符號”上”表示.

⑵存在量詞：短語“有一個”或“直些”或“至少有一個”在陳述中表示所述

事物的個體或部分,邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“3”表示.

3.全稱命題和存在性命題（命題〃的否定記為「p,讀作“非）

稱

全稱命題存在性命題

形

結(jié)構(gòu)對M中的所有尤，有p（x）成立存在M中的一個尤o,使p（xo）成立

簡記〃（xo）

否定—?p(xo)PxGM,—ip(x)

［方法技巧］

1.區(qū)別A是8的充分不必要條件（A=>3且/A）,與A的充分不必要條件是

B（BnA且A令3）兩者的不同.

2.A是B的充分不必要條件Q㈱8是㈱A的充分不必要條件.

3.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

一、經(jīng)典例題

考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷

【例11-21（2019?上海市七寶中學(xué)高一月考）已知函數(shù)/（X）定義域是R,那么"/（X）是增

函數(shù)"是"不等式/(x)</(x+0.001)恒成立"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】函數(shù)為R上的增函數(shù)=>不等式/(x)</(x+0.001)恒成立，反之不成立，

"/(幻是增函數(shù)"是"不等式/(x)</(x+0.001)恒成立”的充分不必要條件.

故選：A

規(guī)律方法充要條件的兩種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)png,〃進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

考點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞

【例2-1](2015江蘇省高二期中)命題x2_3x+2wo”的否定為()

2

A.1,3],xj—3x0+2>0B.Vx磯—1,3],x—3x+2>0

2—

C.Vxe[—1,3],x—3x+2>0D.Hx0[1,3],—3AQ+2>0

【答案】A

【解析】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，

所以命題"Vxe[—1,3],回一3X+2已0”的否定為"叫?T,3],片-3/+2>0”.

故選A.

【例2-2](2019?遼寧省高二期中(理))設(shè)命題，：玉eR,2X>x2.則一為()

A.VxeR,2X>x2B.3xeR,2X<x2

c.VxeR,2x<x2D.3xeR,2x<x2

【答案】C

【解析】命題是特稱命題，則命題的否定是全稱命題，即VxeR,2x4x2.

規(guī)律方法1.全稱命題與存在性命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全

稱命題和存在性命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞

改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.

2.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決.

考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用

【例3-1](2020?山東省高二期末)已知命題「：關(guān)于工的不等式仕一1),一(&-1)%+2>0

2x2-7

的解集為R,q：3x>2,三~-<k,試判斷"P為真命題"與"r為真命題”的充分必要

x-2

關(guān)系*

【答案】充分不必要

【解析】若P為真命題：當(dāng)左=1時，對于任意xeR,則有2>0恒成立；

7：-1>0

當(dāng)我。1時，根據(jù)題意，有{,、2,、，解得1<Z<9.

△=(1)一_8(J)<0

所以14%<9；

2x2-7

若F為真命題：Vx>2,—_->k.

x-2

宜」=豈上空3(土空1=2(x-2)+-L+822夜+8，

x—2x—2x-2

當(dāng)且僅當(dāng)x=2+三時，等號成立，所以攵<8+2夜.

?.?{修1<女<9}48+2及},所以，"〃為真命題"是"F為真命題"的充分不必要條

件.

【例3-2](2019?浙江省寧波市鄲州中學(xué)高二月考)已知命題："*e{x|—1<X<1},使

等式f一％-m=0成立”是真命題.

(0)求實(shí)數(shù)加的取值集合M；

(0)設(shè)不等式(x—a)(x+a-2)<0的解集為N,若xwN是xeM的必要條件，求。的

取值范圍.

1Q1

【答案】(1)-(2)或q<—

【解析】(1)方程在(-1J)有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)9=/一》在(-U)上的值域，實(shí)數(shù)機(jī)的取

值集合M可求;

(2)xeN是xeM的必要條件，分a=l、a>la<1三種情況討論即可求。的取值

范圍.

(1)由題意知，方程f—x—〃z=O在(一L1)上有解，

即m的取值范圍就為函數(shù)j,=x2一x在(一U)上的值域，易得M={機(jī)|一；《機(jī)<2)7分

(2)因?yàn)閤eN是xeM的必要條件，所以分

當(dāng)a=l時，解集N為空集，不滿足題意9分

當(dāng)a>l時，a>2-a，此時集合N=2-a<“<a}

2—a<——9

則<4?解得a>—12分

4

a>2

當(dāng)a<l時，a<2-a?此時集合N={x［a<“<2-a}

a<—1

則{4,="一二15分

4

2-a>2

9、1

綜上a>—或a<—16分

44

規(guī)律方法充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時

需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之

間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范

圍時，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解

的現(xiàn)象.

(3)數(shù)學(xué)定義都是充栗條件.

［思維升華］

1.充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

(1)定義法

(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)4={可〃(》)},B={x0(x)};

①若則〃是q的充分條件，q是〃的必要條件；

②若4*8，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；

③若A=B,則p是q的充要條件.

2.栗寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是存在性命題，再對照否定結(jié)

構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

［易錯防范］

1.判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而

不必要條件是等語言.

2.注意命題所含的量詞，對于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)

行否定.

第03講：一元二次不等式及簡單不等式

(其他不等式：高次)

二、基礎(chǔ)知識回顧

1、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式/=h2—4acJ>0J=0/VO

二次函數(shù)丫=〃/+法

+c(〃>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)數(shù)根M，有兩相等實(shí)數(shù)根XI=

ax2+bx+c—0沒有實(shí)數(shù)根

b

12al<X2)

12=~2a

3>0)的根

一元二次不等式

cv^+bx+cX)[x\x<xi或X>X1]JIA

國x^~2a卜R

(〃>0)的解集

一元二次不等式

o^+bx+cVO｛小]<X<X2)00

3>0)的解集

2、由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法

。>0,

(1).一元二次不等式〃/+法+c>0對任意實(shí)數(shù)X恒成立=按_44c<0.

p<0,

2

(2)一元二次不等式ax+bx+c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立oj^2_4f/c<o

3、.簡單分式不等式

於)幽8(力之0，

(l)g(x)K)=[g(x)/).

啟)

(2)g(x)>0m/Wg(x)>0.

方法總結(jié)：(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給

定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x

軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.

(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，

求誰的范圍，誰就是參數(shù).

(3)若1x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式次x)>0的解集的子集，可以先求解集，

再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).

(4)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)的值域?yàn)椤╙,則7U)次恒成立刃(x)mi侖”，即m>6h

/(X)%恒成立秒/(X)max%,即八人.

基本不等式及應(yīng)用

I、基本不等式犯后2

(1)基本不等式成立的條件：。>0,比>0.

(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)生=〃

2、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)。>0,6>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為3二,幾何平均數(shù)為強(qiáng)，基本不等式可敘述為：兩

個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

3、利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則

(1)如果孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值是2、1

紀(jì)

(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=)，時，孫有最大值是4

4、基本不等式的兩種常用變形形式

(1)4區(qū)匕GR,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).

(2)”+處2舊3>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號).

5、幾個重要的結(jié)論

標(biāo)+按(a+b\

(1)2><2J2-

ba

(2區(qū)+層2(9>0).

M2+Z>2

(3)V^<2<-2-(〃>0，匕>0).

方法總結(jié)：1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件,

即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形?；静襟E(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值

(常數(shù));(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把力”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,

進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式。(4)利用基本不等式求解最值.

函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識回顧

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)y=f(x),把使方程f(x)=O的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的

零點(diǎn).

(2)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=O的實(shí)數(shù)根，也就是

函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)等價于函數(shù)y=f(x)的圖像

與x軸有交點(diǎn)，也等價于方程f(x)=O有實(shí)根.

(3)零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖像是一條連續(xù)的曲線，且有f(a>f(b)<0,那么函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cG(a,b),使得f(c)=O,此時c就是方程f(x)=O的

根.但反之，不成立.

2、二分法

對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且f(a).f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在

的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分

法.求方程f(x)=O的近似解就是求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值.

3、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系

J>0J=0J<0

二次函數(shù)丫=

v『/

J/AZ

ax2+bx+

o

VAOLI

c(a>0)的圖像

交點(diǎn)(Xi,O),_(X2,0)(XI,0)無交點(diǎn)

零點(diǎn)個數(shù)210

4、有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)./U)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則為弱至多有一個零點(diǎn).

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號.

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

第04講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

二、考情分析

1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)

或常用對數(shù)；2.通過具體實(shí)例，了解對數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助

計(jì)算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；

3.知道對數(shù)函數(shù)y=logaX與指數(shù)函數(shù)y=a*互為反函數(shù)(a>0,且。/1).

三、知識梳理

1.對數(shù)的概念

一般地，對于指數(shù)式ab=N,我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作log“N,即b

=Tog“N(a〉0,且aWl).其中，數(shù)色叫做對數(shù)的底數(shù)，“叫做真數(shù)，讀作*等于

以。為底N的對數(shù)”.

2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

⑴對數(shù)的性質(zhì)：①②log，=b(a>0,月.aWl).

⑵對數(shù)的運(yùn)算法則

如果?！?且aWl,M>0,N>0,那么

①log“(M7V)=log“M+log“N；

(2)log^=logaM-lo^aN；

③eR)；

nl,=

@log(i'M^}ogaM(m,nGR,且加WO).

⑶換底公式：logW=譬％,匕均大于零且不等于1).

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=logd(a>0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的

定義域是(0,+°°).

⑵對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

。＞1

圖象

性質(zhì)定義域：(0,十8)

值域：R

當(dāng)尤=1時，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

當(dāng)x>l時，y>0；當(dāng)x>l時，><0；

當(dāng)0<x<l時，)><0當(dāng)0<x<l時，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù))=?*(。>0,且aWl)與對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且aWl)互為反函數(shù)，

它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

［微點(diǎn)提醒］

1.換底公式的兩個重要結(jié)論

1n

(l)log“b=^麗；(2)loga?^=-logafc.

其中a>0,且aWl,b>0,且m,〃WR.

2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

3.對數(shù)函數(shù)y=logox(a>0,且aW1)的圖象過定點(diǎn)(1,0),且過點(diǎn)(a,1)，(｝，—1)，

函數(shù)圖象只在第一、四象限.

四、經(jīng)典例題

考點(diǎn)一對數(shù)的運(yùn)算

【例1-1】(1)計(jì)算：0g1—lg25)+100-3=.

c、、4_管(l-】og63)2+Qg62-k)g618

⑵計(jì)算：log64----------

【解析】(1)原式=(也2-2—愴52/1001=電(公學(xué)卜10=愴10^2X10=-2X10=-20.

06

1—21og63+(log63)-+log63-log6(6X3)

⑵原式=---------------西L-----------

1-21og63+(log63)2+1—(log63)2

log64

2(1-log63)log66-log6310序2

--

-210g62-log62log62.

規(guī)律方法1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)賽的形

式，使森的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.

2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底

對數(shù)真數(shù)的積、商、霖再運(yùn)算.

3H=N0b=log“N(a>0,且aWl)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意

互化.

考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【例2-1】⑴若函數(shù)。一了(a>0且"W1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y=log“(|x|-1)的

圖象可以是()

(2)當(dāng)x￡(l,2)時，不等式(x-l)2<logM恒成立，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(l.2)

C.(l,2]

【解析】(1)由y(x)在R上是減函數(shù)，知

又y=logo(|x|-1)是偶函數(shù)，定義域是(一8,—1)U(1,+?>).

...當(dāng)x>l時，y=log“(x—1)的圖象由y=log?x向右平移一個單位得到.因此選項(xiàng)D正確.

(2)由題意，易知。>1.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=(x—1)2,犬6(1,2)及y=logd的圖象.

若y=logaX過點(diǎn)(2,1),得log〃2=1,所以67=2.

根據(jù)題意，函數(shù).yulogR,XG(1,2)的圖象恒在y=(x-l)2,%e(l,2)的上方.

結(jié)合圖象，”的取值范圍是(1,2J.

規(guī)律方法1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐

標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【例3—1】已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(2—x),貝ij()

A：/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

8心)在(0,2)上單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

Dj，=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

解析由題意知，Kx)=lnx+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2),_/(x)=ln[x(2-x)]=

ln[-(x-l)2+l],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù);(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞

減，所以排除A,B；又12-x)=ln(2—x)+lnx=/(x),所以./(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

C正確，D錯誤.

答案C

【例3—2】(1)(一題多解)己知”=log2e,b=\n2,c=log；；,貝！Ja,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.h>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

⑵若10go(a2+l)<log〃2a<0,則a的取值范圍是()

A.(0,1)B(0,3)

C.&1JD.(0,1)U(1,+~)

【解析】(1)法一因?yàn)閍=log2e>l,0=ln2G(0,1),c=log||=log23>log2e—a>l,所以

c>a>b.

法二log；；=log23,如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2X,y=lnx的圖象，由圖知c>a>b.

(2)由題意得公>0且aWl,故必有〃+l>2a,

2

又logaS+l)<loga2a<0,所以0<a<1,

同時2a>1,.?.尾.綜上，“G&1).

【例3—3】已知函數(shù)段)=log“(3—ax).

(1)當(dāng)x《[0,2m寸，函數(shù)於)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)./U)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1?如果存

在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.

【解析】(1);”>0且a#L設(shè)*x)=3—or,

則t(x)=3-ax為減函數(shù)，

xe［0,2］時，，(x)的最小值為3—2a,

當(dāng)?。?,2］時,段)恒有意義,

即x￡［0,2］時，3—〃笛>0恒成立.

3

/.3-26f>0.a<2.

又”>0且aWl,的取值范圍是(0,l)u(l,

(2)/(x)=3—or,*.*a>0f

，函數(shù)?x)為減函數(shù).

,.了(x)在區(qū)間［1,2J上為減函數(shù)，為增函數(shù)，

xG［l,2］時，f(x)最小值為3—2a,府)最大值為川)=k>g"(3—a),

f3-2a>0,a<2,

A即<

log(3—a)=1,_3

a1a—菱.

故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)_/(x)在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，并且最大值為1.

規(guī)律方法1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.

2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.

3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

來求解.在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正

的限制條件.

［方法技巧］

1.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律

當(dāng)a>l且">1或0<a<l且0<〃<1時，logqfr>0；

當(dāng)a>l且0<b<\或0<a<l且歷>1時，log滴<0.

2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把

不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.

3.比較幕、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.

4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y=l交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行

判定.

5.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于。的，所以對數(shù)函數(shù)y=k>g?x的定義域應(yīng)為（0,+8）.對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)。與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，要分0<。<1

與a>\兩種情況討論.

aa

6.在運(yùn)算性質(zhì)log?M=alogaM中，要特別注意條件，在無M>Q的條件下應(yīng)為\og（lM=

alog"M（aWN+,且a為偶數(shù)）.

7.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點(diǎn)：（1）務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；（2）注意對數(shù)底

數(shù)的取值范圍.

第05講-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

五'考情分析

m

1.通過對有理數(shù)指數(shù)寡a(bǔ)；（a>0,且aWl；加，〃為整數(shù)，且〃>0）、實(shí)數(shù)指數(shù)霖出（°>0,

且aWl；xdR）含義的認(rèn)識，了解指數(shù)募的拓展過程，掌握指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)；

2.通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；

3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性與特殊點(diǎn).

六'知識梳理

1.根式

（1）概念：式子;仿叫做根式,其中〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

（2）性質(zhì)：（g）"=a（。使缶有意義）；當(dāng)〃為奇數(shù)時，當(dāng)〃為偶數(shù)時，

a,aNO,

=同=,

—。，a<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

（1）規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是。［=亞（。>0,加，〃6N+,且〃>1）；正

m1

數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的意義是相二=」-（a〉0,m,〃GN+,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指

朝

數(shù)暴等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

（2）有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì):arcf=ar+s\（優(yōu)>=貯；（abY=arbr,其中a>0,b>0,

r,s￡Q.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù))=〃(。>0且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的

定義域是R,a是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<<7<1

圖象

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)(0,1),即x=0時，y=l

當(dāng)x>0時，y>l；當(dāng)冗<0時，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)x<0時，Ovyvl當(dāng)x>0時，Ovyv1

在(一8,十8)上是增函數(shù)在(一8,十8)上是減函數(shù)

［微點(diǎn)提醒］

1.畫指數(shù)函數(shù)y=a，(a>0,且aWl)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1,a),(0,1),

J/)?

2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=a、(a〉0且aWl)的圖象越高，底數(shù)越大.

七、經(jīng)典例題

考點(diǎn)一指數(shù)幕的運(yùn)算

［^|J1-1］化簡下列各式：

o乂帚3,^>0).

⑴儂)+2-2(2喬_(0.01產(chǎn)；

(2)-

(哂)4a-b~

4X3-T0=1+6-10=i5-

22

(**/：汽附3)231I11

-------------十一?4-,I4-2一一匕a

(2)原式=j1~a263”33一3

at^a初

【例1?2】化簡下列各式:

I2121

51一-一

(1)[(0.0645產(chǎn)5]3一(2的力2.(—3晨2bI)+(443萬3)2

解⑴原式=1(焉爐卜制T

21

5I-

⑵原式=一獷"3六4加.r3)2

1212

51--5一-

=_?廠初―3汽蘇/<3)=—/一24—3

51_5y[ab

~2'莉?——4ab2,

規(guī)律方法1.指數(shù)賽的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)賽統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)球，以便利

用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)寐相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后

順序.

2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).

3.運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【例2-1］若函數(shù)./U)=|2，-21一b有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

解析(\)y—(a—l)2'—^=a\2x—^—2x,令2'一尹0,得x=-1,

故函數(shù)y=(a-1)2'-5恒過定點(diǎn)(一1,一；)

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2*-2|與y=b的圖象，如圖所示.

...當(dāng)0<*2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，從而函數(shù)八》)=|2，一2|一人有兩個零點(diǎn).

.?2的取值范圍是(0,2).

【例2-2](1)函數(shù)兀v)=/〃的圖象如圖所示，其中a,b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.6Z>1,b<0

h>0

C.0<a<\,b>0

D.O<〃<1,b<0

【例2-3】若曲線|)，|=2,+1與直線y=b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是

解析(1)由./U)=aL"的圖象可以觀察出，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以

函數(shù),/(x)="一"的圖象是在火x)="的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以A0.

(2)畫出曲線僅|=2*+1與直線y=Z?的圖象如圖所示.

由圖象得|.y|=2，+l與直線)，=。沒有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿足的條件是〃丘[-1,I].

考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【例3—1】⑴下列各式比較大小正確的是()

A.1.7Z5>1.73B.0.6-1>0,62

C.O.8-OI>1.2502D.1.7O-3<O.931

?X

Q)—7,x<0,若刎<1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(2)設(shè)函數(shù)兀。=

F，x20,

【解析】（1）A中，?.?函數(shù)y=l7在R上是增函數(shù)，2.5<3,

.,.1.725<1.73,錯誤；

B中，..）二在6在R上是減函數(shù)，一1<2,

0.6'>0.62,正確；

C中，V（0.8）-1=1.25,

.?.問題轉(zhuǎn)化為比較1.25°」與1.2502的大小.

：y=1.25，在R上是增函數(shù)，0.1<0.2,

1.250|<1,250-2,即0.8一錯誤;

D中，V1.703>1,0<0.93'<1,

.?.1.7°-3>0,931,錯誤.

a

⑵當(dāng)?<0時，原不等式化為-7<1,

則2"<8,解之得3—3,所以一3<a<0.

當(dāng)a20時,則如<1,0Wa<l.

綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一3,1）.

答案（1）B（2）（-3,1）

[1503-21（1）已知函數(shù)段）=2疝-叫加為常數(shù)）,若危）在區(qū)間[2,+8）上是增加的,則切

的取值范圍是.

（2）若函數(shù)外）=（；）的值域是（（），I],則於）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【解析】⑴令r=|2x一,〃|,則r=|2x一剛在區(qū)恒+8）上是增加的，在區(qū)間（-8,g

上是減少的.而y=2,在R上是增加的，所以要使函數(shù)_/W=2①f在[2,+8）上是增加的，

則有^W2,即mW4,所以m的取值范圍是（-8,4].

（2）令8（幻=加+2丸+3,

由于7U）的值域是（o，I，

所以g（x）的值域是[2,+8）.

%>0,

因此有<12a—4解得a=l,

-A~.~=2,

這時g(x)=/+2x+3,,/(x)=(；)

由于g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,-1],

所以貝x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,-1].

【例3—3】如果函數(shù)），=0+2濟(jì)-1（〃>0,且aWl）在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則a

的值為.

【解析】令"=f,則丫=0+2/—1=尸+2，-1=。+1）2—2.當(dāng)“>1時，因?yàn)閤G

[―1,1J,所以a,又函數(shù)y=（t+I）2—2在a上單調(diào)遞增，所以ymax=（a+l）2

—2=14,解得。=3（負(fù)值舍去）.當(dāng)0<°<1時，因?yàn)閤d[—1,I],所以fGa,又函數(shù)y

2

=?+1）2—2在a,（上單調(diào)遞增，則ymax=（5+l）—2=14,解得a=g（負(fù)值舍去）.綜上，a

2T1

=3或a=y

答案3或g

規(guī)律方法1.比較指數(shù)式的大小的方法是：（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)賽，

再利用單調(diào)性比較大?。唬?）不能化成同底數(shù)的，一般引入力”等中間量比較大小.

2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、

單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等

問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)?shù)讛?shù)a與'T'的大小關(guān)系不確定時,

要分類討論.

[方法技巧]

1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)賽的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)賽與根式可以互化，通常利用分

數(shù)指數(shù)凝進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算.

2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x=l得到底數(shù)的值再進(jìn)

行比較.

3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)。的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)

分0<〃<1和4>1兩種情況分類討論.

4.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，

并且一定要注意函數(shù)的定義域.

5.對可化為a2x+b-ax+c=Q或必+萬a'+c20(W0)形式的方程或不等式，常借助

換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.

第06講一幕函數(shù)與二次函數(shù)

八'考情分析

1.通過具體實(shí)例，結(jié)合y=x,y=y=f,y=y[x,丁=9的圖象，理解它們的

變化規(guī)律，了解嘉函數(shù)；

2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡

單問題.

九'知識梳理

1.幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，形如丫=犬的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中x是自變量，a為常數(shù).

⑵常見的5種事函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a〉0時，基函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時，基函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

⑴二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：心)=加+尿+。(。工0).

頂點(diǎn)式：/x)=a(x—m)2+n(a^0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(加，”).

零點(diǎn)式：.*x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),x\,X2為/(x)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)