1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算（教學(xué)課件）高二數(shù)學(xué)考試滿分全備考（人教A版2019選修一）

人教A版2019高二數(shù)學(xué)（選修一）第一章空間向量與立體幾何空間向量及其線性運(yùn)算目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念．(難點(diǎn))2.掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘等線性運(yùn)算．(重點(diǎn))3.掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))情景導(dǎo)入

這是一個(gè)做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會(huì)受到來自不同方向、大小各異的力.顯然這些力不在同一個(gè)平面內(nèi).這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.1、定義：平面內(nèi)既有大小又有方向的量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量ABCD2、表示法：復(fù)習(xí)回顧向量加法的三角形法則ab向量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的數(shù)乘a首尾相接,首尾連共起點(diǎn),對(duì)角線共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減向量加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：復(fù)習(xí)回顧（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。復(fù)習(xí)回顧

已知F1=10N,F2=15N，F(xiàn)3=15N，這三個(gè)力兩兩之間的夾角都為90度，它們的合力的大小為多少N？F3F1F2這需要進(jìn)一步來認(rèn)識(shí)空間中的向量起點(diǎn)終點(diǎn)

定義：既有大小又有方向的量。表示幾何表示法：有向線段符號(hào)表示法：長(zhǎng)度（模）

平面向量是什么？如何表示平面向量？你能類比平面向量和表示給出空間向量的概念和空間向量的表示嗎？向量的大小，記作1.空間向量的有關(guān)概念新知探究平面向量空間向量零向量：?jiǎn)挝幌蛄浚合喾聪蛄浚合嗟认蛄浚汗簿€向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作:模為1的向量

概念歸納平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算法則嗎？思考

空間兩條直線可能存在怎樣位置關(guān)系？ababOAB任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩向量(多選題)下列說法正確的是(

)A.若向量a與b的方向相反,則稱向量a與b為相反向量B.零向量沒有方向C.若a是單位向量,則|a|=1D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則一定有m=p解析

單位向量是指模等于1的向量,所以若a是單位向量,則必有|a|=1,即選項(xiàng)C正確;由向量相等的定義,知m與p方向相同,模相等,故一定有m=p,選項(xiàng)D正確.答案

CD練一練

(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算.(2)空間向量加法交換律a＋b＝______空間向量加法結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)b＋a2.空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律新知探究(1)實(shí)數(shù)與向量的積與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝____.②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律①λ(μa)＝______；

②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).相反|λ||a|(λμ)aλa＋λbλ1a＋λ2a空間向量的數(shù)乘運(yùn)算概念歸納平面向量運(yùn)算律空間向量交換律：結(jié)合律分配律

由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算.概念歸納O●ABC推廣：O●ABCABCDA1B1C1D1GM探究：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.(如圖)探究：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.(如圖)

始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量ABCDA1B1C1D1如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.練一練問題1

平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？提示對(duì)任意兩個(gè)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.3.共線向量新知探究1.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使

.2.如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，可知

＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.a＝λb方向向量歸納總結(jié)

平行(共線)向量平行或重合a＝λb方向向量歸納總結(jié)注意點(diǎn)：(1)直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定.(2)向量a，b共線時(shí)，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上.典例剖析解方法一

∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，典例剖析方法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，典例剖析1.滿足下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是(

)答案

CC練一練2.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a,b,2a-b,它們一定是(

)A.共面向量 B.共線向量C.不共面向量 D.既不共線也不共面的向量解析

因?yàn)?a-b=2·a+(-1)·b,所以2a-b與a,b共面.3.判斷(1)若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.(

)(3)若a∥b,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(

)A×××練一練向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).(2)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，歸納總結(jié)問題2

空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？

不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面.4.共面向量新知探究1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段

所在的直線OA_______

或

，那么稱向量a平行于平面α.2.共面向量平行于平面α定義平行于同一個(gè)

的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使

__________在平面α內(nèi)平面唯一p＝xa＋yb歸納總結(jié)問題3對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p＝xa＋yb提示向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.唯一p＝xa＋yb歸納總結(jié)OABCDEFGH思路探究：欲證四點(diǎn)共面，只需證明共面.而由已知

共面，可以利用向量運(yùn)算由共面的表達(dá)式推得

共面的表達(dá)式.

例：如圖，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線

，在四條射線上分別取點(diǎn),使

.

求證：四點(diǎn)共面.

考點(diǎn)：空間中四點(diǎn)共面的判定.課本例題OABCDEFGH是平行四邊形由向量共面的充要條件可知，共面,又過同一點(diǎn),從而四點(diǎn)共面.證明：.例2.(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是（）BC典例剖析解決向量共面的策略歸納總結(jié)選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系,是用向量解決立體幾何問題的常用方法.若向量a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則(

)A．m，n，p共線 B．m與p共線C．n與p共線 D．m，n，p共面【答案】D練一練1.“兩個(gè)非零空間向量的模相等”是“兩個(gè)空間向量相等”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析

兩個(gè)向量相等是指兩個(gè)向量的模相等并且方向相同,因此“兩個(gè)非零向量的模相等”是“兩個(gè)向量相等”的必要不充分條件.答案

B隨堂練2.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,與向量

相等的向量共有(

)A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)答案

C隨堂練答案

B隨堂練4.如圖所示,已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點(diǎn),且PM∶MC=2∶1,N為PD中點(diǎn),求滿足隨堂練隨堂練1.舉出一些表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量的實(shí)例.解：答案不唯一.例如三棱錐V-ABC中，向量VA、向量VB、向量VC表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量.2.如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的棱AB，CD的中點(diǎn).化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果：

課本練習(xí)

課本練習(xí)課本練習(xí)

4，