九年級數(shù)學《圓壓軸題》考點新題【解析版】

考點06圓壓軸題匯總

一、單選題（共14小題）

1.（2020?槐蔭區(qū)一模）如圖，。。的半徑是5,點A是圓周上一定點，點6在。。上運動,且/4向右30°,AC1.

BM,垂足為點C,連接OC,則（心的最小值是（）

c-V

【解答】解:如圖，設BM交60于T、連接OT,（M,過點。作OHLAT于〃連接CH.

?.?/片30°,

???/加=60°,

?/OT=OAi

.**/\OTA是等邊三角形，

/.OT=OA=A7'=5t

?：OH1AT,

...T4AHVoA2-AH2=^52-(-1)2

■:ACLBM、

；?N力67=90°,

CH=^,

'：OC^OH-,

22

.??宛的最小值為=殳巨Y.

22

故選:〃.

【知識點】圓周角定理

2.（2020?江北區(qū)模擬）如圖,RtZVO中，/C=90°,然=6,%=8,半徑為1的。。與陽比相切，當。〃沿邊

⑦平移至與16相切時，則。。平移的距離為（）

【解答】解：?.?口△"?中，NQ90°,AC=6,BC=8,

."6=10,

設。。與/C相切于D,與6c相切于H,平移后的。。'與4?相切于F,與歐相切于￡

連接OH,O'D,則點。在0'。上,連接O'F,EO'并延長交的于G,

...四邊形CDOH是正方形,四邊形OHEO'是矩形，

：.OHH=O'E=O'F=CgC4\，OO'=HE,

：.EGLBC,

VZC=90o,

：.EG//AC,

：.4FGE=ZA,

■:NGFO'=/八=90°,

.?.△O'FG^^BCA,

.oyF_0;G

"BC"AB'

.l_0;G

■■-g--io-'

O'G=—,

4

9

：.EG^—,

4

'：GE//AC,

:.△BGEs[\BAC,

,?而一記

9,

.BE_E

,,8—T

:.BE=3,

：.00'=HE=BC-CH-BE=8-1-3=4,

平移的距離為4,

故選:B.

【知識點】切線的性質、平移的性質

3.（2020?武漢模擬）在。。中內(nèi)接四邊形ABCD,其中4C為定點，然=8,8在。。上運動,BDLAC,過。作AD

的垂線,若。。的直徑為10,則在的最大值接近于（）

C.4D.5

【解答】解:如圖，當點8與力重合時,連接CD.

?:BDIAC,

加。=90°,

工切是直徑，

?.,OELAD、

:?AE=ED,

?：OC=OD,

OE=—/1C=4,

2

此時您的值最大,最大值為4

???〃的最大值為4,

故選:C.

【知識點】三角形中位線定理、垂徑定理、圓周角定理

4.（2020?浙江自主招生）如圖，已知。。的半徑為104、6是。。上的兩點，/4m=90°，。是射線仍上一個

動點，連結〃1并延長交③。于點〃，過點〃作加工如交必的延長線于點發(fā)當N4從30°增大到60°

時，弦在圓內(nèi)掃過的面積是（）

C.^--1673D.-2W

OO竿

【解答】解:過點〃作的垂線，交的延長線于反

當/4=30°時，/戊/=60°,加'=〃Z>sin60°=10XY1=5?,

2

S—=120匚I。？—乂與海加二粵"-25?,

36023

當N4=60°時，

過點〃作〃人處于尸，連接M,

Z.DOP=60°尸=5?,

S弓彩/=颯：：102__4><10><5匾=苧“-25次，

36023

.?.5=日紇-23M一段-25相）=苧口.

故選:B.

【知識點】圓心角、弧、弦的關系、圓周角定理

5.（2020?岳麓區(qū)校級模擬）如圖,△/比1是等腰直角三角形,4—比三2,以斜邊四上的點〃為圓心的圓分別

與AC.6。相切于點E、F,與分別相交于點G、〃且掰的延長線與⑦的延長線交于點D,則切的長

為（）

A.2V2-1B.2V2C.V2+1D.2V2-y

【解答】解:如右圖所示，連接比、OF,

與〃；6。切于點反F,

：./0EC=/0FC=9Q：0E=0F,

又?.?△/以、是等腰直角三角形，

.?.NC=90°,

二四邊形6W是正方形，

J.OE//BC,

又,:以斜邊4?上的點。為圓心的圓分別與AC,比1相切于點E、￡OE=OF,

，。在的角平分線上，

'：AC=BC,

，。是中點，

:.AE=CE、

又；脩=2,

AAE=CE=\y

：.OE=OF=CE=\,

%：0E//CD.

:.△OEMABDH,

.OE_DB

??麗而

又.:叫小"=2瓜

：.0B=?

.1_DB

丁萬F

：.BD=42-1.

:.CQ2+BD=M+L

故選:C.

【知識點】等腰宜角三角形、切線的性質

6.(2020?阜新)如圖,在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點、。順時針旋轉，個45°,得

到正六邊形則正六邊形OAM/￡(/=2020)的頂點。的坐標是()

A.(1,-V3)B.(1,73)C.(1,-2)D.(2,1)

【解答】解：山題意旋轉8次應該循環(huán)，

:2020+8=252…4,

的坐標與G的坐標相同，

1,加)，點C與a關于原點對稱，

?,.^(1,-V3)._

二頂點?的坐標是(1,-?),

故選:

【知識點】坐標與圖形變化-旋轉、正多邊形和圓

7.(2020秋?北硝區(qū)校級月考)如圖,四是。。的直徑,5為?0的弦，且制，四于點E,點尸為圓上一點，若

但甌益奇,龐'=1,則比的長為()

C.4D.5

【解答】解:如圖,連接OC交"于J,設BC交"于T,過點T作T/LLAB于H.

ABLCD,

/.AD=AC.

AD=CF,

???AC=CF,

J0C1.AF,

:?/AJ0=/CE0=9￥,

、：4A0J=/C0E、OA=OCt

???△/."△CF0(A4S,

：.OJ=OEt

:?AE=C工

*8是直徑，

???Nb=N5=90°,

?:AE=BF,

:?BF=CJ,

'：/CT尸/BTF,

:?l\CTaXBTF〈AAS)、

:.CT=BT,

???TH工AB、CDLAB,

：.TH//CE,

???CF=AC,

：?4TBF=/TBH、

■:/F=/THB=90°,BT=BT,

J./XBTF^j\BTH{AAS),

:.BF=BH、

■:AE=BR

:?AE=BH,

°：OA=OB、

：.OE=OH=\,

:.EH=BH=2,

:,AE=BH=2,

AB=6,0C=0B=3,

￡C=IOC2-OE2=132一］2=2M,

5C，=22

；?VEC+BE=q(2加)2+42=2加,

故選:4

【知識點】圓心角、弧、弦的關系、勾股定理、垂徑定理

8.（2020秋?無錫期中）如圖為半圓。的直徑,,也。是半圓上的三等分點,加=8,切與半圓。相切于點

8.點。為“上一動點（不與點4M重合），直線房交物于點D,BELOC干懸E,延長BE交"于點F,則

-—'A

下列結論正確的是:①如=股②BC的長為合口；③/如《=45°;④當一為AM中點時，&三）;⑤/力方=

0

ACBP.其中正確的個數(shù)為（）

C.3D.2

【解答】解:①連接AC,并延長AC,與劭的延長線交于點H,如圖，

V.MC是半圓上的三等分點，

物"=30°,

?.?班與半圓。相切于點B.

:./ABg9Q°,

：.Z//=60°,

?：4ACHNABP,4ACP=乙DCH,

：.4PDB=N小2DCI!=2AB盤60°,

,:/必》=90°-NABP,

若NPDB=NPBD,則NAB拼60。=90°-ZABP,

：.ZASP=15°,

.?/點為諭的中點,這與一為菽上的一動點不完全吻合,

4PDB不一定等于4ABD,

.?.如不一定等于PD,

故①錯誤；

②;MC是半圓上的三等分點,

/.Z^=—X1800=60°,

3

??,直徑4?=8,

：.OB=OC=*

，?長度:窄符”

故②正確；

③???N8%=60°,OB=OCt

：.ZABC=60°,OB=OC=B&

，：BE工OC、

：?/OBE=/CBE=3T,

TN4犯=90°,

???/順=60°,

故③錯誤；

④AF=PM,

：.ZABP=15°,

■:/ABD=9GDBE=60°,

：.ZPBF=15°,

???/蘇￡=30°,

：./CFE=2FPb^/FBP=討，

■:/FEC=90°,

:?4EFC=/ECF=W,

???座=防故④正確，

⑤Y2CBF=4CPBS/DFB=/FBK/BPF,/CBP=/FBK/CBF,

???4DFB=4CBP,故⑤正確，

故選:C.

H

【知識點】垂徑定理、勾股定理、弧長的計算、圓周角定理、切線的性質

9.（2020秋?交城縣期中）如圖，四是。。的直徑,四=然且N%C=45°,。0交成于點〃交立于點上小

與。。相切，如與篦相交于點"下列結論錯誤的是（）

A.BD=CDB.四邊形龍EF為矩形

C.AE=2DED.BC=2CE

【解答】解:如圖，連接以

???/仍是。。的直徑,

:"DLBC,

?;AB=AC,

：.BD=CD,

故力正確；

???〃與。。相切，

JODLDF,

??,四是。。的直徑，

???/力席=90°,

■:AO=BO、BD=CD、

：.OD//AC.

：?NEHD=90°,

???四邊形/力次為矩形,

故6正確；

,.Z〃是。。的直徑,

：.ZAEB=90°,

TN班。=45°,

：.ZABE=45°,

：.AE=BEf

?：/BAD=/CAD,

***AE=BE,

VBD=DE,

???AE—2DE,

故「正確；

9

：ZBAC=45°tAB=ACt

:"ABC=/ACB=61.5°,

即N6CF=67.5°,

???Nfi?C=22.5°,

EC1

AsinZ￡ffC=sin22.5°=—^—.

BC2

:?BC*1CE,

故〃錯誤.

故選:〃.

【知識點】垂徑定理、圓周角定理、矩形的判定、切線的性質

10.（2020?武昌區(qū)模擬）如圖，比是。。的直徑，麴切。。于點B,AB=BC=8,點、D在。0上,DELAD交BC千

七%'=3笫則49的長是（）

DC

zW

AB

A?智B?誓,?而D.3V10

【解答】解:連接力￡、BD、DC、

??,柏與。。相切于點用

???/月40=90°,

'：BC=R、BE=3CE,

工CE=2,BE=3,

?；熊=8,

???由勾股定理得:〃=.2+&2=10,

??,)%是直徑，

???/劭。=90°,

TN力龐=90°,

:./ABD=/CDE,

■:/AB/A/DBC=9G°，/DCE+/DBC=90：

：.ZABD=ADCEy

，△旌s△加氏

.DECEZ±

??而一=而=一@=_W，

:?AD=4DE,

在RT/XADE中,Al?=A行+呢,

：.6=也況)、泥,

:?DE=

17

...”空叵

17

故選:兒

【知識點】切線的性質

11.（2020秋?泗陽縣期末）如圖，在△加C中，//及=90°,/8=8,點一是邊上的一個動點，以外為直徑

的圓交次于點。，若線段40長度的最小值是4,則△4比'的面積為（）

C.40D.48

【解答】解：如圖，取旗的中點7；連接力AQT.

:即是。。的直徑，

:.NPQB=4CQB=9Q：

二07=毋底定值，”是定值，

"：AQ^AT-TQ,

當A,?！ü簿€時,四的值最小，設BT=TQ=x,

在RtA467中，則有（4+X）2=V+8；

解得x=6,

."C=2x=12,

，必性=[""夕。=2*8X12=48,

22

故選:〃.

【知識點】圓周角定理、勾股定理

12.（2020秋?蕭山區(qū)期末）如圖，在。。中，直徑或垂直弦4?于點￡且鶴=朦.點尸為標上一點（點?不與

點B,C重合），連結AP,BP,CP,AC,BC.過點。作CFLBP于點F.給出下列結論:①△/回■是等邊三角

形;②在點P從小。的運動過程中,丁冬丁的值始終等于返.則下列說法正確的是（）

AP-BP2

A.①,②都對B.①對，②錯C.①錯，②對D.①,②都錯

【解答】解：如圖，作。歸_/于M,連接AD,

■:AELOD、OE=DE,

:?AO=AD,

?：OA=OD、

：.AO=AD=OD,

???△力切是等邊三角形，

：.ZD=ZABC=60°,

???CDVAB,

:?AE=EB,

：.CA=CB,

???△/笈是等邊三角形,故①正確，

■:/CPA=NABC=6T,ZAPB=ZACB=60°,

：.ZCPF=180°-60°-60°=60°,

.：/CPM=/CPF=6C,CF，PF,CM1PA,

:.CF=CM、

?：PC=PC、ACFP=ACMP,

：.RSCP恒RSCPM(HD,

：.PF=PM,

■:AC=BC、CM=CF、/AMC=/CFB=9N、

：.RSAMgRSBFCUID,

:?AM=BF,

：.AP-PB=PWAM-(BF-PF)=2PM=2PF,

.PF_1

■?*PB~2，

在RtZ\C7F中，/納=60°,

：.CF=PF-tar\GOa=\[2PF,

.?.卯=返笫

3

CF,V3

，故②正確,

PA-PB2

故選:4

【知識點】垂徑定理、等邊三角形的判定與性質

13.（2020?溫州模擬）如圖,/\ABC,AC=2>,BC=4M，NACB=60°,過點A作比'的平行線1,尸為直線1上一

動點:,。。為△加仁的外接圓,直線BP交。0于-￡?點,則/￡1的最小值為（）

A.V3-IB.7-473C.73D.1

【解答】解:如圖,連接區(qū)

'：AP//BC,

：.ZPAC=ZACB=60°,

:.NCEP=NCA160°,

:.NBEC=\2Q°,

點《在以0為圓心，。8為半徑的前上運動，

連接04交流手少，此時4〃的值最小.此時。。與。。交點為少.

,:NB￡<7=120°

所對圓周角為60°,

AZ2707=2X60°=120°,

?:XBO'C是等腰三角形,8。=4退，

0'B=0'C=4,

■:/力360°,ABC0=30°,

NACO=90°

*'?0A=ylQfC2+AC2=A/42+32=5,

：.AE'=0A-0E'=5-4=1.

故選：〃.

【知識點】勾股定理、三角形的外接圓與外心

14.（2020?吳興區(qū)校級一模）如圖，比■內(nèi)切圓是。a折疊矩形/比?，使點心。重合，房是折痕,點尸在49

上,G在ABCE連結OG,DG,若0G垂直DG,且。。的半徑為1,則下列結論不成立的是（）

A.CMDF=4B.CD-DF=2y/3-3C.B創(chuàng)AB=2心4D.BC-AB=2

【解答】解:如圖,

設。。與利的切點為M,連接欣7并延長，加交力〃于點N,

???將矩形4?勿按如圖所示的方式折疊，使點〃與點。重合,折痕為FG,

：.OG=DG,

?：OG1DG,

：.NMG》/DGC=9Q°,

,:NM（X"MGO=90°,

NMOG=ADGC,

，Z0MG=ZDCG=90°

在△〃如和△仇力中，，ZM0G=ZDGC,

0G=DG

：./\OMG^/\GCD,

：.OM=GC=\、CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

?:AB=CD,

：.BC-AB=2.

設AB=ayBC=b、AC=c,。。的半徑為r,

。。是RtZX/SC的內(nèi)切圓可得■（>6-c）,

c=外b-2.

在RtZU8C中，由勾股定理可得a+Z>2=3b-2）；

整理得2a6-4a-4出4=0,

又?：BC-AB=2即8=2+a,代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得a=l+?或a=l-遮（不合題意舍去），

：.BC+AB=243^.

再設DF=x,在RtAflW'41,/23+J5,OF=x,&V=l+A/5,

由勾股定理可得（2+遂-力2+（加）2=尤

解得x-4-V3>

：.CD-DF=M，C步DF=M.

綜上只有選項力錯誤，

故選:4

【知識點】圓周角定理、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、翻折變換（折疊問題）、矩形的性質

二、填空題（共10小題）

15.（2020秋?寶應縣期中）如圖，直線/與。。相切于點Q點P是。。上的一個動點，設Sx,點尸到直線1

的距離為y.若。。的半徑為2,設S=x-y,則S的最大值是.

【解答】解:如圖,作直徑QC,連接CP,

：.ZCPQ=90a,

:仍是切線，

J.CQLQB,

■:PB11,

,?QC〃PB、

"CQP/QPB,

?△QPCSXPBQ,

.QP_PB

?而一而’

；PQ=x,PB=y,0Q=2、

??豳=4,

4x

.".x-y=x--/=--x+x---(x-2)J+l,

444

當x=2時,x-y有最大值是1,

故答案為：L

【知識點】切線的性質

16.(2020秋?高新區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中，已知C(6,8),以點C為圓心的圓與y軸相切.點從B

在x軸上,且曲=加點/為。。上的動點，NAPB=90；則48長度的最大值為.

【解答】解:連接冗并延長，交。C上一點2以〃為圓心，以“為半徑作?！敖粁軸于4旦此時48的長

度最大，

?1(6,8),

.?.6f=.2+82=10,

以點C為圓心的圓與y軸相切.

.?.◎C的半徑為6,

：.OP=OA=OB=16,

是直徑，

二/4%=90°,

.?.46長度的最大值為32,

故答案為32.

【知識點】切線的性質、圓周角定理、坐標與圖形性質

17.(2020秋?東?？h期中)如圖，在Rt△/比1中，/〃》=90°,芯=8,點〃在利上，且32,點一是線段AC

上一個動點，以外為直徑作。。，點。為直徑加上方半圓的中點,連接AQ,則10的最小值為.

【解答】解:如圖,連接傲CQ,過點力作"交函的延長線于T.

VPQ=DQ,

：.OQLPD,

a力=90°,

：.AQCD=—AQOD=^°,

2

；ND=9O°,

AZACT=45°,

'：ATVCT,

二/力8=90°,

,.3C=8,

.?."=/Osin45。=4721

?JAQ^AT,

???40的最小值為472,

故答案為d、歷.

【知識點】圓周角定理、三角形中位線定理、垂線段最短

18.（2020秋?北硝區(qū)校級月考）如圖,扇形力如的圓心角是90°,半徑為4c勿,分別以力、仍為直徑畫圓，則

圖中陰影部分的面積為.

B

【解答】解:如圖,連接AB,0C,過點。作CD1防,CE10A,

\'OB=OA,ZAOB=90°,

，△力仍是等腰直角三角形，

,/0A是直徑，

：.ZACO=90°,

???△//是等腰直角三角形，

■:CELOA、

：.OE=AE、OC=ACt

：.RSOC恒RSACElHD,

Sis?aar=Sa?M'C,

...而與弦勿圍成的弓形的面積等于立與弦/C所圍成的弓形面積，

同理可得,血與弦5圍成的弓形的面積等于最與弦比所圍成的弓形面積,

.*?Sm—X4X4=8(cm).

2

故答案為8ct2.

【知識點】扇形面積的計算

19.(2020?陜西模擬)在等邊三角形/8C中，D,6分別是AC,及7上的點,AE與劭相交于點P.若△及力的面積

是12?,屬=6,/加力=120。，則△/跖的外接圓的半徑長為.

D

【解答】解:如圖以48為邊向外作等邊三角形力玳作△/歙的外接圓。a連接見加，過點〃作收L/4于

J,過點8作用LLAC于//.

???△/?是等邊三角形，

???N4=60°,

9：ZAPB=120°,

工/肚//加=180。,

???444/四點共圓,

???△//是等邊三角形，

：.AB=AC^BCtZBAC=ZC=60°,

TN4%=120°,

:?/PA&r/ABP=/PA步NCAE=6C,

:"CAE=/ABD,

:ABA噲AACElASA),

：.AD=EC,

?：AC=B&

.\BE=CD=6f

SAM產(chǎn)意cmBH=\20

:，BH=Ag

sin600

VOA=OB、OJLAB,

:?A尸JB=4,

???Nfl4Q300,

/.OA=―2_=竺^1

cos303

XAPB的外接圓的半徑為色巨.

3

故答案為2返.

3

【知識點】全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、三角形的外接圓與外心

20.(2020?鄂州)如圖，半徑為2物的。。與邊長為2金的正方形/物的邊48相切于E,點尸為正方形的中

心，直線應'過產(chǎn)點.當正方形沿直線用以每秒(2-73)c0的速度向左運動秒時，。。與正方

【解答】解:如圖1中，當點4占落在。。上時，由題意,如是等邊三角形,。。與正方形重疊部分的面積

此時,運動時間t=(2-?)+(2-?)=1(秒)

如圖2中，當點C,〃落在00上時，由題意,是等邊三角形,。。與正方形重疊部分的面積

圖2

此時，運動時間t=[4+2-(2-]+(2-=(11+6>/§)(秒)，

綜上所述，滿足條件的。的值為1秒或(11+6石)秒.

故答案為1或(11+6?).

【知識點】正方形的性質、扇形面積的計算、切線的性質

21.(2020?寧波模擬)如圖,正五邊形M如必內(nèi)接于半徑為4的圓。，作“U8C交。。于點￡連結物，總則

用?處的值為.

D

【解答】解:連接OA,0B,加交加'于J.

D

：0F1BC,

：.BF=CF,

；五邊形4ECDE是正五邊形,

：.ZAOB=72°，/W=36°,

：.ZAOF=IO80,

'：OA=OF,

：./OAF=/OFA=/FOJ=36°,

二OJ=JF,

'：AO=AJ,OB=OF,/OAJ=4F0B,

：./\AOJ^/\OFB（.SAS）,

:,OJ=BR

'：ZOFJ=AAFO,AFOJ=ZOAF,

△做7s△川。

.FO=FJ

“FAOF'

：.OFl=FJ*FA,

'：FJ=O尸F(xiàn)B,

:.FA?FB=O戶=16.

故答案為16.

【知識點】垂徑定理、勾股定理、正多邊形和圓、圓周角定理

22.（2020?涪城區(qū)模擬）如圖,在平面直角坐標系MK中，與y軸相切的?！ㄅcx軸交于A.8兩點作為?"

直徑,W=10,48=6,連結BC,點尸為劣弧能上點，點0為線段/E上點,且MP1MQ,MP與比交于點N.則

當/陽平分乙歷歷時，點尸坐標是.

【解答】解:設。."與y軸相切于E,

連接￡切并延長交BC于H,過〃作軸于F,延長FP交EH于D,

?.3,為。.，直徑，

J.BCLAB,

?.3C=10,48=6,

：.BC=8,

?.?。歷與y軸相切，

軸，

.?.四邊形謝■是矩形，

0E=BH=DF,ED=OF,ED//OF,

"：A,CM,

:.MH*AB=3,J3H=DF=4,

■:MPLMQ,NQ平分ZMNB'

:.MN=BN,

設MN=BN=x,

:.NH=4-x,

■:MI*限=吸,

.?.?=32+(4-x))

解得:x=爭，

o

25

：.MN=BN=-

8y

7

J.HN=-y

o

U：HN//PD,

二△MHMAMDP、

.MH_HNJN

"MD"PDT'

7_25_

.2=瓦=亙

"MDPD5'

247

：.MD=-yPD=—.

55

4913

：.DE=E^hlD=—,PF=DF-PD=—,

【知識點】切線的性質、圓周角定理、坐標與圖形性質、垂徑定理

23.（2020?浙江自主招生）如圖所示,%'兩直角邊的邊長為AC=1,BC=2.?是這個1上和其內(nèi)

部的動點，以點〃為圓心的。尸與雙△心右的兩條邊相切.則的面積S的最大值為一.

【解答】解:①當與Rt△四C的邊和歐相切時，由角平分線的性質可知,動點尸是N/%的平分線BM

在N/6C的平分線序/上任意確定點4（不為N48C的頂點）

?：OX=BOs\nZ.ABM,P、Z=BNn/ABM,當班＞8。時，外2＞〃乃即P與8的距離越大，的面積

越大,這時,BMH〃'的交點。是符合題意的、明長度最大的點；

,//照＞90°,過點夕作PHLAB,垂足為E,則￡在邊ABL,

/.以P為圓心、27為半徑作圓，則?！ㄅc龍相切于C,與邊相切于￡即這時?！ㄊ欠项}意

的圓,這時。。的面積就是S的最大值，

：然=],BC=2,：.A片娓,

設PC=x,貝ijPA=AC-PC=\-x,

在Rt△仍?中，P#=PE+AF,

.-.(1-x)2=A(V5-2);

：.x=2娓~4;

同理可得：當。尸與的邊49和4c相切時，設PC=y,則（2-"）?=/+（旄-I）2,

?,—V5-1.

??y-------，

2

③如圖4,圖4

同理可得，當。"與Rta4?C的邊外和4c相切時，設PF=z,

'：△仍MAPBE,二PF-.BE=AF-.PE,

?z1-z

?-=---'

2-zz

._2

??z,

3

由①、②、③可知,>|>近二L>2旄-4,

S2

?*.z>y>x、

：■。尸的面積S的最大值為卷n

故答案為:2n.

9

【知識點】切線的性質

24.（2020?鐵東區(qū)一模）如圖，用、如切。。于/、8兩點，連接。交于點G交弧山?于點〃//加=

70°,點0為優(yōu)弧/如上一點，。。〃陽則的大小為.

【解答】解:如圖，連接0A.

：刃,如是。。的切線，

：.ZOJPS=,PAVOA,

.../CMA90°,

.?./尸勿=90°-35°=55°,

'：OQ//PB,

：./POQ=\8G-NOPB=145；

.."制=360°-145°-55°=160°,

'：OQ=OA,

，NO3=/小g工（180°-N力砌=10°,

2

故答案為10°.

【知識點】切線的性質、圓周角定理

三、解答題（共6小題）

25.（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖,△/明內(nèi)接于?！比允?。。的直徑,〃=6,CB=8,

位平分/交。。于E,交加于點D,過點￡l作就V〃/6分別交。、口?延長線于必N.

（1）補全圖形,并證明WV是。。的切線.

⑵分別求,瞅切的長.

c

【解答】證明：⑴補全圖形如圖所示，連接應；

???兒?是。。的直徑，

AZ/f07=90°,

又YCE平分4ACB,

：.ZAC￡=ZBCE=—ZACB=45Q,

2

：.ZAOE=2ZACE=90°,

J0E工AB,

又YMN〃AB,

：.0E1MN,

???腑是?！ǖ那芯€；

(2)過點。作CQ1MN,垂足為Q,交AB于點P、則CQLAB,

在RtA48C中，

,.?HC=6,歐=8,

***/45=VAC2+BC2=V62+82=10

：、0E=PQ=0A=0B=3,

山三角形的面積公式得,A^OBC=^AB^CPy

???6X8=10〃

：.CP=4,8,

：.CQ=\,8+5=9.8,

?:AB"MN、

:ACABs2CMN,

?嚼謠嚅春

12

連接BE,則BE=AE,在RtZ\4?￡中,

AE=BE=^^-XAB=5A/2>

2

是。。的切線，

4BEN=4BCE=/ACE,

?.3儂是。。的內(nèi)接四邊形，

：./EBN=/CAB,

，XAECsXBNE、

?AC_AE

''BEBN'

25

av--,

3

NACE=Z.ECN,ZCAE=4CEN、

：./\CAE^/\CEN,

.CA=CE[l1]_6__CE

*'CE^CN'CE^&925，

解得,CE=7近,

又〈4ACA匕ECB,4CAD-ZCEB,

：./\ACD^/\ECB,

?CA_CD[jn6_CD

?①一函、7V2一"寸

解得,g絲巨，

7

【知識點】三角形的外接圓與外心、圓周角定理、切線的判定與性質

26.（2020秋?臺安縣期中）如圖，四邊形極力內(nèi)接于。對角線加是。。的直徑,AC平■分乙BAD,過點C作

華〃切交/〃的延長線于點G.

⑴求證：CG是。。的切線;

⑵若18=3,4=5,求a'的長.

B

C

【解答】證明：(i)如圖，連接oc

?.?故是。。的直徑，

：.ZBAD=90°,

又,：AC平■分ZBAD,

：.ZSAC=ZDAC^—ZBAD^45°,

2

:.NBOC=2NDAC=90；

：.OCLBD,

又‘：CG"BD,

J.OCVCG,

1是?！ǖ那芯€；

(2)..?即是。。的直徑，

，/BAg/Bgg。。,

又,：AC平■分乙BAD,

:./BAC=2DAC,

：.BC=CD,

在Rt△/被中，加而壽=疹幣=病

在Rl△閱9中，加=折返雙H返

22

???CG是。〃的切線；

???ADCG=NDAC=ABAC,AACG=/ABC,

又＜4CDG=/ABC,

:.△ABCsXCDG、

.嶇=里即3=行

"CDDG''717~K~'

17

3

由陽/胡C=N%C可得△/%sz\/cc,

.AB_AC叩3AC