新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)二十一函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用新人教A版選擇性必修第二冊

課時作業(yè)(二十一)函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用練基礎(chǔ)1.[2024·山東濱州高二期末]已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋7.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，3]上的最大值和最小值；(2)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的個數(shù)．2．[2024·福建漳州三中高二期末]已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋a.(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若x≥1時，f(x)≥0，求a的取值范圍．提實力3.[2024·山東德州高二期末]高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利，促進了區(qū)域經(jīng)濟和社會發(fā)展．已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時間間隔t(單位：分鐘)滿意2≤t≤20，t∈N*.經(jīng)測算，高鐵的載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)：當(dāng)10≤t≤20時，高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1200人；當(dāng)2≤t<10時，載客量會在滿載基礎(chǔ)上削減，削減的人數(shù)與(10－t)2成正比，且發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為950人．記發(fā)車間隔為t分鐘時，高鐵載客量為P(t).(1)求P(t)的表達式；(2)若該線路發(fā)車時間間隔為t分鐘時的凈收益Q(t)＝eq\f(t,5)P(t)－40t2＋660t－2048元，當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益eq\f(Q（t）,t)最大？最大為多少？培優(yōu)生4.[2024·河北唐山高二期中]已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx(a∈R).(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)探討函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．課時作業(yè)(二十一)函數(shù)極值與最值的綜合應(yīng)用1．解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，x－2(－2，0)0(0，2)2(2，3)3f′(x)＋－＋f(x)f(－2)＝－33f(0)＝7f(2)＝－1f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33.(2)x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)f(0)＝7f(2)＝－1當(dāng)a＜－1或a＞7時，方程有一個根；當(dāng)a＝－1或7時，方程有兩個根；當(dāng)－1＜a＜7時，方程有三個根．2．解析：(1)由題可知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a＝1時，f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx，由f′(x)<0得f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，由f′(x)>0得f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在x＝1處取得微小值f(1)＝0，無極大值．(2)由題可知，當(dāng)x≥1時，f(x)≥0恒成立，即lnx－a＋eq\f(a,x)≥0恒成立，設(shè)g(x)＝lnx－a＋eq\f(a,x)(x≥1)，g′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)，當(dāng)a≤1時，g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(1)＝0，滿意條件；當(dāng)a>1時，令g′(x)＝0得x＝a，當(dāng)1≤x<a時，g′(x)<0；當(dāng)x>a時，g′(x)>0，∴g(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(a)<g(1)＝0，與已知沖突．綜上，a的取值范圍是(－∞，1].3．解析：(1)設(shè)當(dāng)2≤t<10時，削減的人數(shù)與(10－t)2成正比，比例系數(shù)為k，所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t<10，當(dāng)t＝5時，P(5)＝950，即1200－k(10－5)2＝950，解得k＝10，所以P(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1200－10（10－t）2，2≤t<10,1200，10≤t≤20)).(2)由題意可得：Q(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(700t－2048－2t3，2≤t<10,900t－40t2－2048，10≤t≤20))，所以eq\f(Q（t）,t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(700－2t2－\f(2048,t)，2≤t<10,900－40t－\f(2048,t)，10≤t≤20))，令H(t)＝eq\f(Q（t）,t)，當(dāng)2≤t<10時，H′(t)＝－4t＋eq\f(2048,t2)＝eq\f(2048－4t3,t2)；令H′(t)＝0得t＝8；當(dāng)2≤t<8時，H′(t)>0，當(dāng)8<t<10時，H′(t)<0，所以H(t)的最大值為H(8)＝316；當(dāng)10≤t≤20時，H′(t)＝－40＋eq\f(2048,t2)<0，所以H(t)最大值為H(10)＝295.2；因為295.2<316，所以單位時間的凈收益最大為316元；綜上，當(dāng)發(fā)車時間間隔為8分鐘時，單位時間凈收益最大，且最大為316元．4．解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝a－eq\f(2,x)＝eq\f(ax－2,x).當(dāng)a≤0時，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(2,a)，令f′(x)>0，得x>eq\f(2,a)，所以f(x)在(0，eq\f(2,a))上單調(diào)遞減，在(eq\f(2,a)，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)令ax－2lnx＝0，得a＝eq\f(2lnx,x)(x>0).令g(x)＝eq\f(2lnx,x)，則g′(x)＝eq\f(2（1－lnx）,x2)，令g′(x)>0，得0<x<e；令g′(x)<0，得x>e，所以函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．所以g(x)max＝g(e)＝eq\f(2,e)；當(dāng)0<x<e時，g(x)∈(－∞，eq\f(2,e))，當(dāng)x>e時，g(x)>0，所以g(x)∈(0，eq\f(2,e))，所以函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，由圖可得，當(dāng)a>eq\f(2,e)時，直線y＝a與函數(shù)g