廣西南寧市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試文

Page16廣西南寧市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試（文）留意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息；2.請(qǐng)將每題的答案正確填寫在答題卡上.一?選擇題（每小題有且只有一個(gè)正確答案，每小題5分，共60分）1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式，再推斷不等式解集的包含關(guān)系即可.【詳解】由得，由得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.命題P：ax2+2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，若￢p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1} C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}【答案】C【解析】【分析】依據(jù)是假命題，推斷出是真命題.對(duì)分成，和兩種狀況，結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】┐p是假命題，則p是真命題，∴ax2+2x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程有根，等價(jià)于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，綜上所述，a的可能取值為a≥﹣1．故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)命題否定的真假性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)，都是正數(shù)，利用基本不等式求解.【詳解】不妨設(shè)，都是正數(shù)，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力屬于基礎(chǔ)題.4.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離,再依據(jù)勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】由可知圓心為,半徑為,所以圓心到直線的距離為,由勾股定理可得弦長(zhǎng)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心和半徑,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,考查了勾股定理,屬于基礎(chǔ)題.5.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參與活動(dòng)，則恰好選中一男一女的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出全部基本領(lǐng)件總數(shù)，并計(jì)算事務(wù)恰好選中一男一女所含基本領(lǐng)件總數(shù)，即可得到答案.【詳解】全部基本領(lǐng)件總數(shù)為，事務(wù)恰好選中一男一女所含基本領(lǐng)件總數(shù)為，所以概率.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查古典概率模型的概率計(jì)算，考查基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的正方形中，其中，則質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的圓內(nèi)陰影部分的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算兩個(gè)陰影部分的面積，再除以正方形的面積即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率模型的求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.-5 B.-3 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，向下平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域，由圖可知，直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解實(shí)力.8.如圖，正方體中，、分別是邊和的中點(diǎn)，則和所成的角是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)異面直線所成角的定義，把直線平移和直線相交，找到異面直線與所成的角，解三角形即可求得結(jié)果．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在正方體中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，易證（或補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，在中，，，，由余弦定理得，即，所以異面直線與所成的角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是2，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為．因?yàn)榈捷S的距離為2，所以到準(zhǔn)線的距離為3.由拋物線的幾何性質(zhì)可知，到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，故選C10.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，即可得到單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：由題意，在中，當(dāng)時(shí)，解得（舍）或當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B.11.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，、是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，（如下圖所示），則的面積等于A.2 B.2.5 C.3 D.1.8【答案】A【解析】分析】設(shè)，，利用點(diǎn)差法求出，即可得到直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，可分別求得弦長(zhǎng)和高，即可求得答案.【詳解】設(shè)，，則，，∴.∵，∴.∴直線的方程為，即.將其代入，得、.∴.又到的距離為，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意點(diǎn)差法的應(yīng)用.12.設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】聯(lián)立與求出，進(jìn)而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進(jìn)一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因?yàn)?所以,又,所以,所以,所以,所以,所以該雙曲線的離心率,故選：B.二?填空題（填寫化簡(jiǎn)后的最終答案，每小題5分，共20分）13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值___________.【答案】【解析】【分析】利用幾何意義，設(shè)，則k可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的連線的斜率，而相切時(shí)的斜率為最大或最小值，即可求解.【詳解】由題意作出如下圖形：令，則k可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的連線的斜率，而相切時(shí)的斜率為最大或最小值，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，在直角三角形OAB中，,∴，∴.故答案為：14.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），由PF1⊥PF2得到一個(gè)方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值．【詳解】設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴=-1，∴x2+y2=25

①，又，∴，∴y2=，∴|y|=，∴P到x軸的距離是．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合題意，建立兩個(gè)等式，解方程，即可得出答案．15.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.【答案】2【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)。由可求得。【詳解】由題意，，由得。故答案為：2?！军c(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)圖象在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。16.設(shè)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上隨意-一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】15【解析】【分析】由橢圓的定義可得，，由此可得結(jié)論．【詳解】解：由題意，，由橢圓定義可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．三?解答題（共6小題，滿分共70分；每題必需寫出具體的解題過(guò)程）17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求{}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】(1)(2)【解析】【詳解】試題分析：（1）由條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可得通項(xiàng)公式．（2）結(jié)合（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后依據(jù)列項(xiàng)相消法求和．試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得，解得．∴．即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）可得==﹣，∴．18.在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60°（2）【解析】【詳解】（1)由正弦定理得【考點(diǎn)定位】本題主要考察三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡(jiǎn)求值是真理19.已知（其中，均為常數(shù)）.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若且，求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是和（2）或【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再解不等式和，從而可得單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再寫出切線的方程，再將點(diǎn)代入切線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線方程.【詳解】（1）求導(dǎo)得，，令得：；令得：或；故的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是和；（2）設(shè)為切點(diǎn)，則切線斜率.故切線方程為.①∵切點(diǎn)在曲線上，∴.②又∵點(diǎn)在切線上，∴將②式和代入①式，得解得或.故所求的切線方程為或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.20.某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行狀況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人依據(jù)其滿足度評(píng)分值（百分制）依據(jù)分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿足度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿足度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.【答案】（1）；（2）平均數(shù)為，中位數(shù)設(shè)為；（3）.【解析】【分析】（1）由各組的頻率和為1，列方程可求出的值；（2）由平均數(shù)的公式干脆求解，由圖可得中位數(shù)在第3組，若設(shè)中位數(shù)設(shè)為，則，從而可求得的值；（3）滿足度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人，從5人中選2人，用列舉法列出全部狀況，利用概率公式求解即可【詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設(shè)為，則，解得.（3）滿足度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為，記“滿足度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，恰有1名女生”為事務(wù)，從5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以總基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為10個(gè)，包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為3個(gè)，所以.21.在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明，再利用線面平行判定定理證明即可；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等積法，可求得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，.因?yàn)椋?所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連由（1）得平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理平面；在等腰直角三角形中，∵，∴，直角三角形中，，又，∵，∴，由，∴點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明、點(diǎn)到面的距離，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意等積法的應(yīng)用.22.已知點(diǎn)，在圓：上任取一點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn).（如圖）.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與（1）中的軌跡相交于、兩點(diǎn).問(wèn)：平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）存在，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用垂直平分線性質(zhì)可得，從而得到點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓；（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的狀況得到定點(diǎn)；再考慮對(duì)直線的一般狀況都有點(diǎn)滿足題意.【詳解】（1）依題意得，，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，，因此，所求的軌跡是橢圓：.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，由得知點(diǎn)在軸上