高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)必修1各章學(xué)問點(diǎn)總結(jié)

第一章集合及函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性

3、集合的表示：列舉法、描繪法(語(yǔ)言描繪法)、文氏圖

4、常用數(shù)集及其記法：

⑴非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)N正整數(shù)集N*或N+

⑵整數(shù)集Z

(3)有理數(shù)集Q

⑷實(shí)數(shù)集R

5、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

⑵無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：{X|X2=-5}

二、集合間的根本關(guān)系

1、“包含”關(guān)系一子集

2、“相等”關(guān)系：A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，記為中

4、區(qū)分概念：子集、真子集、非空子集、非空真子集

5、幾個(gè)規(guī)定：

(D空集是任何集合的子集

(2)空集是任何非空集合的真子集

(3)任何一個(gè)集合是它本身的子集

⑷假如AB,BC,那么AC

⑸假如AB同時(shí)BA,那么A=B

(6)有n個(gè)元素的集合，有2”個(gè)子集，2聯(lián)1個(gè)真子集，2自個(gè)非空子集，2儲(chǔ)個(gè)非空真子集

三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算交集并集補(bǔ)集

AfiA=AAlJA=A(C?A)A(QB)=C“(AUB)

Afi中=中AU4>=A

(CUA)UO)=c?(AAB)

性質(zhì)AC|B=Br|AAUB=BUAAU(C?A)=U

ApBcAAljBoAAA(C“A)=①.

AflBcBAUBoB

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1、函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中

的隨意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集

合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y=f(x),xGAo

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；及x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函

數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xGA｝叫做函數(shù)的值域.

(1)定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

(2)求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要根據(jù)是：

?分式的分母不等于零；

?偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

?對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于零；

?指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必需大于零且不等于1;

?假如函數(shù)是由一些根本函數(shù)結(jié)合而成的,那么其定義域要使的各部分函數(shù)都有意義；

?指數(shù)為零底不行以等于零；

?實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問題有意義。

注：一樣函數(shù)的推斷方法:①表達(dá)式一樣；②定義域一樣_

2、值域:先考慮其定義域，然后通常是根據(jù)函數(shù)關(guān)系的整合來(lái)得到其值域，一般的方法有

視察法(簡(jiǎn)潔函數(shù)關(guān)系)、配方法(二次)、代換法(分式)。

3、函數(shù)圖象學(xué)問歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(xGA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱

坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xGA)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)

均滿意函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過(guò)來(lái)，以滿意y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,

y),均在C上.

(2)畫法:描點(diǎn)法、圖象變換法

(3)常用變換方法有三種:平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換

4、區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無(wú)窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示。

5、映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于

集合A中的隨意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y及之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)

f：AfB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A(原象)->B(象)”

對(duì)于映射f：A-B來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿意：

(D集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

6、分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集

7、復(fù)合函數(shù)

假如y=f(u)(uGM),u=g(x)(x6A),則y=f[g(x)]=F(x)(xGA)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

五、函數(shù)的性質(zhì)

1、函數(shù)的單調(diào)性(部分性質(zhì))

(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個(gè)自變量X”

X2,當(dāng)xKxz時(shí)，都有f(x)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間以稱為y=f(x)

的單調(diào)增區(qū)間；假如對(duì)于區(qū)間D上的隨意兩個(gè)自變量的值xi,X2,當(dāng)xKxz時(shí)，都有f(x)

>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間a稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。

(2)圖象的特點(diǎn)

假如函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是

下降的。

(3)函數(shù)單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性的斷定方法

A、定義法：任取、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論；B、圖象法

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的單調(diào)性及構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性同增異減。

注：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性一樣的區(qū)間寫成并集。

2、函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

(1)偶函數(shù)：f(-x)=f(x),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

(2)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

3、利用定義推斷函數(shù)奇偶性的步驟：

(1)首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

⑵確定f(一x)及f(x)的關(guān)系;

⑶作出相應(yīng)結(jié)論：若f(—x)=f(x),則是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則是奇函數(shù)。

留意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。首先看函數(shù)的定義域是否

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

4、函數(shù)的解析表達(dá)式包括了對(duì)應(yīng)法則和其定義域。

5、函數(shù)最值

(1)二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)(2)圖象(3)函數(shù)單調(diào)性的

6、函數(shù)極值

⑴假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增,在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在

x=b處有極大值f(b)；

⑵假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減,在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在

x=b處有微小值f(b)。

第二章根本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)函數(shù)

(1)根式：一般地，假如x"=a,那么x叫做。的“次方根，其中〃〉1,且〃CN*.

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作火=0。

注：當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，。當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，'4^=\a\=\a

—a(a<0)

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)累

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：

注：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義。

3、實(shí)數(shù)指數(shù)黑的運(yùn)算性質(zhì)

(l)a,?as=a''(a>0,r,sGR)

(2)(ar)s=ars(a>O,r,sGR)

⑶(ab)r=arbr(a>0,r,s€R)

4、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=a*(a>0,一目刀工1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變

量，函數(shù)的定義域?yàn)镽。

留意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1。

5、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

4Al-L

/

00

定義域R定義域R

值域y>0值域y>0

在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)

留意：(1)在［a,b］上，￡5)=2*5>0且2工1)值域是任9),1?(1))］或任3),1?伯)］；

(2)若xwO,則f(x)Yl；f(x)取遍全部正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)XGR；

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)=a、(a>0且akl),總有f(l)=a；

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)的概念；一般地，假如優(yōu)=N那么數(shù)x叫做以“為底N的對(duì)數(shù),

記作：x=log“N(。為底數(shù)，N為真數(shù)，log“N為對(duì)數(shù)式)

2、底數(shù)的限制a>0,且a，l；a"=Nolog〃N=x；留意對(duì)數(shù)的書寫格式。

3、常用對(duì)數(shù)IgN(以10為底)；自然對(duì)數(shù)InN(以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底)

4、指數(shù)式及對(duì)數(shù)式的互化：。〃=Nolog?N=b

三、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

假如a>0,且M>0,N>0,那么：

⑴logu(M?N)=log4M+log?N；

⑵log”—=log?M-logaN；

⑶log“M"nlog?M(ne/?)o

換底公式logaA=(a〉0,且awl；c>0,且cwl；b>0)。

log,a

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(l)log⑵log“b=—

"mlog〃a

四、對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=logax(a>0,且awl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量,

函數(shù)的定義域是(0,+8)。

留意：(D對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，留意區(qū)分。如)，=210g?x,

y=logs|都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)。

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：(a〉0,且。工1).

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

a>l0<a<l

11

\—r-

i01

定義域x>0定義域x>0

值域?yàn)镽值域?yàn)镽

在R上遞增在R上遞減

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)

五、基函數(shù)

1、幕函數(shù)定義：一般地，形如y=x"(aeR)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、基函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)全部的暴函數(shù)在(0,+8)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；

(2)a〉0時(shí)，辱函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).特殊地，當(dāng)a>l時(shí),

幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<a〈l時(shí)，幕函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原

點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地靠近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地

靠近x軸正半軸.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)

1,函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=/(x)(xw力)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)

的圖象及x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象及x軸

有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

(1)(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以利用函數(shù)y=/(x)的圖象找出零點(diǎn)。

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax1+bx+c(a*0).

(l)A>0,方程O?+H+C=O有兩不等實(shí)根，圖象及x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零

點(diǎn)；

(2)A=0,方程以2+灰+。=0有兩相等實(shí)根，圖象及x軸有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有一個(gè)二

重零點(diǎn)；

(3)A<0,方程?2+云+。=0無(wú)實(shí)根，圖象及x軸無(wú)交點(diǎn)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。

第一章習(xí)題：

1、下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()

A.某班全部高個(gè)子的學(xué)生B.聞名的藝術(shù)家

C.一切很大的書D.倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)

2、集合{a,b,c,d,e,f,g}的真子集共有個(gè)。

3、若集合M={y|y=x2-2x+l,xGR},N={x【x20},則M及N的關(guān)系是.

4、設(shè)集合A={x|l〈x<2},B={x|x<a},若AqB,則a的取值范圍是

5、50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種試驗(yàn)，已知物理試驗(yàn)做得正確得有40人，化學(xué)試驗(yàn)做得

正確得有31人，兩種試驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種試驗(yàn)都做對(duì)的有人。

6、用描繪法表示圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))組成的集合M=.

7、已知集合人=以|X2+2X-8=0},B={xX2-5X+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若BPICK①,

ACC=①，求m的值

第二章習(xí)題

L求下列函數(shù)的定義域：

2.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?,1］，則函數(shù)/(一)的定義域?yàn)椤?/p>

3.若函數(shù)/(x+1)的定義域?yàn)椋?2,3］，則函數(shù)/(2x-l)的定義域是。

x+2(x<-1)

4,函數(shù)/(X)=