2022年四川省瀘州市合江天立學(xué)校高數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變2．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，，，，，且，則（）A． B． C． D．3．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，若，，則（）A． B．C．6 D．4．已知方程表示的曲線(xiàn)為的圖象，對(duì)于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則由方程所確定；則正確命題序號(hào)為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．6．在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線(xiàn)與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．8．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點(diǎn)都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．拋物線(xiàn)方程為，一直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．10．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．11．將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線(xiàn)折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．12．如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為_(kāi)_________．14．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________.15．若函數(shù)為偶函數(shù)，則________.16．一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成，如圖所示.今想用長(zhǎng)方形瓷磚鋪滿(mǎn)地面，已知每一塊長(zhǎng)方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿(mǎn)房間地面的方法有_______種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若滿(mǎn)足，，，求.19．（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過(guò)，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤(rùn)/十萬(wàn)元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y（十萬(wàn)元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線(xiàn)性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬(wàn)只，試估計(jì)：該月利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？附：線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的值域?yàn)锳，且，求a的取值范圍.21．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)22．（10分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若求證:.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題2、D【解析】

確定點(diǎn)為外心，代入化簡(jiǎn)得到，，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知，點(diǎn)為外心，則，，又，所以①因?yàn)椋诼?lián)立方程①②可得，，，因?yàn)?，所以，即．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.4、C【解析】

分四類(lèi)情況進(jìn)行討論，然后畫(huà)出相對(duì)應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在圖象；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線(xiàn)一部分；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線(xiàn)一部分；（4）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的一部分；畫(huà)出的圖象，由圖象可得：對(duì)于①，在上單調(diào)遞減，所以①正確；對(duì)于②，函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.5、A【解析】項(xiàng)，由得到，則，故項(xiàng)正確；項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤；項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，即不等式不成立，故項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故選．6、B【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線(xiàn)與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線(xiàn)與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2，對(duì)于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對(duì)于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對(duì)于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線(xiàn)與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線(xiàn)與平面垂直，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．7、A【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出．【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意，排除D；然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．8、B【解析】

分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，在中計(jì)算出，再利用勾股定理計(jì)算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，，且、分別為、的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點(diǎn)，同理可知，的外心為點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中等題．9、A【解析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線(xiàn)的斜率為2，又過(guò)點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線(xiàn)的方程.【詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線(xiàn)的斜率為2，又∴過(guò)點(diǎn)，∴直線(xiàn)的方程為：，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程相減后可把弦所在直線(xiàn)斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．10、C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，故C為正確答案．考點(diǎn)：異面直線(xiàn)所成的角．11、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．12、B【解析】

解：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.14、【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象，再畫(huà)的圖象，求出一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值，然后平行移動(dòng)可得有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以圖象與直線(xiàn)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)即可，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，直線(xiàn)向下平移后有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．15、【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達(dá)式即可求解【詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以，，所以，故答案為：-5【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題16、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)，在其中會(huì)有相同元素的排列問(wèn)題，需用到“縮倍法”.采用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類(lèi)：5個(gè)：，3個(gè)，2個(gè)：，1個(gè)，4個(gè)：，（2）左側(cè)兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個(gè)：，1個(gè)，2個(gè)：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點(diǎn)睛】本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，排列問(wèn)題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由得，兩式相減可得是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，由此即可求出答案；（2），分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，，作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列，由此可得答案，【詳解】解：（1）因?yàn)?，，兩式相減得：，即，是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，∵∴，則，；（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)遞增，，所以實(shí)數(shù)的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，取，解得答案.（2），解得，根據(jù)余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因?yàn)?，故?根據(jù)余弦定理：，..【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.19、（1）；（2）；（3）利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線(xiàn)性回歸方程中的斜率和截距即可求出線(xiàn)性回歸方程；（3）根據(jù)線(xiàn)性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當(dāng)千只，（十萬(wàn)元）（萬(wàn)元），故9月份的利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，線(xiàn)性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）或（2）【解析】

（1）分類(lèi)討論去絕對(duì)值即可；（2）根據(jù)條件分a＜﹣3和a≥﹣3兩種情況，由[﹣2，1]?A建立關(guān)于a的不等式，然后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴當(dāng)x≤﹣1時(shí)，原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為x+1≤2x，∴x≥1，綜上，原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）當(dāng)a＜﹣3時(shí)，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≤﹣5；當(dāng)a≥﹣3時(shí)，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≥﹣1，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和利用集合間的關(guān)于求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.