高中數(shù)學(xué)知識點大全

中學(xué)數(shù)學(xué)必備學(xué)問點大全

一、集合及常用邏輯用語

一組對象的全體：

概

元素特點：互異性、無序性、確定性。

念xwAxeA。

子集xwAnxeB<=>AoBo

xwAnxw民w3,x()史AoAuB0CA;

集關(guān)

真子集Aq民BqCnAqC

合系

〃個元素集合子集數(shù)2"。

相等

交集AB={X|XGAHXGB)c.(AB)=(C.A)(QB)

運

開集或￥￡瓦c"(A3)=(QA)(C?B)

算AjB={x|xeA

c“(C“UA)=A

補集CUA={x\xGUSJCA\

常正整數(shù)有理數(shù)

集合自然數(shù)集整集數(shù)實數(shù)集

見集集

數(shù)上々口一

集付萬NM或N,ZQR

集

合

概念能夠推斷真假的語句。

及

常原命題：若p,則q

原命題及逆命題，否命題及逆

用

否命題互逆；原命題及否命

邏命逆命題：若q,則〃

四種命題，逆命題及逆否命題互否；

輯題

題原命題及逆否命題，否命題及

用否命題：若一p,則一q

逆命題互為逆否?；槟娣竦?/p>

語

命題等價。

常逆否命題：若-q,則-〃

用

充分條

邏pnq,p是q的充分條件

充件

輯右命題p對應(yīng)集合A，命題夕對

要必要條

用p=q,q是p的必要條件應(yīng)集合B,則p=>q等價于

條件

語等價于A=B

件充要條

poq,p,q互為充要條件

件

邏prq,p,q有一1為真即為真，p,q為假時才

或命題類比集合的并

輯

為假。

連

接p/\(7，p應(yīng)均為真時才為真，p,4有一為假

且命題類比集合的交

詞

即為假。

—p和P為一^真^一假兩個互為對立的命

非命題類比集合的補

題。

全稱量

V,含全稱量詞的命詞叫全稱命題，其否定為特稱命題。

量詞

詞存在量

3,含存在量詞的命詞叫特稱命題，其否定為全稱命題。

詞

二、復(fù)數(shù)

虛數(shù)單規(guī)定『=一1：實數(shù)可以及它進(jìn)行四則運算，并且運算時原有

位的加、乘運算律仍成立。

形如a+的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a叫做復(fù)數(shù)的實部，人叫做

復(fù)數(shù)

概

復(fù)數(shù)的虛部，8Ho時叫做虛數(shù)，。=08工0的時叫純虛數(shù)。

念

復(fù)數(shù)相a+bi=c+di(a,b,c,deR)u>a=c,b=d

等

復(fù)共朝復(fù)實部相等,虛部互為相反數(shù),z=a+bi,5!1]z=a—bi

數(shù)數(shù)

加減法(a+bi)±(c+di)=(a±c)4-(Z>±d)i9(a,b,c,dGR)

運乘法(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+bd)+(be+b,c,deR)

算/7?、/ac+bdbc-da,八，」n、

除法(a+4)+(c+M=F----7+―----丁i(cz+diw0,a,b,c,dGR)

c+der+d

幾

復(fù)數(shù)z=a+bi<——刈/>復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,。）

何

意一^一向量0Z向量0Z的模叫做復(fù)數(shù)的模,|z|=-Ja2+b2

義

大多數(shù)復(fù)數(shù)問題，主要是把復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的z=a+初類型來處理，若是分?jǐn)?shù)形成，

則首先要進(jìn)行分母實數(shù)化（分母乘以自己的共相復(fù)數(shù)），在進(jìn)行四則運算時，可以

把，看作成一個獨立的字母，依據(jù)實數(shù)的四則運算律干脆進(jìn)行運算，并隨時把尸換

成—1O

三、算法、推理及證明

依次結(jié)

依次執(zhí)行

邏構(gòu)

程序框圖，是一種用程

算輯條件結(jié)依據(jù)條件是否成立有不同

序框、流程線及文字說

法結(jié)構(gòu)的流向

明來表示算法的圖形。

構(gòu)循環(huán)結(jié)依據(jù)肯定條件反應(yīng)執(zhí)行某

構(gòu)些步驟

基

本

輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句。

語

句

歸納推由部分具有某種特征推斷整體具有某種特征的推

合情推理理。

推理類比推由一類對象具有的特征推斷及之相像對象的某種

理理特征的推理。

演繹推依據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性倒是為真

推理的推理。

理數(shù)干脆證綜合法由已知導(dǎo)向結(jié)論的證明方法

及學(xué)明分析法由結(jié)論反推已知的證明方法

證證間接證

主要是反證法、反設(shè)結(jié)論、導(dǎo)出沖突的證明方法

明明明

數(shù)數(shù)學(xué)歸納法是以自然數(shù)的歸納公理估秋它的理論基礎(chǔ)的。因此，數(shù)學(xué)

學(xué)歸納法的適用范圍僅限于自然數(shù)有關(guān)的命題，分兩步：首先證明當(dāng)〃取

歸

第一個值%（例如%=1）時結(jié)論正確；然后假設(shè)當(dāng)〃=無（4時

納

法結(jié)論正確，證明當(dāng)〃=2+1時結(jié)論也正確。

四、平面對量

既有大小又有方向的量，表示向量的有向線段的長度叫做該向量的

向量

模。

0向

長度為0,方向隨意的向量。【0及任一非零向共線】

X

重

平行

平要方向相同或者相反的兩個非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。

向量

面概

對念起點放在一點的兩向量所成的角，范圍是［0,句，a/的夾角記為

向量

量

夾角

<a,b>o

投影Va,A>=e，Wcos。叫做匕在〃方向上的投影?！玖粢猓和队笆菙?shù)量】。

重基本

q,/不共線，存在唯一的實數(shù)對（4M,使Q=4q+//&2。若e1，％為MV軸

要定理

法

上的單位正交向量，（4〃）就是向量a的坐標(biāo)。

則

定一般表示坐標(biāo)表示

理共線（占，%）=/1（%2，%）0%，％=々，%

a,b（b*瞇線=存在唯一實數(shù)；1）,a=2b

條件

垂直

=a-b=OXX+X2%=0

條件

a+6的平行四邊形法則、三角形

法則a+b=(x+x,y+y)

加法法則l2l2

運算及加法運算有同樣的坐標(biāo)

算律Q+力=石+Q,(Q+萬)+C=(/?+C)

表示。

法則a-b的三角形法則°a-b=(x-x,y-y)

減法A2t2

運算

分解MN=ON-OM.MN=(xN-xM,yN-yM')

各/La為向量，2>0與a方向相同。

種概念A(yù)a=(2x,2y)o

數(shù)乘/IVO與a方向相反，,。

運

運算

算=(")〃,(2+4)。=4a+Ra,及數(shù)乘運算有同樣的坐標(biāo)

算律

A(a+b)=Aa+Ab表示。

6f|-|/?|cOS<67,&>

概念0。=a-b=x^+y^o

數(shù)量

忖=次+y2

積運

主要

算々.4=卜z|*?|?Z?|<pz||/?|o

性質(zhì)門/2+X%<JX+4.+￡

及上面的數(shù)量積、數(shù)乘等

a-b=biz(a+O)c=Qc+〃c

算律具有同樣的坐標(biāo)表示方

(4a)%=a\Ab)=

法。

在公鉆。中，若點。是邊8C上的點，J-BD=/l￡>Ca^-l）,

線段定比分點的

向量表達(dá)式則向量

,當(dāng)4=1時，變?yōu)橹芯€向量。

平面內(nèi)三點4、B、C共線的充要條件是：存在實數(shù)九〃，

三點共線定理

使0C=2O4+〃0B,其中;1+〃=1,。為平面內(nèi)隨意一點。

⑴G是△ABC的重心oGA+GB+GC=0(其中

a,6,c是△ABC3J邊)，且SDGAB—S^c=S&GAC=3sAyJBC，重心

到頂點的距離及重心到對邊中點的距離之比為2：1o0

為A/WC所在平面內(nèi)任一點，OG='(Q4+O8+OC),G為

3

重心。

(2)若。)勺AABC所在平面內(nèi)一點，則

I-2.2.2

明=OB=0C=0A=OB=OC=

(OA+OB)-AB=(OB+OC)-BC=(OC+OA)-C4。。為△ABC

的外心。

(3)若…9AABC所在平面內(nèi)的一點，則

HAHB=HBHC'=HCHAo”是AABC的重心。

(4)若點/為ZkABC所在平面內(nèi)一點，則

/(\/、

,4ABAC小BCBAC4CB

向量及三角形的”〔網(wǎng)回[叫I網(wǎng)廠li^i[<用廠

四心

a，LA+bIB+C,lC：=0o是AABC的內(nèi)心。

(5)AABC白勺夕卜心0,垂心H,3巨心G,則

OH=OA+OB+OC,OG=：GH

(6)。為BC內(nèi)■點，mOA+nOB+pC)C=0

SAOBC，S&0,4c=+n+p)

(7)角平分2戈定理：三角形一個角的平，分線分其對邊

所成的兩條線段及這個角兩邊對應(yīng)成比例o逆定理：假

如三角形一ii一上的某個點分這條邊所成f向兩條線段及

這條邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例，那么該點及對角頂點

的連線是三角形的一條角平分線。

【變式】

(____

若存在常數(shù)4滿意標(biāo)=礪+彳萼+絲(幾關(guān)0),則點

IM￡

G可能通過△MC的內(nèi)心。

若點。是AABC的底邊BC上的中點，滿意

GD-GB=GD1GC,則點G可能通過△ABC的外心。

若存在常數(shù)是心滿意

/__一\

A3xc

~MG=~MA+A(/IwO),則點G可能通

,可?sinBAC?sinC

7

過△ABC的3真重心。

若存在常數(shù)A,滿意

(__

ABAC

~MG=~MA+A(XHO),貝ij點G可能通

JA司?cos3|Xc?cosC

過A/ABC的-專心。

五、函數(shù)、基本初等函數(shù)I的圖像及性質(zhì)

本質(zhì)：定義域內(nèi)任何一個自變量對應(yīng)唯的函數(shù)值。兩函數(shù)相等只要

概念

定義域或?qū)?yīng)法則相同即可。

表示方解析式法、表格法、圖象法。分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各

法段定義域的并集，值域是各段值域的并集。

(1)對定義域內(nèi)一個區(qū)間/,X|，Zw/,X|，Z

/(x)是增函數(shù)o/G)V/(z)

“X)是減函數(shù)=/(%)〈/(王)

函

(2)/(無)是增(減)函數(shù)

數(shù)偶函數(shù)在定義

概oV/孫〃玉)->々)〉0(〈0)0域關(guān)于坐標(biāo)點

單調(diào)性

念%-x2對稱的區(qū)間上

及具有相反的單

%*x2,(x,-x2)[/(xl)-/(x2)]>0((0)

其調(diào)性、奇偶數(shù)

性質(zhì)

表在定義域關(guān)于

^/(%)>()(<())的恒成立。

示坐標(biāo)原點圣水

稱的區(qū)間上具

(3)Vx產(chǎn)

X]-x2有相同的單調(diào)

性。

=>/(x)之恒成立。

對定義域內(nèi)隨意X,/(X)是偶函數(shù)

奇偶性o/(x)=〃f),/(%)是奇函數(shù)

<=>/(-%)>-/(%),偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對

稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。

周期性對定義域內(nèi)隨意X,存在非零常數(shù)TJ(x+T)=/(x)

(1)若/(x+a)=〃x+b),則/(x)是周期函數(shù)，b-a是它

的一個周期(2)對于非零常數(shù)T,函數(shù)y=/(x)滿意，則

函數(shù)y=/(x)的一個周期為2T.(3)若。則函數(shù)y=/(x)的

一個周期為2T。

兩個函數(shù)的圖象對稱性

(1)y=/(x)及y=—/(x)關(guān)于x軸對稱。

換種說法：y=/(%)及y=g(x)若滿意/(x)=-^(x),即它們

關(guān)于＞=0對稱。

(2)丁=/(尢)及y=(-x)關(guān)于y軸對稱。

換種說法：y=/(x)及y=f{-x)若滿意/(x)=^(-x),即它們

關(guān)于光=0對稱。

=

(3)丁=7(工)及y/(2tz-x)關(guān)于直線x=Q對稱。

換種說法：y=/(x)及y=g(x)若滿意/(x)=g(2a-x),即它

們關(guān)于％=4對稱。

(4)V=/(力及y=2tz-/(x)關(guān)于直線y=〃對稱。

換種說法：y=/(x)及y=g(x)若滿意/(x)+g(2a-x)=2Z?,

即它們關(guān)于點y=a對稱。

(5)y=〃x)及y=?_/(2ar)關(guān)于點(〃力)對稱。換種說

法：)'=〃力及產(chǎn)g(6若滿意/⑴+且⑶-6=2。即他們關(guān)

于點對稱

(6)y=/(Q-x)及y=(工-。)關(guān)于直線對稱。

單個函數(shù)的對稱性

(1)函數(shù)y=/(x)滿意/(〃+%)=/("_%)時,函數(shù)y=，(x)的

圖象關(guān)于直線對稱。

(2)函數(shù)y=/(%)滿意/(<7+x)4-/(Z?-x)=c時，函數(shù)

y=/(%)的圖象關(guān)于點對稱。

(3)函數(shù)y=/(a+x)的圖象及y=-的圖象關(guān)于直線

對稱。

對稱性及周期性的關(guān)系

(1)函數(shù)y=/(x)滿意

/(a+x)=/(a-x)J'3+X)=/'0-X)(Q0加,則函數(shù)y=/(%)是

周期函數(shù)，則2b-2a是一個周期。

(2)函數(shù)y=/(x)滿意

f(a+x)+1f(。一同=<:不V。+力+/9一力=€但￥。)時，函數(shù)

y=/(%)是周期函數(shù)。(函數(shù)y=/(x)圖象有兩個對稱中心

時，函數(shù)y=/'(尤)是周期函數(shù)，且對稱中心距離兩倍，是函

數(shù)的一個周期)，函數(shù)y=/(x)是以2〃-2々為周期的函數(shù)。

(3)函數(shù)y=/(X)有-一個對稱中心(4,C)和'一個對稱軸

時，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一^個周期是

4(〃一々)o

(4)若定義R上的函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線X=4