考點(diǎn)03 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式-2022年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)小題多維練（解析版）

考點(diǎn)03數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式

一、單選題

1.(2021.寧夏中衛(wèi)市.高三其他模擬(理))設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若2s.=3a”—2(〃eN*),

A.243B.244C.245D.246

【答案】B

【分析】

555

先證明數(shù)列｛%｝是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列,再求出S1O=(3+1)(3-1),?6-2=2(3-1),

即得解.

【詳解】

由題得2q=3q—2,：.q=2.

由題得2S“=34-2,2S“_|=3/一|-2,(〃22),所以2a“=3atl-3a“_1,an=，

所以數(shù)列｛4｝是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

所以幾=2(>3)=310_1=(35+1)(35_]),

1—3

25

555

a6-2=2x3-2=2(3-l),所以一=3+1=244.

4-2

故選：B

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知S,,=/(4),求數(shù)列的通項(xiàng)，通常用項(xiàng)和公式%。c求解.

[Sn-Sn_],n>2

,、S

2.(2021?甘肅高三二模(理))數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S.=2%-1,貝1]。n=()

A.2—2一"B.2—2~c.2—2〃D.2—2”-1

【答案】B

【分析】

S,,

利用??=s?-S“_1（nN2）求出a?,則可得Sn,進(jìn)一步可得—.

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，S[=2q-1,得q=1,

當(dāng)〃22時(shí)，S?_,=2a?_,-l,

所以a“=S,-S,i=2a“—2%,即《=2%,又4=1,

所以數(shù)列｛aJ是首項(xiàng)為6=1，公比4=2的等比數(shù)列，

一

所以q,=2"T,S,,=1L2E"=2"-1,

"1-2

con_i

所以」=17T?=2-2「”.

故選：B

3.（2021?全國(guó)高二專題練習(xí)）設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若S“=/+2〃，則%021=（）.

A.4043B.4042C.4041D.2021

【答案】A

【分析】

法?r由“2021=$2021-^2020可得;

fs,H=1

法二：由數(shù)列公式為=<0°力先求通項(xiàng)，再代入求出物）2「

3—31n>2

n/J-1

【詳解】

法一:?2021=^2021-§2020=202『-2()20?+2x202l-2x2020=4043：

法二：?/S?=n2+2n,，當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=3,

12

當(dāng)〃之2時(shí),an=S?-Sn_l=n+2n-(n-Y)-2(n-l)=2n+l.

當(dāng)〃=1時(shí)，也適合上式，二4=2〃+1,則a202l=2x2021+1=4043.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

（1）設(shè)s”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，S“=A"+B〃o｛q｝是等差數(shù)列.

S\〃=1

（2）已知求應(yīng)用公式<C時(shí)，一要注意不要忽略〃=1時(shí)的情況，二要注意

n>2

a?=S“一S“_i時(shí)的成立條件.

4.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列3,7,13,21,31,…的通項(xiàng)公式是（）

322

A.凡=4"-1B.an=n-n+n+2C.=n+/?+1D.不存在

【答案】C

【分析】

利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】

依題意可知an=1+2〃,q=3,

所以a”=(a“一)+(a”_2-)+-，+(2一4)+4

=2〃+2(〃—1)+.??+2x2+3

2"+2x2/n,°

=---x(〃—l)+3=/+〃+1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列1、0、1、0、…，可猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）

〃一IB.a“=；[l+(-l)[(〃wN*)

A.4=1+(-1)nGN

ca=n+\(〃一l)(〃一2)("wN")D.=g(l-cos/vr)(〃wN*)

-?T1+(T)4-

/J

【答案】D

【分析】

通過反例可排除ABC,分別在〃為奇數(shù)和?為偶數(shù)時(shí)化簡(jiǎn)D中通項(xiàng)公式，可知其滿足題意.

【詳解】

對(duì)于A,4=1+(-1)°=2#1,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,4=gx(l—l)=0W1,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a3=；x(l+l)+2xl=3Hl,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，COS〃7T=-1,則=gx(l+l)=1；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，cos=1,則=；x(l-l)=0；D正確.

故選：D.

6.(2021?甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三三模(理))已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，若

a2a$-2%,S3——6,貝!]4().

A.一2或32B.一2或64C.2或-32D.2或-64

【答案】B

【分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)山42。6=-2%，可求得力=-2,再山S3=-6可求出q,從而可求出4的值

【詳解】

,/數(shù)列｛a,,｝為等比數(shù)列，a2a6=-2a,=q%，解得％=-2,

設(shè)數(shù)列的公比為q,§3=—6=—2—24—2產(chǎn)

解得4=-2或9=1,

當(dāng)。=-2,則4=(—2『=64,

"iq=1,則4=-2.

故選:B.

7.(2021嚀夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)高一期末)已知數(shù)列｛4｝中，q=1,/=3%一+4(〃eN\n>2),求數(shù)列｛%｝

的前八項(xiàng)和S“為()

A。32一2〃—3D03向+2〃—3

A-3=----2----B-S“=-----------

c「3n+l-4,1-3D.s.T

c.5=---------

"2

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到4+2=3(4-+2),得到數(shù)列｛%+2｝構(gòu)成首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，求得

a?=3"-2,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛qj中，q=1,?！?3a“_1+4(〃eN",〃22),

。+2

可得4,+2=3勺_1+6=3(%_1+2),即=3,

an-\+,

且4+2=3,所以數(shù)列｛4+2｝構(gòu)成首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,

所以4+2=3",即%=3"-2,

則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sa=(3+32+…+3")—(2+2+…+2)

3(1-3-)3--3_2〃=匕吧

2

故選：C.

_1

8.(202L全國(guó)商三其他模擬)設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S,”若%=亍=~尸，則％9=()

y/n+l+\ln

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】

采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和

【詳解】

因?yàn)閮?cè)=~/尸'—+1—,

A/H+1+\/〃

所以S99=(血-1)+(6—血)+???+(炳一項(xiàng)-M)

=Jl00-1=10-1=9

故選c.

9.（2021?新疆高三一模（理））在等差數(shù)列｛%｝中，a

4=4,(%=7,其前〃項(xiàng)和為Sn,則

111

++???+—()

S\S?§2020

2019202040394040

A.-----B.c.-----D.-----

2020202120202021

【答案】D

【分析】

設(shè)｛凡｝的公差為。，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件，列方程求基本量，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式，即可得

前〃項(xiàng)和為S”，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求目標(biāo)式的值即可.

【詳解】

a,+3d—44=1

由題設(shè)，若｛q｝的公差為d,則＜1,得《

(4+61=7d=\

1

???！?〃，故S〃=------，則丁=2(—

2S〃n7^,

1、4040

----)-

2021---2021

故選：D

10.（2021.南寧市邕寧高級(jí)中學(xué)高二期末）數(shù)列｛4｝,也＞滿足/也,=1,4=/+〃，則｛a｝的前10

項(xiàng)和為（）

11041

A.-B.—C.-D.—

511511

【答案】B

【分析】

,111

求出〃=—=--------再利用裂項(xiàng)相消法求解即可.

a?n〃+1

【詳解】

2

因?yàn)閿?shù)列｛??｝，也｝滿足?！耙?1,an=n+n,

,11111

所以仇=一=不~=一7,1'=-------------7>

ann+n+nn+\

所以，｛d｝的前10項(xiàng)和為：

,11111,110

22310111111

故選：B.

11.（2021?甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高一期末）等比數(shù)列｛勺｝中，4=2,q=2,數(shù)列

b=------------｛2｝的前〃項(xiàng)和為7“，則幾的值為()

"S向—1)(4-1)'

409420461022510

A.-----B.-----C.----D.——

40952047---------------1023511

【答案】B

【分析】

2"11

先求出從而可得然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求出工0

(2,,+|-1)(2"-1)2"T2"+'-1'

【詳解】

,2"1

由題意得q=2"，所以b"=（2后二=強(qiáng)二T

1,12046

所以4。=--------7----1--S-------；----1---1--T7：------------=1-----=----

102-122-122-123-12'0-12"-12"-12047

故選：B

2%

12.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列｛/｝中，4=1,a,〃eN+，則?！?()

n+]2+4

22n〃+1〃+2

A-a?=B.??c.%=OD.

n+\〃+12n2/7+1

【答案】A

【分析】

2a12+a11f111

n_____un_二

對(duì)4+1—°變形可得——=—+彳，所以一卜為以一二:1為首項(xiàng)，公差為V的等差數(shù)列,

2+4an+\2%%2%2

即可得解.

【詳解】

在｛4｝中，q=1，

2an12+a“11

由4+i———可得——=-----=—+-

2+a”an+l2a*an2

11,

所以《一卜為以一=1為首項(xiàng),公差嗎的等差數(shù)列,

an%

11/八1〃+1

所以一=1+(〃-1).7=^-,

a?22

2

?+1

故選：A.

13.(2021?浙江高考真題)已知數(shù)列｛a,J滿足q==1+V-(?eN*).記數(shù)列｛q,｝的前八項(xiàng)和為S”,

則()

399_

A.—<Sim<3B.3<Sl00<4C.4<Sia)<5D.—<5,0()<5

【答案】A

【分析】

顯然可知，Sm〉二,利用倒數(shù)法得到「一=」-+3=」+,1111

一，再放縮可得I---<-/=+.，

aaa

2,,+\a”J%IJan24\l,i+\\ln2

4aa,,,.,〃+l

由累加法可得427~巨，進(jìn)而由~戶局部放縮可得-然后利用累乘法求得

(〃+1)1+也an〃+3

%-7~H~八，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到So。＜3,從而得解.

(〃+1)(〃+2)

【詳解】

因?yàn)?=1,。,山]+｝(“eN*),所以?！埃?,%＞；.

11n-ln+l

根據(jù)累加法可得‘石金+丁=〒'當(dāng)且僅當(dāng)”=l時(shí)取等號(hào)'

>4:4v4=〃+J

—(〃+1)2-"+「+。—1+2一〃+3"

n+1

ann+3

由累乘法可得％"強(qiáng)際?當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào)'

由裂項(xiàng)求和法得:

3

<3,即2<$00<3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到瓦,向二的不等關(guān)系，再由累加法可求得4,22，由題目條件

可知要證doo小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到%,4+1的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到

6

a<---------------最后由裂項(xiàng)相消法求得S項(xiàng)＜3.

(〃+1)(〃+2)

14.(2020.浙江高考真題)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列

?(/?+1)

就是二階等差數(shù)列，數(shù)列(〃eN*)的前3項(xiàng)和是

22

【答案】10

【分析】

根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列｛q｝的前三項(xiàng)，即可求出.

【詳解】

因?yàn)閍“=所以4=1,%=3,%=6.

2

即S3=q+4+%=1+3+6=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題.

15.(2020?江蘇高考真題)設(shè)｛小｝是公差為&的等差數(shù)列，｛瓦｝是公比為(7的等比數(shù)列.已知數(shù)歹1」但"+5｝

的前八項(xiàng)和S“=1—”+2"-1(〃eN+),則d+q的值是.

【答案】4

【分析】

結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得｛4｝,｛〃,｝的公差和公比，由此求得4+q.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,等比數(shù)列｛d｝的公比為9,根據(jù)題意qwl.

等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和公式為匕=叫+-0―d=Q/+6一］卜,

等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和公式為2=b"f)

44+

1—4i—qT—q

依題意2+Q,即〃?+2F家+1一方〃一告小自

-=1

2

Jd=2

cl

a.——=-1a1?=0

通過對(duì)比系數(shù)可知〈'2=,故d+g=4.

9=24=2

3=1

A

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本小題上要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前.“項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

16.（2019?江蘇高考真題）已知數(shù)列｛&“｝（〃eN*）是等差數(shù)列，S“是其前"項(xiàng)和.若+%=°，§9=27,

則S.的值是.

【答案】16.

【分析】

由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.

【詳解】

a2a5+。8=（。1+d）（q+4d）+（4+7d）=0

由題意可得:

S9=9q+券4=27