初中數(shù)學-動點最值類壓軸題解題模型+例題解析

［名校］初中數(shù)學-動點最值類壓軸題解題模型+例題解析

1、將軍飲馬模型（對稱點模型）

A'

\AP+BP\

如圖，在△ABC中，AC=BC=

2,Z.ACB=90。，D是BC邊的中作。關(guān)于4B的對稱點C'

點，E是4B邊上一動點，則EC+當。、E、C'三點共時，取到等號，如圖②

ED的最小值是.所以CE+DE最小值為DC'

vLCBA=/.ABC=45°:,&DBC'=90°

在ADBC，中

DC=VDB2+CB2=712+22=V5

CE+DE最小值為明

2.利用三角形兩邊差求最值

?B

P

\AP-BP\

如圖.作點B關(guān)lx軸的對稱點B',連接4B'并延長與x軸的交點,

即為所求的“點.此時AM-BM=AM-B'M=AB'.

沙洋一模)已知點

(20144(1,5),6(3,-1).不妨在x軸上任取一個另一點M',連接M'4、M'B.M'B',則

點M在x軸上，當4M-BM最大時，點”的坐M'A-M'B=M'A-M'B'<AB'

標為.

M'A-M'B<AM-BM.此時4M-BM取得最大值

姑B(3,-1)關(guān)于x軸的對稱點.-.8'(3,I)

設立線4B'解析式為y=kx+b

??.UAA=s解得:(\=~2

13k4-b=1(6=7

二直線AB'解析式為y=-2戈+7

令y=0,解得x=g

M(1，0)

2

3、手拉手全等取最值

取48中點。'，連接0。，

如圖，ZUBC和△4DE都是等腰直角一:角???LDAO'=90°-4DAC

1

形，Z.BAC=乙DAE=90°MF=AC=2,0LEA0=90°-乙DAC/.DAO=LEAO

為AC中點，若點。在在直線8c匕運動，連又?：。和0'分別是4C和48中點

A0f=A0

接。工則在點。運動過程中,線段0E的最

在A4。。'和AE4。中

小值_______.

AC=AD

AZ.DAO1=Z.EAO

{AO1=A0

.?.A4。。'aAEAO(SAS):.DO'=E0

當O'DJ.8C時，0'D最小

△80。'是等腰直角三角形

V211

???0切=-BO',BO1=-AB=-x2=1

，OR=￥：.E0最小也為當

4、手拉手相似取最值

一

如圖，連接CE

如圖，△4BCM4DE,/.BAC=/.DAE=ABC-△ADE

。，為中點，若

90AB=6,AC=8,FOELACD=Z.4EG

點0在直線8c上運動，連接CF,則在點0又：/.AGE=Z.DGC

運動過程中，線段CF的最小值是.???△AGE，△DGC

AGEG

??■___一__，

DGCG

又???乙AGD=LEGC

???△AGDEGC

??乙4OG=乙ECG

又??,Rt△工。曰3LADG+/.AEG=90°

???乙ECG+LACD=90%即4OCE=90°

???F是DE的中點，；.CF=DE,

???△ABC-△4DE,

.?.當4D1BC時，4D最短，此時DE最短，

當AD18c時，AD=AB^C~=4.8,B

DC

..亞一歿即竺_工

'DE-BC即DE-10'

???DE=8,ACF=x8=4.

5、平移構(gòu)造平行四邊形求最小

B

AC+CD+DB

如圖，fl線y=+3與4軸、y軸分別交于

由題意得M（一3，/

點人&點。在動點Q右側(cè)的戈軸I;且始

終滿足QD=1,點M/E直線48上，其橫坐

5

標為一3,問當t為何值時，四邊形MQOB的???AM=-AB=5

4

周長最小？最小值是多少？

四邊形MQD8周氏為

19

MQ+Q0+DB+MB=彳+MQ+DB

過B作8N〃。人使得BN=QD=1,連接NQ

???NB//DQ且NB=DQ???四邊形QDBN為平行四邊形

/.NQ=BD???MQ+8。=MQ+NQ

如圖，直線y=《M+3與x軸、y軸分別交手

過M作關(guān)于無軸的對稱點M'連接NM'

點4、8,點。在動點Q右側(cè)的x軸I二,且始

終滿足QO=1,點M在直線48上，其橫坐

標為一3,問當t為何值時，四邊形MQDB的

周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

=9.

6、兩點對稱勺子型連接兩端求最小

PQ+QR+PR

過P點分別作射線。4、的對稱點入〃2

如圖，Z.AOB=45°,角內(nèi)有點P,P0=

連接。P1,OP2，PIB，QPI，RP2

10.花角的兩邊上有兩點Q,R（均不同

???QP=QPVRP=RP2

于。點），則△PQR的周長的最小值

AQPR的周長為QP+RP+QR

為.

vQP=QPltRP=RP2

QP+RP+QR=QP1+RP2+QR

當P],Q,/?,Pz四點共線時

QP、+RP2+QR玷小為P1P2

根據(jù)對稱性

LAOP=￡AOP1乙BOP=乙BOP?

OP=OPX=OP2=10

而乙4OP+Z.BOP=45°出OP?=90°

???P1P2=10V2

APQR周長最小值為10&

7、兩點對稱折線連兩端求最小

4C+CO+DB

如圖，乙40B=30°,點M、N分別在

邊04、。8上，且0M=l,ON=3,作M關(guān)丁。8的對稱點M',

作N關(guān)于。A的對稱點N',

點P、Q分別在邊。8、。4上，則MP+

連接M'N',即為MP+PQ+QN的最小值.

PQ+QN的最小值是.

根據(jù)軸對稱的定義可知：

/N'OQ=LM'OB=30°,乙ONN'=60°

.?.△ONN'為等邊三角形，

△0MM，為等邊二知形.

LN'OM'=90°

0PNB

M'N'=依+U=>/10M'

如圖，E,尸是正方形的邊力上兩個

48CDD在和AOC/中

動點，滿足力E=0F.連接Cf?交8。丁點G,

連接8E交4G1點H.若正方形的邊長為2,AB=DC

LBAD=乙CDF=90°

則線段DH長度的最小值是.(AE=DF

???AABE三ADCF(SAS)

Z.BEA=乙CFD

在A/1OG和AC。。中

AD=DC

Z.ADG=MDG=45°:，AAOG=ACDG(SAS)

(DG=DG

在AC。尸中,Z.CFD+ZDCF=90°

.?.在MHE中4HEA+/.HAE=90°SHE=90°

如圖，E,尸是正方形A8CD的邊AD上兩個

動點，滿足ZE=OF.連接CF交8。于點G,取力2?中點。，構(gòu)造兩定邊

連接BE交AG于點若正方形的邊長為2,???乙AH8=90°；.OH=^AB

則線段氏度的最小值是.

OH=-x2=1

DO=JAO2+AD2=V5

在AHO。中

HD>OD-OH=V5-1

當O,H,D:點共線時,取到等號

，。最小侑為右一1

9、時鐘模型，相似兩定邊求最小值

如圖所示.線段48為。。的直徑，點C

過OC作60°的直角T角出OCE

在A8的延長線卜..48=4,BC=2,點

連接EO

P是。。上一動點，連接CP，以CP為斜

易證明APCOs^DCE

邊/IPC的上方作Rt△PCD,且使

ECDCED1

:,—=—=—=—

ZDCP=60°,連接?！?,則0。長的最大OCPCPO2

1

值為.ED=-PO=1

OE=OCcos300=2V3

在△￡。。中，。。￡￡。+￡。

一：點共線取等號，城大值為2代+1

10、轉(zhuǎn)化構(gòu)造兩定邊求最值

如圖，在矩形4BCD中,AB=延長E。交4B于M

6,BC=8,4C與BD相交于0,E為。C易ilE明A0M8sAOED

：.DE=BM

的一點，過點。作OFJ.0E交BC于凡

連接MF

記d=VDE2+BF2,則d的最小值

d=>]DE2+BF2={BM?+BF2=MF

為________.

而易訐/MOF=90°

?22

AK_____________--D??MF=>j0M+OF

取MF中點N

連接BN、ON:.BN*MFON=^MF

MF=BN+ON

在△SON中BN+ON>OB

三點共線取等號???d的最小值為5

11.面積轉(zhuǎn)化法求最值

如圖所示,正方形4BCD的邊長為1,點P為連接4C,DP

BC上任意一點（可以與B點或C市.合），分???四邊J^ABCD足止:方形，止方膨ABC。的邊長為1

別過B,C,D作射線4P的垂線,垂足分別是

,-.AB=CD,S正方形4.0=1

B'.C.D'.則B8'+CC'+DD'的最大值與最

11

小值的和為____.,S&ADP->正方形/8C0=2

DC11

SMBP+SfCP=‘.ABC=2s止方形4BCD=2

SyBP+Sgcp+SMDP-1

1,1,1,

.'.-AP?B8'+/P?CC+-AP?DD'

222

=g/P?(B8'+CC'+DD')=1

/IB

則B8'+CC'+DD'=24P

如圖所示,正方形4BCD的邊長為1,點P為

BC上任意一點（可以與B點或C市合），分

別過B,C,。作射線4P的垂線，垂足分別是

B'.C.D',則BB'+CC+DD'的坡大值與坡

小值的和為一.

???1WAPW2.?.當P與3用合時，有最大值2:

當P與。重合時，有最小值低

a^BB'+CC'+DD'W2

BB'+CC'+DD'的最大值與最小值的和為企+2.

12、相似轉(zhuǎn)化法求最值

如圖，4B是。。的直徑，點C在0。上，D是

0。上的一個動點，UC.D兩點位于直任4B

當CD是直徑時，DE最長

的兩側(cè).連接CD,過點C作CEJ.CD交DB的

延長線上點E.若4C=2.BC=4,則線段???4B是直徑

DE長的最大值是_______.：.^ACB=90°

■.AB=\/AC2+BC2=2V5

???〃=ZD.^ACB=Z.DCE=90"

.?.△4BC-△DEC

.ABACan2V52

DECDDE2VS

；,DE=10

13.相似系數(shù)化一法求最值

連接OE,在。8I.取0F=g

己知4點坐標為(4,0)、8點坐標為(0,3).。。=

FOFWABOE中

2.E1為惻上動點，則鵑￡+AE的最小值

為________.‘乙BOE=乙EOF

OE_OF2

OB=OE=3

???△EOFs△BOE

EF22

-=---EF=-BE

24m

???-BE4-AE=EF+AE>AF=---

14、三角函數(shù)化一求最值

如圖所示.?條能宜的公路［穿過草原，公路邊仃

?消防站人距離公路5千米的地方布?居民點B,

48的直線距離是13「米,一天，居民點3若火，

消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最

快速度是80千米小時，而在草地上的最快速度是40

「米/小時，則消防下在出發(fā)后最快經(jīng)過小時

可到達居民點8.(友情提醒：消防車可從公路的任

點共處配上雙最小.他蚊小里面電線雙最小

意位置進入草地行駛.)■--DA+DO=DM+Dli.\B.D.Ml

過點8T8F1/iF^ADID*,ABftBC1/JC

WzCtfZr7FAD=30°,UC=S

B

,?5c510心56

13???5=531130。=亍,W=^3=M,5=12-亍

5

05V5

AD'F-AD'sin30=6-丁

----------------------i

■■-BF=BD，+D'F=6+?t的最小傷為崇x(6+小時

15、軌跡最值

如圖所示,在平面直角坐標系中，已知點

4的坐標為(3,4),N點是以點4為圓心，

半徑為3的惻上的任意動點，以。N為直角

邊作等腰直角-:角形OMN,且只點布第二

象限內(nèi)，求4M的最小值及最大值.易得點M是圓心為(-4,3),半徑為3的圓上面的點

4M最大44+2=2遮+34M最大44-2=2企-3

16.三動點的垂直三角形

過點P作4B對稱點M

如圖，在等邊二:角形ABC41,AB=4.P

過點P作4C對稱點N

是BC邊上的動點，Q是B4邊上.的動點，

貝IJ,QP=QM,HP=HN

H是"邊上的動點，則△PQH的周長的

的周長為

最小值為.△PQH

QP+PH+QH=QM+QH+HM

連接MN

△PQH的周氏的最小值為MN

當點P在BC的中點時,MN最小

3

MN=-BC=6

2

17、旋轉(zhuǎn)最值

如圖，當C、P、M、N四點共線時，P4+PB+PC最小

如圖,在△4BC中,乙4cB=90。，點P為

由旋轉(zhuǎn)可得，A4M/VSA/1PB

△4BC內(nèi)一點.以點4為旋傳中心，將4

PB=MN

4BP順時針旋轉(zhuǎn)60。行到連接

易得△4PM、△川3N都是等邊三角形

PA=PM

：.PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN

：.BN=AB=6,LBNA=60°,乙PAM=60°

MAN=LCAB+LBAN=600+60°=120°

“BN=90°

在Rt△ABC中，易得8c=\IAB2-AC2=V62-32=3於

在Rt△BCN中，CN=VBC2+BN2='27+36=3y/7

18、隱圓最值一定角動弦

如圖1所示，邊長為2的等邊△4BC的原

點4在X軸的正半軸上移動，NB0D=

30°,頂點A在射線。。上移動,則頂點C

到原點O的最大距離為以乙4OB為圓周角，48為弦，確

定動圓OQ，當O,Q,C二點共線

時，OC最大

19、隱圓最值-動角定弦

如圖1,AC為邊長為2的菱形ABCD的

對?角線，Z.ABC=60",點M、N分別

從點B、C同時出發(fā)，以相同速度沿

BC.CA向終點C和4運動，連接4M和

BN,則△4PB周長的最大值為

4BP4=120。動角4B定弦當AABP為等腰三角形時,其周長最大

動點最值類典型題練習

【題后思考】考查關(guān)于彳軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識.

3.如圖，48兩點在直線的兩側(cè)，點力到直線的距離/生4,點8到直線的距離8*1,且於4,

P為直線上的動點，|外-加I的最大值為.

【分析】作點8于直線/的對稱點加,則眸%'因而|外-陶二|〃-陽|,則當4&、

夕在一條直線上時，|川-加|的值最大.根據(jù)平行線分線段定理即可求得力和掰的值然后

根據(jù)勾股定理求得以、P&的值，進而求得|外-%|的最大值.

【解答】解：作點8于直線/的對稱點"，連/"并延長交直線/于2

：.&妙硼4,

過。點作8'D1.AM.

利用勾股定理求出彳￡=5

.?.|〃-內(nèi)|的最大值=5.

【躍后思考】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解

答此題的關(guān)鍵.

【分杪）取四的中點￡連接川、OE、DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可

得唱1彳8,利用勾股定理列式求出?！?然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得。。過

點F時最大.

【解答】解：如圖，取的的中點￡,連接初、OE、DEy

???/做*90°,傷2

二.循心［止1,

2

四邊形力的是矩形，

.?"。=叱1,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD^O&DE.

???當仍過點￡?是最大，最大值為五+1.

故答案為：72+1.

.V

匕二…”）本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三

角形的三邊關(guān)系，勾股定理，確定出勿過48的中點時值最大是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，線段彳夕的長為4,。為上一動點，分別以彳C、比為斜邊在48的同側(cè)作等腰直

角△/約和等腰直角△8CE,那么。￡長的最小值是.

/.-AP^Bff+>AACC+C以+DD')=1,

2222

2

貝ij附+ca+D0=—,

AP

?：10七41,

???當夕與8重合時，有最大值2；

當夕與C重合時，有最小值行.

???&W即+毆+D0W2.

故答案為：JIW8&+CC+D0W2.

【題后思考】此題考查了正方形的性質(zhì)、面積及等積變換問題.此題難度較大，解題的關(guān)鍵

是連接eW根據(jù)題意得到同“+S'1SAH1,繼而得到的+"+m'=2.

10.如圖，菱形48緲中，/東60°,4后3,GA06的半徑分別為2和1,P、E、尸分別是

邊緲、◎/和。8上的動點，則陽爐的最小值是.

【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出"與。重合時陽府的最小值，進而求出

即可.

【解答】解：由題意可得出：當夕與。重合時，《點在和上，F(xiàn)在BD上,此時陽府最小,

連接做

:.點、P到勿的距離為2x3=6,

2

???加弘的最小值為由.

故答案為：聲.

【題后思考】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利

用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵.

9.如圖所示，正方形/腦的邊長為1,點P為邊8c上的任意一點(可與8、C重合)，分別

過B、C、D作射線4。的垂線，垂足分別為￡、C、?！?，則的+"+D。的取值范圍

是.

【分析】首先連接4cDP.由正方形488的邊長為1,即可得：S&正機廿1,

22

二SE方用3F77,繼而可得二4G(8夕+CC+D0)=1,又由即

222

可求得答案.

【解答】解：連接4GDP.

???四邊形48緲是正方形，正方形48緲的邊長為1,

:.AB^CD、5正方海

?S\ioP~~S正方彩gjF二,S；g?+S,.加=￡\gF二S正力影布戶二,

??S、w+S/i+8

4.動手操作：在矩形紙片力此。中，止3,松：5.如圖所示，折疊紙片，使點4落在為邊上

的/'處，折痕為當點4在外邊上移動時，折痕的端點只0也隨之移動.若限定點戶、

0分別在力氏力。邊上移動，則點片在8c邊上可移動的最大距離為.

B,_____________C

【分析】本題關(guān)鍵在于找到兩個極端，即外‘取最大或最小值時，點夕或。的位置.經(jīng)實驗

不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點夕與8重合時，BAf取最大值3和當點。與。重合時，BAf的最小值

1.所以可求點4在防邊上移動的最大距離為2.

【解答】解：當點〃與6重合時，BA'取最大值是3,

當點。與。重合時（如圖），由勾股定理得4C4,此時縱’取最小值為1.

則點4在外邊上移動的最大距離為3-1:2.

故答案為：2

D(Q)

【尸：月;】本題考查了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應用等知識，難度稍大，

學生主要缺乏動手操作習慣，單憑想象造成錯誤.

5.如圖，直角梯形紙片/18曲ADLAB.X故8,AHC=4,點、E、尸分別在線段48、加上，將

△46■沿爐翻折，點4的落點記為2當P落在直角梯形48如內(nèi)部時，外的最小值等

于____________.

DPC

B

【分析】設妗&除47,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì),得出C吟"第4“7)，

根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解.

【解答】解：設AQx,小4-乂

???△48C,△成。均為等腰直角三角形，