湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第2章2-3-1一元二次不等式及其解法課件

2.3.1一元二次不等式及其解法第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3一元二次不等式學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．(重點(diǎn))2．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系．(重點(diǎn))1．從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．在學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法的過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．已知一元二次函數(shù)y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．(1)試寫(xiě)出一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是什么？(3)問(wèn)題(1)中的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與問(wèn)題(2)中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？(4)觀察二次函數(shù)圖象，當(dāng)x滿(mǎn)足什么條件時(shí)，圖象在x軸的上方？(5)能否利用問(wèn)題(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識(shí)點(diǎn)1一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)______，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是___的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)未知數(shù)2思考a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作關(guān)于a的一元二次不等式嗎？[提示]

可以．

A

[只有③是一元二次不等式，故選A．]√判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象

知識(shí)點(diǎn)2一元二次不等式與相應(yīng)一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)沒(méi)有實(shí)根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_____________

{x|x<x1或x>x2}R判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_________________________{x|x1<x<x2}??提醒一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，要充分利用這個(gè)關(guān)系解題．體驗(yàn)2．二次函數(shù)y＝x2－5x的圖象如圖所示．(1)若y>0，則x滿(mǎn)足的條件是____________；(2)若y≤0，則x滿(mǎn)足的條件是________．體驗(yàn)3．不等式x2＋3x＋6<0的解集為_(kāi)_______．x<0或x>50≤x≤5??

[∵Δ＝9－4×6＝－15<0，∴不等式x2＋3x＋6<0的解集為?．]知識(shí)點(diǎn)3解一元二次不等式的步驟解形如ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)的一元二次不等式，一般可分為三步：(1)確定對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)畫(huà)出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的大致圖象；(3)由圖象得出不等式的解集．對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的一元二次不等式，可先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再按上述步驟求解．類(lèi)型1一元二次不等式的求解【例1】

(對(duì)接教材P53例題)解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0．關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

(4)因?yàn)閤2－2x＋2＝0的判別式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0無(wú)解．又因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2－2x＋2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以原不等式的解集為R．反思領(lǐng)悟

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)．通過(guò)對(duì)不等式變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．(2)判別式．對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求實(shí)根．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根．(4)畫(huà)草圖．根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．(5)寫(xiě)解集．根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．解下列不等式．(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．[解]

(1)不等式可化為4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以不等式的解集是?．(2)由題意知不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，故不等式的解集是{x|3<x<7}．

類(lèi)型2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0．(1)對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類(lèi)進(jìn)行討論？(2)當(dāng)a≠0時(shí)，是否還要比較兩根的大?。?/p>

反思領(lǐng)悟

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．解關(guān)于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a＞0(a∈R)．

類(lèi)型3三個(gè)“二次”的關(guān)系【例3】已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．以不等式的解集端點(diǎn)同相應(yīng)方程根的關(guān)系，思考如何建立參數(shù)a，b，c同實(shí)數(shù)根2，3的關(guān)系，進(jìn)而解不等式．

[母題探究](變結(jié)論)本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

反思領(lǐng)悟

一元二次不等式解集逆向應(yīng)用問(wèn)題的解法及步驟(1)求解方法由已知不等式的解可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩根，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，找出系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，寫(xiě)出不等式的解集．(2)求解步驟第一步：審結(jié)論——明確解題方向如要解cx2＋bx＋a<0，首先確定c的符號(hào)，最好能確定a，b，c的值．第二步：審條件——挖掘題目信息利用一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關(guān)系，列出關(guān)于a，b，c的方程組，用a表示b，c．第三步：建聯(lián)系——找解題突破口由給定不等式的解集形式→確定關(guān)于a，b，c的方程組→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)√23題號(hào)41

23題號(hào)41√D

[因?yàn)棣ぃ?－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集為R．]3．若不等式ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝ax2－x－c的圖象為(

)23題號(hào)41A

BC

D√B

[由題意可知，a<0且－2，1是圖象y＝ax2－x－c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象可知B正確．]23題號(hào)41

23題號(hào)41

回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．求解一元二次不等式解集的步驟有哪些？[提示]

(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，(2)計(jì)算判別式Δ，(3)求對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根，(4)結(jié)合圖象寫(xiě)解集．2．含參數(shù)的一元二次不等式常從哪些方面討論求解？[提示]

(1)關(guān)于不等式類(lèi)型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a>0，a