精講精煉（必修第二冊）9.2用樣本估計總體

9.2用樣本估計總體（精講）

思維導(dǎo)圖

①求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差

②決定組距與組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組時，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力

求“取整”，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈

現(xiàn)出來.

③將數(shù)據(jù)分組

制作頻率

分布直方小組頻數(shù)

④列頻率分布表:各力鑰的頡率=

圖步驟樣本容量一

⑤畫頻率分布直方圖:縱軸表示禁，翌實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的

組距組距

高度，小長方形的面積=組距X粵爰=頡率.

組距

用

樣

①因為小矩形的面積=組於*鬟=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頡率

本

組距

估

計②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1

總頻率分布

直方圖性質(zhì)頡數(shù)

體=樣本容量.

相應(yīng)的頻率

扇形圖-直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例

--------------------

直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

條形圖?離散型數(shù)據(jù)

常見統(tǒng)計圖表直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率

直方圖X一一

—a連續(xù)型數(shù)據(jù)

折線圖,數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢

----------------------------------

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中

至少有P%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-P）%的數(shù)據(jù)大

定義Q于或等于這個值__________________________________________________

常用的四分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)，第75百分位數(shù)

百分位數(shù)式其它常用的百分位數(shù)：第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位

百

分A數(shù)，第99百分位數(shù)

位

數(shù)①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；

②計算i=nXp%；

解題③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第P百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);

步驟八若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

<9--------------------------------------------------------------------------

用特征數(shù)莖葉圖頻率分布宜方圖

樣出現(xiàn)播最多最高長方影的組中偵

平均數(shù)「占??

本f*3+”+*i=￡（組中值顏率）=￡曲中佰?s.）

n

估中位數(shù)一組轆技大力侏次排列.處于最中間位置頻率分布直方圖中位數(shù)左邊和右邊的小長方形

的健最中間兩個整喇干均敢）的面桶o是相等的及兼率等于0.5的橫坐標(biāo)

計

方差

總￡（百一；）'=￡（上一7），，

°UiI

體

-外耳

Vn*4、1

雌平均數(shù)嚏方差金

Xpx>x...xs2

123nX

特征數(shù)《2

芍+b、毛+b、x3+b...xM+bx+bS

ax^ax［、axr.,ax^axa2s2

%+b、ar+bx22

12ax+bas

常見考法

考點一頻率分布直方圖

考點二常見統(tǒng)計圖表

用樣本估計總體k=>-H考點三百位分數(shù)

考點四特征數(shù)

考點五綜合運用

考點一頻率分布直方圖

【例1-1](2021?全國?高一課時練習(xí))有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[10,15),

4；[15,20),5；[20,25),10；[25,30),11；[30,35),9；[35,40),8；[40,45],3.

(1)求出樣本中各組的頻率；

(2)畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖.

【答案】

(1)答案見解析

(2)答案見解析

【解析】(1)

解：由所給的數(shù)據(jù)，可得下表：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)40.08

[15,20)50.10

[20,25)100.20

[25,30)110.22

[30,35)90.18

[35,40)80.16

[40,45]30.06

（2）解：頻率分布宜方圖如圖①所示，頻率折線圖如圖②所示.

頻率

A汨陽

圖①

頻率

圖②

【例1-2］（2021?吉林?長春十一高）某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況，從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中

隨機抽取〃份試卷進行成績分析，得到數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在［50,60）的學(xué)生人

數(shù)為6.

(1)求直方圖中X的值；

⑵求"的值；

(3)試根據(jù)樣本估計“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績N70”的概率.

【答案】(Dx=O.O3；(2)50：(3)0.7.

【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

(0.012+0.018+x+0.024+0.016)xl0=l.

解得x=0.03.

⑵??,成績在［50,60)的學(xué)生人數(shù)為6,

山頻率分布直方圖得成績在［50,60)的學(xué)生所占頻率為：0.012x10=0.12,

:."=---=50.

0.12

(3)根據(jù)樣本估計“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績N70”的概率：

/?=l-(0.012+0.018)xl0=0.7.

【一隅三反】

1.(2021?全國?高一單元測試)某制造商生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球，現(xiàn)隨機抽樣檢查20個，測得每

個球的直徑(單位：mm,保留兩位小數(shù))如下：

40.0340.0039.9840.0039.9940.0039.98

40.0139.9839.9940.0039.9939.9540.01

40.0239.9840.0039.9940.0039.96

(1)完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖;

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

[40.01,40.03]

合計

（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為10000,試根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估

計這批產(chǎn)品的合格個數(shù).

【答案】（1）頻率分布表見解析，頻率分布直方圖見解析：（2）8500.

【解析】（1）頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

139.95,39.97)20.10

139.97,39.99)40.20

[39.99,40.01)100.50

[40.01,40.03]40.20

合計201.00

頻率分布直方圖如圖.

頻率

39.9539.9739.9940.0140.03直徑/min

⑵?.?抽樣的20個產(chǎn)品中直徑（單位：mm）在［39.98,40.02］范圍內(nèi)的有17個,

17

，合格品頻率為2*100%=85%.

A10000x85%=8500.

故根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，可以估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù)為8500.

2.(2021?四川省南充市李渡中學(xué))對某校高一年級學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽

取歷名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù).據(jù)此作出頻數(shù)和頻率統(tǒng)計表及頻

率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)50.25

[15,20)12n

[20,25)mP

[25,30]10.05

合計M1

頻率

組距

。v,1015202530次數(shù)

(1)求出表中“，。及圖中“的值；

(2)若該校高一學(xué)生有720人，試估計他們參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的人數(shù).

【答案】⑴M=20,p=O.l,a=0.12；(2)432A.

【解析】解：(1)根據(jù)頻率分布表，得；

—=0.25,

M

,樣本容量為20；

.?./n=20-5-12-1=2,

2

「?對應(yīng)的頻率為0=方=01，

12.

〃=—=0.6?

20

呀蒜二°』2；

(2)參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在［15,20)內(nèi)的頻率為0.6,

???估計參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在U5,20)內(nèi)的人數(shù)為

720x0.6=432(人).

3.(2021?陜西富平?高一期末)為了了解某地高中學(xué)生的體能狀況，抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測

試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如圖.為提高本地學(xué)生的身體素質(zhì)，教育主管部門要求，每

分鐘跳繩不超過120次的學(xué)生，需要增加平時體育鍛煉的時間.

(1)求x值;

(2)若該地區(qū)有6000名高中學(xué)生，估計其中需要增加平時體育鍛煉時間的人數(shù).

【答案】(1)0.019；(2)2700.

【解析】(1)由題意(0.004+x+().022+0.025+0.015+0.01+0.005)x1()=1,解得x=0.019；

(2)由頻率分布直方圖求出每分鐘跳繩不超過120次的頻率為(0.004+0.019+0.022)x10=0.45,

需要增加平時體育鍛煉時間的人數(shù)為6000x0.45=2700.

考點二常見統(tǒng)計圖表

【例2-1】(2021蠕龍江齊齊哈爾)某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示.該

商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了5%的顧客進行滿意度調(diào)查，得

到的數(shù)據(jù)如圖2所示.下列說法正確的是()

A.總體中對平臺一滿意的消費人數(shù)約為35

B.樣本中對平臺二滿意的消費人數(shù)為300

C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費總?cè)藬?shù)為50

D.若樣本中對平臺三滿意的消費人數(shù)為120,則加=80%

【答案】C

【解析】對于A：總體中對平臺一滿意的人數(shù)為2000x35%=700,故選項A錯誤；

對于B：樣本中對平臺二滿意的人數(shù)約為1500x5%x20%=15,故選項B錯誤；

對于C：樣本中對平臺-和平臺二滿意的總?cè)藬?shù)為：2000x5%x35%+1500x5%x20%=35+15=50,故選

項C正確；

120

對于D：對平臺三的滿意率為=96%,所以加=96%,故選項D錯誤.

2500x5%

故選：C.

【例2-2］（2021?湖南永州）“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟發(fā)展的新增長點，某電商平臺的直播間經(jīng)營

化妝品和服裝兩大類商品，2020年前三個季度，該直播間每個季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，

A.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍

B.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

C.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的1

0

D.該直播間第三季度服裝收入高于前兩個季度的服裝收入之和

【答案】B

【解析】對于選項A,因為該直播間每個季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的總收入

是第一季度的2x2=4倍，故A錯誤；

對于選項B,設(shè)第一季度的總收入為a,則第二季度、第三季度的總收入分別為2“,4a,

第二季度的化妝品收入為2ttx20%=0.4”，第三季度的化妝品收入為4ax30%=1.2”，

所以第二季度化妝品收入是第：季度化妝品收入的竽=:，故B正確；

1.2〃3

對于選項C,第一季度的化妝品收入為axio%=o.la,所以第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的

當(dāng)=占，故C錯誤；

1.2a12

對于選項D,第一、：季度服裝收入和為a+2a-0.1a-0.4。=2.5。，第三季度服裝收入為4a-1.2a=2.8”，

故D錯誤.

故選：B

【一隅三反】

1.（2021?內(nèi)蒙古赤峰）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙

三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）

C.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

D.若機動車最高限速80km/h,在相同條件下，乙，丙兩輛車節(jié)油情況無法比較.

【答案】B

【解析】由題吁知，當(dāng)乙車速度大于40km/h時，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5km,A錯誤；

甲車以80km/h的速度行駛時,燃油效率為lOkm/L,則行駛lh消耗8L汽油,B正確;

以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三輛車中甲車消耗汽油最少，C錯誤；

在機動車最高限速80km/h在相同條件下，丙車比乙車燃油效率更高，所以更節(jié)油，D錯誤.

故選：B

2（2021?全國?高一課時練習(xí)）（多選）如圖所示的兩個扇形統(tǒng)計圖分別統(tǒng)計了某地2010年和2020年小學(xué)生

參加課外興趣班的情況，已知2020年當(dāng)?shù)匦W(xué)生參加課外興趣班的總?cè)藬?shù)是2010年當(dāng)?shù)匦W(xué)生參加課外

興趣班的總?cè)藬?shù)的4倍，則下列說法正確的是（）

202陣

□美術(shù)口音樂皿語言表演口編程

A.2020年參加音樂興趣班的小學(xué)生人數(shù)是2010年參加音樂興趣班的小學(xué)生人數(shù)的4倍

B.這10年間，參加編程興趣班的小學(xué)生人數(shù)變化最大

C.2020年參加美術(shù)興趣班的小學(xué)生人數(shù)少于2010年參加美術(shù)興趣班的小學(xué)生人數(shù)

D.相對于2010年，2020年參加不同課外興趣班的小學(xué)生人數(shù)更平均

【答案】ABD

【解析】設(shè)2010年參加課外興趣班的小學(xué)生總?cè)藬?shù)為“，則2020年參加課外興趣班的小學(xué)生總?cè)藬?shù)是4a：

由統(tǒng)計圖可知，2010年參加音樂興趣班的小學(xué)生人數(shù)是ax21%=0.21a,

2020年參加音樂興趣班的小學(xué)生人數(shù)是44x21%=0.84a,故A正確.

這10年間參加編程興趣班的小學(xué)生人數(shù)變化量為4ax32%-ax5%=1.23a,

這10年間參加語言表演的小學(xué)生人數(shù)變化量為4?x20%-axl4%=0.66a,

這10年間參加音樂的小學(xué)生人數(shù)變化量為4ax21%-ax21%=0.63”，

這10年間參加美術(shù)的小學(xué)生人數(shù)變化量為44x27%-ax60%=0.48a,

所以這10年間參加編程興趣班的小學(xué)生人數(shù)變化量最大，故B正確.

2020年參加美術(shù)興趣班的小學(xué)生人數(shù)為4ax27%=1.08a,2010年參加美術(shù)興趣班的小學(xué)生人數(shù)為

ax60%=0.6a,1.08a>0.6a.故C不正確,

根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的比例分布，可知D正確.

故選：ABD

3.(2021?全國?高一課時練習(xí))現(xiàn)在的青少年由于沉迷電視、手機、網(wǎng)絡(luò)游戲等，視力日漸減退，某市為

了了解學(xué)生的視力變化情況，從全市九年級隨機抽取了1500名學(xué)生，統(tǒng)計了每個人連續(xù)三年視力檢查的結(jié)

果，根據(jù)視力在4.9以下的人數(shù)變化制成折線統(tǒng)計圖，并對視力下降的主要因素進行調(diào)查，制成扇形統(tǒng)計

圖，如圖.

解答下列問題：

(1)圖中〃所在扇形的圓心角度數(shù)為;

(2)若2019年全市共有30000名九年級學(xué)生，請你估計視力在4.9以下的學(xué)生有名.

【答案】54°16000

【解析】⑴根據(jù)題意得360。*(1-40%-25%-20%)=54。.

(2)因為30000x黑=16000,所以估計視力在4.9以下的學(xué)生有16000名.

故答案為：54°；16000.

考點三百位分數(shù)

【例3】(2021?廣東?仲元中學(xué)高一期末)已知10個數(shù)據(jù)：4,5,6,7,8,8.5,9,10,11,11.5,則這

組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)是()

A.8B.7C.8.5D.7.5

【答案】D

【解析】因為從小到大排列為4,5,6,7,8,8.5,9,10,11,11.5,共10個數(shù)據(jù)，10x40%=4,

71Q

所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項與第5項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即^=7.5,

故選：D.

【一隅三反】

1.（2021-安徽省渦陽第一中學(xué)）高二年級一名學(xué)生一年以來7次考試數(shù)學(xué)成績（滿分150分）依次為100,

120,117,98,135,124,89.則這名學(xué)生7次月考數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)為（）

A.100B.117C.120D.122

【答案】C

【解析】將成績按從小到大的順序排列89,98,100,117,120,124,135,

又因7x70%=4.9,

所以這名學(xué)生7次月考數(shù)學(xué)成績的第70百分位數(shù)為第5個數(shù)據(jù)，即120.

故選：C.

2.（2021?云南）通過抽樣調(diào)查得到某棟居民樓24戶居民的月均用水量數(shù)量（單位：t）,將其按從小到大

排序如下：

2.13.23.24.34.35.56.78.99.49.59.59.9

10.110.511.111.212.514.815.215.318.419.020.822.4

則估計這24戶居民的月均用水量的第25百分位數(shù)為（）

A.4.3B.5.5C.6.1D.6.7

【答案】C

【解析】

24x25%=6,因為第6個和第7個數(shù)據(jù)分別為5.5和6.7,

所以估計這24戶居民的月均用水量的第25百分位數(shù)為

故選：C

3.（2021-黑龍江?大慶實驗中學(xué)高）某公園對“十一”黃金周7天假期的游客人數(shù)進行了統(tǒng)計，如下表:

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

旅游人數(shù)

1.52.22.23.81.42.30.6

（萬）

則該公園“十一”黃金周7天假期游客人數(shù)的平均數(shù)和第75百分位數(shù)分別是（）

A.2萬、2.2萬B.2萬、2.25萬C.2.2萬、2.2萬D.2萬、2.3萬

【答案】D

【解析】游客人數(shù)的平均數(shù)為L5+Z2+22+378+1.4+2.3+°.6=2,

將數(shù)據(jù)由小到大排列。6,1.4,1.5,2.2,2.2,2.3,3.8,

7x75%=5.25,.?.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是2.3,故選：D.

考點四特征數(shù)

【例4-1]（2021?云南?玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)）某研究機構(gòu)為了實時掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\行情況，在某服

務(wù)區(qū)從小型汽車中抽取了80名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段:

[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列結(jié)論錯誤

的是（）

頻率

A.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為77.5

B.這80輛小型車輛車速的中位數(shù)的估計值為77.5

C.這80輛小型車輛車速的平均數(shù)的估計值為77.5

D.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計車速超過75km/h的概率為0.65

【答案】C

【解析】對于A：由圖可知，眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的值至羅=77.5,故A正確.

對于B：[60,65）,[65,70）,[70,75）所對應(yīng)的矩形的面積分別為005,0.1,0.2,其和為0.35<0.5,而[75,80）

對應(yīng)的矩形面積為0.3,因此中位數(shù)的估計值為75+”皆至x5=77.5,故B正確.

對于C：平均數(shù)的估計值為62.5x0.05+67.5*0.1+72.5x0.2+77.5*0.3+82.5x0.25+87.5x0.1=77,故C錯誤.

對于D：估計車速超過75切7/〃的概率為（0.06+0.05+0.02）x5=0.65,故D正確.

故選：C.

【例4-2】（2021嘿龍江?大慶中學(xué)）如果數(shù)據(jù)再，%的平均數(shù)為"方差為S2,則5內(nèi)+2,5々+2,

…，5x.+2的平均數(shù)和方差分別為（）

A.x，§B.5嚏+2，52C.5x+2,25s*D.x>25s2

【答案】c

【解析】?"，乙的平均數(shù)為上

x,+x,H-----l-xn=nx,

/.5x,+2,5々+2,…5%+2的平均數(shù)是：

（5%+2+5*2+2?一+5斗+2）+〃=[5（芭+々+.”+%）+2〃[十"=（5〃x+2〃）+”=5x+2.

?.?占，七，…，X"的方差為『，

.?.5%+2,5x2+2,…5x,+2的方差是:

+2-5x-2）+（5x,+2-5x-2）~+?■?+（5x,+2-5x-2

=25.*.

故選：C.

【一隅三反】

1.（2021?全國?高一課時練習(xí)）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生

大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四

地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,眾數(shù)為0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為1,中位數(shù)為1

【答案】D

【解析】對4???平均數(shù)和中位數(shù)不能限制某一天的病例超過7人，如0,0,0,0,4,4,4,4,6,8,

?'.A不正確；

對樂?.?平均數(shù)和眾數(shù)不能限制某一天的病例超過7人，如0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,

二6不正確：

對G：中位數(shù)和眾數(shù)不能限制某一天的病例超過7人，如0,0,0,0,2,2,3,3,3,8,

二,不正確；

對〃：假設(shè)過去10天新增疑似病例數(shù)據(jù)存在一個數(shù)據(jù)”,x28,而總體平均數(shù)為1,則過去10天新增疑似

病例數(shù)據(jù)中至少有7個0,故中位數(shù)不可能為1,

所以假設(shè)不成立，故符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志，

???〃正確；

故選:D.

2.（2021?云南師大附中）袁隆平院士是中國雜交水稻事業(yè)的開創(chuàng)者，是當(dāng)代神農(nóng),50多年來，他始終在農(nóng)

業(yè)科學(xué)的第一線辛勤耕耘、不懈探索，為人類運用科技手段戰(zhàn)勝饑餓帶來了綠色的希望和金色的收獲.袁老

的科研團隊發(fā)現(xiàn)“野敗”后，將其帶回實驗，在試驗田中隨機抽取了100株水稻統(tǒng)計每株水稻的稻穗數(shù)（單

位：顆）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），則下列說法錯誤的是

（）

O.OI75!■里里-----—

0.0075--------———

0.005-----

0002^―—--——————————..——.--―-j

-012002202402602M300320

A.a=0.01

B.這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間［280,300）中

C.這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250

D.這100株水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間［240,260）中

【答案】B

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖知：組距為20,所以。=，-00175-0.0075x2-0.005-0.0025=0.01,故A選項

正確；

這100株水稻的稻穗數(shù)平均值；=20x（0.005x210+0.0075x230+0.0175x

250+0.01x270+0.0075x290+0.0025x310）=256,可知這100株水稻的稻穗數(shù)平均值在區(qū)間［240,260）中，故B

選項錯誤；

由頻率分布直方圖知第三個矩形最高，所以這100株水稻的稻穗數(shù)的眾數(shù)是250,故C選項正確；

前兩個矩形的面積是0.25<0.5,前三個矩形的面枳是0.6>0.5,所以中位數(shù)在第三組數(shù)據(jù)中，即這100株

水稻的稻穗數(shù)的中位數(shù)在區(qū)間1240,260）中，故選項D正確，

故選：B.

3.（2021?湖北省直轄縣級單位）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的

形態(tài)有關(guān)，在下圖兩種分布形態(tài)中，4,b,c,d分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是（）

A.。為中位數(shù)，匕為平均數(shù)，。為平均數(shù)，d為中位數(shù)

B.“為平均數(shù)，匕為中位數(shù)，c為平均數(shù)，”為中位數(shù)

C.“為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)

D.〃為平均數(shù)，。為中位數(shù)，。為中位數(shù)，d為平均數(shù)

【答案】A

【解析】解：在頻率分布直方圖中，

中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，

平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再相加之和，

結(jié)合兩個頻率分布直方圖得：

。為中位數(shù)，b為平均數(shù)，。為平均數(shù)，"為中位數(shù).

故選：A.

4.（2021?遼寧丹東）高三（1）班男女同學(xué)人數(shù)之比為3:2,班級所有同學(xué)進行踢鍵球（鍵子）比賽，比賽規(guī)則

是：每個同學(xué)用腳踢起踵球，落地前用腳接住并踢起，腳接不到穰球比賽結(jié)束.記錄每個同學(xué)用腳踢起壁球

開始到鍵球落地，腳踢到建球的次數(shù)，已知男同學(xué)用腳踢到建球次數(shù)的平均數(shù)為17,方差為11,女同學(xué)用

腳踢到健球次數(shù)的平均數(shù)為12,方差為16,那么全班同學(xué)用腳踢到健球次數(shù)的平均數(shù)和方差分別為（）

A.14.5,13.5B.15,13C.13.5,19D.15,19

【答案】D

17x3a+12x2a

【解析】設(shè)男同學(xué)為3a人，女同學(xué)為2a人，則全班的平均數(shù)為=15,

3a+2a

設(shè)男同學(xué)為王，馬，L,4,,女同學(xué)為％,%，L,%“，則先+當(dāng)++^3?=3axl7=51（7,

K+%++3%=2〃XI2=24a,所以男同學(xué)的方差11=1工一”）「（士-廣）+_+（三“-17）①,女同學(xué)的方

3a

差16=（XT2『+（y2T++（%,72）2②;由①可得

2a

222

33tz=Xj+x2+,+毛：+3穌172-34(%+%2++&/,BP+x2+?+x3(^=900tz,由②可得

222

32a=y^+y^++y2o+-24c(j,+y2+..,+y2a)+2axl2,即城+宙++y2a=320a,所以全班同學(xué)的

方?差為(為—15)2+(/―15)~++(2,-]5)-+(%-]5)-+(%一]5)-++(丫2“一]5)

5a

即，[2+々2++芻:一30(%+工2++-3〃)+3+><15~+y2+%2++為J-3。(y+必++%“)+2axi5~

5a

900。一30x51。+3。x15?+320。-30x24a+2。x15?.

=-----------------------------------------------=1i9r

5a

故選：D

5.（2021?廣西?浦北中學(xué)）若〃個樣本1-%、1-/、1-&、…、1-%的平均數(shù)是-5,方差為3,則對

于樣本1+2%、1+2w、1+2天、L、1+2%的平均數(shù)與方差分別是（）

A.10、6B.10、-6C.13、6D.13、12

【答案】D

【解析】設(shè)占、々、X3、L、%的平均數(shù)為1方差為

則「一占+X2+X3++X“,2_(%7)-+(々-,+伍7)-+.，

n，s='

n

由題意可得-5=(1")+(12)+(13)++(—“)=]_4+W+X3++X,,

nn

=1—x,則x=6,

3—+[(l-X2)-(l-x)]+[(1-覆)-(1-川++

n

n

所以，樣本1+24、1+2々、1+2x3、L、l+2x”的平均數(shù)為

—(1+2K)+(1+2/)+(1+2七)+■+(1+2天)2(玉+X2+毛++玉)

nn

=1+lx=13，

方差為小_[(1+2E)-(1+2,]+[(1+2/)-(l+2x)]+[(1+2七)-(l+2x)]++[(l+2x,)-(l+2x)]

n

故選：D.

考點五綜合運用

[例5]（2021?全國?高一專題練習(xí)）某高校在2019年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試

成績（滿分200分），按成績分組，得到的頻率分布表如下:

組號分組頻數(shù)頻率

第1組[160,165)50.05

第2組[165,170)①0.35

第3組[170,175)30②

第4組[175,180)200.20

第5組[180,185]100.10

合計1001.00

°lex）16517（）17518（）185成績/分

（1）請先求出頻率分布表中①②處應(yīng)填寫的數(shù)據(jù)，并完成如圖所示的頻率直方圖；

（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生

進入第二輪面試，求第3,4,5組每組各應(yīng)抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試.

【答案】（1）①處應(yīng)填35,②處應(yīng)填0.30：直方圖見解析；（2）3,2,1.

【解析】（1）由題意可知，第2組的頻數(shù)為0.35X100=35,第3組的頻率為弓=0.30,

故①處應(yīng)填35,②處應(yīng)填0.30.

頻率直方圖如圖.

頻率

w

o.os

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

I6O16517O17518O185成績

(2)因為第3,4,5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，

抽樣比為2=4故第3組應(yīng)抽取30x1=3名學(xué)生，第4組應(yīng)抽取20x1=2名學(xué)生，第5組應(yīng)抽取

60101010

10x'=l名學(xué)生，

所以第3,4,5組應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為3,2,1.

【一隅三反】

1.(2021?廣西河池?高一月考)下圖是某班高三摸底考試數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)的頻率分布直方圖,

為激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)校決定對數(shù)學(xué)成績高于110分的同學(xué)進行獎勵.

(1)若圖中成績在［100/10］分數(shù)段的人數(shù)為10人,求此次考試應(yīng)獎勵的人數(shù)；

(2)用統(tǒng)計學(xué)知識估計數(shù)學(xué)成績在90分及以上的學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))