考點23 矩形與正方形（解析版）-中考數(shù)學備考復習重點資料歸納

考點23矩形與正方形

在命題趨勢

矩形和正方形是特殊平行四邊形中比較重要的兩個圖形，也是幾何圖

形中難度比較大的幾個圖形之一。其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題

背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較

大，需要加以重視。正方形單獨考察的較少，但是出現(xiàn)時也基本都是選擇題

的壓軸題，難度也較大。所以考生在這塊知識點的復習上，必須都要特別的

重視，不僅要熟練掌握矩形、正方形的性質(zhì)與判定，還要重點關(guān)注兩圖形附

帶的轉(zhuǎn)化思想的考察和舉一反三。

*知識導圖

一、矩形的性質(zhì)

二、矩形的判定

三、正方形的性質(zhì)和判定

四、各四邊形間的常見轉(zhuǎn)化

考向一：矩形的性質(zhì)

矩形的對邊平行且相等

矩形的矩形的四個角都是直角

性質(zhì)矩形的對角線相等且互相平分

矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

聲一-----由

典惻引裾

1.下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（

A.對角線互相垂直B.對角線相等

C.對角線互相平分D.鄰邊互相垂直

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：；矩形的對角線互相平分且相等，鄰邊互相垂直，但矩形的對角線不一定

垂直，

.??矩形不定具有的是對角線互相垂直，

故選：A.

2.如圖，E,F,G,4分別是矩形A8C。四條邊上的點，已知EF_LGH,若48=2,BC=

A.3：2B.2：3C.4：9D.9：4

【分析】過點“作垂足為M,過點尸作垂足為M設HM,FE交

于點0,再證明△MHGs/XNFE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：過點“作垂足為M,過點尸作FNLAD,垂足為N,設HM,

FE交于點0,則MH=BC,

:.NENF=ZGMH=90°,

'：EF±GH,

：.NGHM+NH0E=NEFN+NFOM=90°,

又,：4H0E=4F0M,

：.NGHM=NEFN,

：./\MHGsANFE,

：.EF：GH=NF：HM=AB：BC=2：3.

故選：B.

3.如圖，在等邊△ABC中，CDLAB,垂足為Q,以A。，CO為鄰邊作矩形AOCE,連接

BE交CD邊于點F,則cos/CBE的值為（）

A.B.yV?c.-^V21D.-yV21

【分析】過點E作EH_L8C,在等邊AABC中設邊長為a,利用等邊三角形的性質(zhì)和矩

形的性質(zhì)表示出EC,8c的長度，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理求得C”,

EH,3E的長度，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理即可求得結(jié)論.

【解答】解：過點E作交8c的延長線于點”，如圖，

在等邊aABC中設邊長為a,

,：CD1.AB,AC=AB=BC^a,

'.AD=BD=^-a,

2

???四邊形4OCE為矩形，

；.EC=CO=L,ZDCE=90°.

2

,/ZVIBC為等邊三角形，

：.ZBAC=60°,ZBCD=AZ￡?AC=30°,

2

/.ZECH=60°.

■:EH工BC,

：.CH=EC*cos60Q=工，E//=EC-sin60°=?a

44

8H=BC+CE=a+L=2.

44

???B￡=VBH2+EH2=^Z-

5__

.?.cosNC8E=圖=4=r艮

BEV7_14

2a

故選：A.

4.如圖，矩形ABC。的對角線AC,BO相交于點。，過點。作OELBO,交8C于點E,

若C0=V3.CE=1,則BE的長為2.

【分析】利用矩形的性質(zhì)先求得AC=2?，NEBO=NACB,再證明△BOES/XCBA,即

可得解.

【解答】解：???四邊形A8CD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,NABC=90°,

?■?OA=OB=OC=OD=V3.

，AC=2?，ZEBO=ZACB,

\'OE±BD,

；.NBOE=/CBA=90°,

:.叢BOEs^CBA,

?OB_BE耳］_BE

"BC"AC'BE+1"2V3'

解得BE=2或B￡=-3（舍去），

故答案為：2.

5.如圖，在長方形ABC。中，48=4厘米，BC=6厘米，點E在邊BC上且BE=2EC,動

點尸從A點出發(fā)，先以每秒1厘米的速度沿A-8運動，然后以每秒2厘米的速度沿8

-C運動，再以每秒1厘米的速度沿C-D運動，最終到達點。.設點P運動的時間是/

秒，那么當f=2或」包或生時，三角形APE的面積等于5平方厘米.

-2-4-2―

【分析】由題意可得8￡=4厘米，EC=2厘米，再分四種情況：①當點P在邊48上時;

②當點P在邊2c上，且在點E右側(cè)時；③當點P在邊BC上，且在點E右側(cè)時；④當

點P在邊C力上時.根據(jù)三角形APE的面積等于5平方厘米分別列出方程，求解即可.

【解答】解：；BC=6厘米，BE=2EC,

厘米，￡C=2厘米，

①如圖，當點尸在邊A8上時，”=7厘米（0＜忘4）,

AP，BE=X4=5,

SAAPE4f

BE

解得:/=§；

2

②如圖，當點P在邊BC上,且在點E左側(cè)時，PE=4-2(r-4)=(12-2/)厘米(4

VW6),

SAAPE4PE，AB=I^X4=5,

解得：

4

③如圖，當點P在邊BC上，且在點E右側(cè)時，PE=2(/-4)-4=(2/-12)厘米(6

4W7),

SAAPE4PE'AB=^1X4=5,

解得：，=空＞7,不符合題意，舍去;

4

④如圖，當點P在邊CQ上時，CP=(z-7)厘米，DP=4-(r-7)=(11-f)厘米

S4ApE=S長萬彩ABCD-(SMUE+S^PEC+SMDP)

=AB'BC-(yBE-AB+|cE'CP+yAD'DP)

=4義6-(yX4X4-+^X2-^1^X6)

=2t-10,

則2t-10=5,

解得：?=生.

2

綜上，當f=$或型或生時，三角形APE的面積等于5平方厘米.

242

故答案為：金或」包或生.

242

考向二：矩形的判定

有一個角是直角的平行四邊形是矩形

矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形

判定四個角都相等的四邊形是矩形

對角線相等的平行四邊形是矩形

對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

拓展矩形的面積等于兩鄰邊的積

典例引4s

1.如圖，已知平行四邊形ABC。的對角線AC與8。相交于點。，下列結(jié)論中，不正確的

是（）

A.當ABLA。時，四邊形ABCQ是矩形

B.當ACJ_BO時，四邊形A8CZ）是菱形

C.當04=08時-，四邊形ABCO是矩形

D.當AB=AC時，四邊形ABCD是菱形

【分析】利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正

確的選項.

【解答】解：A.'：ABLAD,

；.NBAD=90°,

平行四邊形ABC。是矩形，

故結(jié)論正確，但不符合題意；

B.'：ACLBD,

平行四邊形A8c。是菱形，

故結(jié)論正確，但不符合題意；

C.?..四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AO=-1AC,BO=LBD,

22

又：OA=O2,

：.AC=BD,

.?.平行四邊形A8CO是矩形，

故結(jié)論正確，但不符合題意；

D.當A8=AC時，四邊形A8CD不一定是菱形，

故結(jié)論錯誤，符合題意.

故選：D.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，M、N是8。上兩點，BM=DN,連接AM、MC、CN、

NA,添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（)

A.MB=MOB.OM=^ACC.BD1ACD.ZAMB=ZCND

2

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，OA=OC,OB—OD,再證OM=OM則四邊形4WCN

是平行四邊形，然后證MN=AC,即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是OM=AC,理由如下:

四邊形ABCD是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

?.,對角線上的兩點M、N滿足BM=DN,

：.0B-BM=OD-DN,

即OM=ON,

：.四邊形AMCN是平行四邊形，

?：OM=1AC,

2

：.MN^AC,

.??四邊形AMCN是矩形.

故選：B.

3.四邊形A8GD的對角線相交于點。，且OA=OB=OC=OO,ZAOB=60Q,則A8：AC

=1：2.

【分析】求出AC=8。，根據(jù)矩形的判定得出即可，求出△A03是等邊三角形，求出A8

=A0,即可得出答案.

【解答】解：

*：OA=OB=OC=OD,

：.AC=BD,

???四邊形48co是矩形；

VZAOB=60°,OA=OB,

/-Z\AO8是等邊三角形，

:.AB=AO=BO=1AC,

2

：.AB：AC=1：2,

故答案為：1：2.

4.如圖，平行四邊形A8CQ中，AB=6cm,BC=\0cm,NB=60°,點G是CQ的中點,

點E是邊上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點片連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CED尸是平行四邊形;

(2)①直接寫出：當AE=4cm時,四邊形CE￡>F是菱形(不需要說明理由);

②當時，四邊形CED尸是矩形，請說明理由.

【分析】(1)證△CFG絲△EQG,推出FG=EG,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可;

(2)①證△CDE是等邊三角形，推出CE=3E,再根據(jù)菱形的判定推出即可.

②求出△MBA絲推出/CEO=NAMB=90°,再根據(jù)矩形的判定推出即可.

【解答】(1)證明：???四邊形48C。是平行四邊形，

.,.BC//AD,

:"FCG=NEDG,

；G是CO的中點，

：.CG=DG,

在△CFG和△OEG中，

rZFCG=ZEDG

-CG=DG，

ZCGF=ZDGE

，△CFG和△OEG(ASA),

:.FG=EG,

又,：CG=DG,

二四邊形CEDF是平行四邊形.

(2)解：①當AE=4c/w時，四邊形CE。廠是菱形，理由如下：

；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=]0cm,CD=AB=6cm,NCDE=NB=60°,

AE=4cm,

：.DE=AD-AE=6cm9

:?DE=CD,

???△8E是等邊三角形，

:?CE=DE,

???四邊形CED尸是平行四邊形,

平行四邊形CED廠是菱形，

故答案為：4；

②當AE=7時，平行四邊形CEDF是矩形，理由如下:

如圖，過4作AM_LBC于M,

?.?/8=60°,AB=6cm,

：.BM=lAB=3cm,

2

"：AE=lcm,

：.DE^AD-AE=3cm=BM,

在△MB4和△￡￡>(7中，

<BM=DE

?ZB=ZCDA>

AB=CD

:.叢MBA迫XEDC(SAS),

...NCEO=/4WB=90°,

???四邊形CEDF是平行四邊形,

平行四邊形CEDF是矩形，

故答案為：7.

考向三：正方形

正方形的性質(zhì)正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì)

有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

正方形的判定有一組鄰邊相等的矩形是正方形

有一個角是直角的菱形是正方形

對角線相等且互相平分的四邊形是正方形

拓展正方形的問題通常轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的問題來探究

___y

典例引頷

1.卡列鋪法錯板的是（）

A.有一個角為直角的菱形是正方形

B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

C.對角線相等的菱形是正方形

D.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

【分析】正方形：四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等，且互相垂直平分的平

行四邊形；

菱形：四條邊都相等，對角線互相垂直平分的平行四邊形：

矩形：四個角都相等，對角線相等的平行四邊形.

【解答】解：4、有一個角為直角的菱形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角，則

該菱形是正方形.故本選項說法正確；

8、有一組鄰邊相等的矩形的特征是：四條邊都相等，四個角都是直角.則該矩形為正方

形.故本選項說法正確；

C、對角線相等的菱形的特征是：四條邊都相等，對角線相等的平行四邊形，即該菱形為

正方形.故本選項說法正確；

對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.故本選項說法錯誤；

故選：D.

2.如圖，以正方形A8CC的邊AB為一邊向外作等邊△ABE,則的度數(shù)為()

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/D48=90°,AD=AB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出N

AE8=NE48=60°,求出AE=4力，求出180°-ZDAE)

2

=15°,再求出答案即可.

【解答】解：..?四邊形4BCO是正方形，

AZDAB=90°,AD=AB,

△4BE是等邊三角形，

AZAEfi=ZEAB=60°,AE=AB,

：.AE=AD,

：.ZAED^ZADE^^.(1800-ZDAE)=工X(180°-90°-60°)=15°,

22

AZAEB-ZAED=60°-15°=45°,

故選:B.

3.如圖，四邊形ABC。、CEFG均為正方形，其中正方形CE/G面積為36a?2,若圖中陰

影部分面積為10。層，則正方形ABCO面積為()

EF

A,/D\

BCG

A.6B.16C.26D.46

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與三角形的面積公式得出：陰影部分面積=上(CE2-8C5),

2

便可求得結(jié)果.

【解答】解：..?陰影部分面積=2OEX(8C+CG),

2

陰影部分面積=2_X(CE-DC)(BC+CG)(C￡2-BC2),

22

正方形CEFG面積為36C〃?2，圖中陰影部分面積為1Ocm2,

：.10=Ax(36-S正方形ABCD),

2

?,?5正方%A8c0=16，

故選：B.

4.如圖，E、F分別是正方形ABC。的邊C。、A。上的點，且CE=Z)F,AE、BF相交于點

O,下列結(jié)論：①AE=B尸；@AE±BF；③AO=OE；④S^AOB=S四邊形DEOF,其中正確

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得N8AF=NO=90°,AB=AD=CD,然后求出A尸=DE,

再利用“邊角邊”證明aABF和△D4E全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF,

從而判定出①正確；再根據(jù)全等三角形對應角相等可得NA8F=NDAE,然后證明/A8"

ZBAO=90°,再得到/AO8=90°,從而得出AELBF,判斷②正確；假設AO=OE,

根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得AB=BE,再根據(jù)直角三

角形斜邊大于直角邊可得8E>BC,即8E>A8,從而判斷③錯誤；根據(jù)全等三角形的面

積相等可得SAABF=S.DE,然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確.

【解答】解：???四邊形A8C。是正方形，

；.NBAF=ND=90°,AB^AD^CD,

,:CE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在△A8F和△〃￡中，

AB=AD

<ZBAF=ZD?

AF=DE

...△A8/WZXD4E(SAS),

：.AE=BF,故①正確；

ZABF=ZDAE,

'：ZDAE+ZBAO=90°,

：.ZABF+ZBAO=90°,

在△A50中，/AOB=180°-CZABF+ZBAO')=180°-90°=90°,

：.AELBF,故②正確；

假設AO=OE,如圖，連接BE,

"：AELBF（己證），

：.AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）,

?在RtZXBCE中，BE>BC,

：.AB>BC,這與正方形的邊長A8=8C相矛盾，

所以，假設不成立，AO^OE,故③錯誤：

??SAABF=S&DAE,

S^ABF~SmOF=S&DAE~S^AOF>

即SA.AOB=S/邊彩DEOF,故④正確；

綜上所述，正確的有①②④.

故選：D.

5.如圖，正方形438的邊長為10,AG=CH=8,BG=DH=6,連結(jié)G4,則線段G4的

D.10-5加

【分析】延長8G交C”于點E,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明可得

GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2.ZHEG=90°,由勾股定理可得G”的長.

【解答】解：如圖，延長BG交CH于點E,

"：AB=CD=\O,BG=DH=6,AG=CH=S,

：.AG2+BG2^AB2,

：./XABG和△OS是直角三角形，

在△4BG和△C￡>”中，

'AB=CD

<AG=CH-

BG=DH

.?.△ABG絲△CDHCSSS),

.*.ZI=Z5,Z2=Z6,NAG8=NC4D=90°,

.,.Zl+Z2=90°,N5+N6=90°,

；N2+/3=9O°,/4+N5=90°,

.??Z1=Z3=Z5,Z2=Z4=Z6,

在△ABG和△BCE中,

'/1=/3

<AB=BC，

Z2=Z4

:.AABG名ABCE(ASA),

：.BE^AG=i,CE=BG=6,NBEC=/4GB=90°,

:.GE=BE-BG=8-6=2,

同理可得HE=2,

在RtAG/ZE中，6"=五岳2+隨2={22+22=2&,

故選：B.

6.如圖，銳角△ABC中，ZBAC=45°,A。是BC邊上的高，BD=2,8=3,則AO=

【分析】作△ABC的外接圓，過圓心。作OELBC于點E,作OFJ_AC于點F,連接

04、08、0C.利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求

得OE=。凡在等腰RtZkBOE中，利用勾股定理得到0E=。尸，進而求解.

【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓，過圓心。作OEJ_BC于點E,作OFLAO于點

F,連接。4、OB、0C,

VZBAC=45°,

：.ZBOC=90°，

在RtZ\30C中，BD=2,CD=3,

，8C=2+3=5,

:.BO=CO=^J^-,

2

'JOELBC,。為圓心，

.?.BE=LC=9,

22

在RtZ\80E中，80=-§亞，BE=S,

22

：.0E=8E=5,

2

:NOED=NEDF=NOFD=90°,

四邊形?？?F是矩形，

：.DF=OE=^-,OF=DE=BE-BD=*-2=1,

222

在RtZ\4。尸中，40=殳巨，OF=X,

22

AF=22

-VAO-OF=-j"

：.AD=AF+DF=l-+^.=6.

22

故答案為：6.

7.如圖，以△ABC的兩邊AB,AC為邊向形外作正方形A8EF,ACGH,則稱這兩個正方

形為外展雙葉正方形.有以下5個結(jié)論：①AABC面積與△A"/面積相等.②過點A作

邊BC的垂線交FH于點D,則FD=HD.③0為邊BC的中點，0A延長線與HF交于

點P,則AP_LHF且HF=2A0.④連接FC、HB相交于點R,則FC=HB且FCA.HB.⑤

連結(jié)EG,S為EG的中點，則SB=SC且SB_LSC.其中正確的結(jié)論是①②③④⑤(填

序號).

【分析】①作CM_LA8,作HN1FA,證明△AMCgZVlNH(AAS),推出CM=HN,由

三角形面積公式即可判斷；

②作出圖2的輔助線，證明△AKB也△尸小CAAS),推出AK=FT,得到fT=”Q,再證

明△7TO/(AAS),即可判斷；

③作出圖3的輔助線，證明△80LgZ\C04(S4S),再證明△力比絲(&4S),即可

判斷；

④作出圖4的輔助線，證明△MC四△BA”(SAS),推出FC="B,ZAFC^ZABH,再

證明/8RW=90°,即可判斷;

⑤作出圖5的輔助線，證明絲AGSC(SAS)和△BE/絲△54C(SAS),推出//BC

=90°,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：①如圖1,過點C作C用，A8于點例，過點，作4N，項的延長線于點M

則NAMC=NN=90°,p

?.?四邊形ABEF和四邊形ACG”都是正方形，

.,.NB4F=NC4H=90°,AB=AF,AC^AH,f/

：.ZBAC+ZFAH=3600-ZBAF-ZCAH=360°-90°-90°=180°,/''

又ZHAN+Z陽//=180°,

:.NBAC=NHAN(同角的補角相等)，

在△AMC和△ANH中，

<ZAMC=ZN=90°

<ZBAC=ZHAN，

AC=AH

.?.△AMC絲△ANH(A4S),

，CM=HN,

又'&ABC十BCrs△虹H=1AFHN，且3",

.??△ABC面積與△入產(chǎn)，面積相等，故①正確；

②如圖2,過點A作BC的垂線交F”于點。，設垂足為K,過點”作"QLA。于點Q,

過點尸作尸TJ-4D的延長線于點T,則NAK8=N4KC=/HQD=/，24=/T=9(r,

；NBAF=90°,ZT=90°,

QQ

：.ZKAB+ZTAF^90,ZTFA+Z7AF=90,FJ)

.../KAB=/77%(同角的余角相等)，

在△AKB和中，\

'/AKB=/T=90。

<ZKAB=ZTFA，B圖f

AC=AH

.\/\AKB^/^FTA(AAS),

：.AK=FT,

同理可證HQ=AK,

：.FT=HQ,

在和△Q"力中，

'/T=NHQD=90°

<ZTDF=ZQDA，

FT=HQ

:.△TFD9XQHD(AAS),

：.FD=HD,故②正確；

③如圖3,延長A。至3使LO=AO,連接8L,則AL=2A。，

為邊3c的中點，

在△BOL和aCOA中，卜/

，OB=OC

-ZBOL=ZCOA>

LO=AO圖,

:.△BOU^XCOA(5AS),

：.ZL=ZCAO,BL=AC,

J.BL//AC,

：.ZABL+ZBAC=\SO°,

由②得/8AC+/項H=180°,

ZABL=ZFAH,

?.血=AC,AC^AH,

:,BL=AH,

在△A8L和△欣，中，

，AB=AF

-ZABL=ZFAH-

BL=AC

」.△ABL絲△砌〃(SAS),

：.AL=HF,ZBAL=ZAFH,

VZBAF=90°,

：.ZBAL+ZFAP=90a,

...NFB4=180°-(ZAFH+ZFAP)=180°-90°=90°,

J.APLHF,

\'AL=HF,AL=2AO,

：.HF=2AO,故③正確；

④如圖4,連接尸C、48相交于R,設FC交A8于點W,

"：ZBAF=ZCAH=90°,

ZBAF+ZBAC^ZCAH+ZBAC,即N或C=/R4H,

在△欣C和△BA”中，

，AB=AF

-ZFAC=ZBAH?

AC=AH

；./\FAC4/\BAH(SAS),

：.FC=HB,ZAFC=ZABH,

\'ZBAF=90Q,

：.ZAFC+ZAWF=90°,

：.ZABH+ZAWF=90°,

?.ZABH+ZAWR=90°,

.?.NB/?W=180°-(/A8H+/AWR)=180°-90°=90°,

：.FCA.HB,故④正確；

⑤如圖5,延長CS至/,使S/=SC,連接8/并延長交AF于J,

；四邊形ABEF和四邊形ACGH都是正方形，

：.BE//AF,AH//CG,BE=AB,AC=CG,/A8E=90°,

是EG的中點，

.,.SE=SG,

在和aGSC中，

'SE=SG

<ZESI=ZGSC)

SI=SC

：./\ESI^AGSC(SAS),

：.IE=CG,4IES=4CGS,

：.EJ//GB,

乂：AH〃CG,

：.EJ//AH,

：.ZEJA=ZFAH,

又；NR4C+/胡"=180°,

：.ZBAC+ZEJA=ISO°,

'CBE//AF,

：.ZBE1+ZBJA=\SO°,

:./BEI=NBAC,

'：AC=CG,IE=CG,

；./E=AC,

在和△BAC中，

BE=AB

<ZBEI=ZBAC-

IE=AC

:./XBEl學叢BAC(SAS),

：.BI=BC,NIBE=NCBA,

：.ZIBE+N/BA=NCBA+ZIBA,即/A8E=NIBC,

又；N48E=90°,

；.NIBC=90°,

又,：SI=SC,

???SB*I=S(?

,:BI=BC,且5/=5C,

：.SBA.CI,BPSBISC,故⑤正確；

綜上所述，正確的有①②③④⑤，

故答案為：①②③④⑤.

考向四：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的轉(zhuǎn)化關(guān)系

?三個京知?布

?四條邊靠相等

典例引裾

1.下列說法正確的是（）

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是正方形

C.四邊都相等的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的四邊形是矩形

【分析】分別根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各選項進而得出答案.

【解答】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意；

8、對角線相等的菱形是正方形，此選項錯誤，不符合題意；

C、四邊都相等的四邊形是菱形，此選項正確，符合題意；

。、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，此選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

2.如圖，菱形ABC。的對角線AC、BO相交于點O,BE//AC,AE//BD,0E與AB交于

點F.若0E=5,AC=8,則菱形A8CQ的高為_2芻_.

【分析】證四邊形AEBO為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得/A0B=9(T,則四邊形4EBO

是矩形，然后由勾股定理得。8=3,則20=6,然后由菱形的面積公式解答即可.

【解答】解：〃/IC,AE//BD,

，四邊形AEBO是平行四邊形，

又?.?菱形48co對角線交于點0,

：.OA=^AC=4,OB=OD,ACrBD,

2

：.ZAOB=90°.

平行四邊形AOBE是矩形，

：.AB=0E=5,

OB=VAB2-0A2=V52-42=3,

；.BD=2OB=6,

設菱形ABC。的高為人,

：.S^ABCD=lAC-BD=AB'h,

2

55

即菱形ABC。的高為絲，

5

故答案為：24.

5

3.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC,交于點。，DE//AC,CE//BD,連接0E,交

CD于點F.

(1)求證：四邊形力OCE是矩形；

(2)若EF=2,ZABC=120°,直接寫出菱形ABC。的面積.

【分析】(1)先判斷出四邊形OOCE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得

ACLBD,然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；

(2)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出N8AD=60°,判斷出△A8O是等邊三角形，

然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OA,OB,再根據(jù)菱形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】(1)證明：CE//BD,

四邊形DOCE是平行四邊形，

?.,在菱形A8C力中，AC1BD,

：.ZDOC=W°,

二四邊形OOCE是矩形；

(2)解：；EF=2,四邊形。OCE是矩形，

/.OE=CD=2EF=4,

?.Y8C。是菱形，

：.AB^CD=4,

'：ZA?C=120°,AB//CD,

：.ZBAD=\S0°-120°=60°,

'：AB=AD,

.?.△ABO是等邊三角形，

Ofi=Ax4=2,OA=2X亞=?,

22

：.AC=2>/3,80=4,

二四邊形ABCD的面積=LU8E)=工X2禽X4=4愿.

22

心跟蹤訓練

1.(2022?日照)如圖，矩形48C。為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與C。的交

點為E,當水杯底面2C與水平面的夾角為27°時，/AED的大小為()

D

V

B

A.27°B.53°C.57°D.63°

【分析】根據(jù)題意可知AE//BF,NEAB=NABF,NABF+27。=90°.等量代換求出

AEAB,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/AED.

【解答】解：如圖，~弋

,：AE//BF,

；.NEAB=NABF,FB

?.?四邊形A8C。是矩形，

J.AB//CD,NABC=90°,

；.NA8F+27°=90°,

；.乙48/=63°,

/.ZEAB=63°,

,JAB//CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

故選：D.

2.（2022?黔東南州）如圖，矩形ABC。的對角線AC,相交于點O,DE//AC,CE//BD.若

AC=10,則四邊形OC￡Q的周長是20.

【分析】先證四邊形OCEO是平行四邊形，得OC=OE,OD=CE,再由矩形的性質(zhì)得

OC=OD=5,則。C=OQ=CE=OE,得平行四邊形OCEO是菱形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：,：DE//AC,CE//BD,

四邊形OCED是平行四邊形，

AOC=DE,OD=CE,

?.?矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，

.?.OC=AAC=5,OD=LBD,BD=AC,

22

0c=0。=5,

：.OC=OD=CE=DE,

...平行四邊形OCED是菱形,

，菱形OCED的周長=4OC=4X5=20,

故答案為：20.

3.（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定。ABC。為矩形的是（

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=B￡>

【分析】由矩形的判定利菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A.：口48。。中，AB=AD,

：.°ABCD是菱形，故選項A不符合題意；

B."ABC。中，ACVBD,

...□A8C。是菱形，故選項8不符合題意；

C.口A8C。中，AB=AC,不能判定nABCQ是矩形，故選項C不符合題意；

D.AC^BD,

：.^ABCD是矩形，故選項D符合題意；

故選：D.

4.（2022?包頭）如圖，在矩形ABC。中，AD>AB,點E,尸分別在A。，8c邊上，EF//

AB,AE=AB,AF與5E相交于點。，連接0C.若BF=2CF,則0C與之間的數(shù)量

關(guān)系正確的是（）

A_______E___D

A.2OC=\[SEFB.娓0C=2EFC.20C=MEFD.0C=EF

【分析】過點。作于點從得出四邊形A8FE是正方形，再根據(jù)線段等量關(guān)系

得出CFuEFuZO”,根據(jù)勾股定理得出0。=遍0〃，即可得出結(jié)論.

【解答】解：過點。作8c于點”，

22BHFC

'：BF^2CF,

：.CH=EF^2OH,

???°C=MOH2MH2r0H2+（20H）2=?°H，

即2OC=y[^EF,

故選：A.

5.（2022?青海）如圖，矩形ABC。的對角線相交于點O,過點。的直線交4。，8C于點E,

F,若45=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為6.

ED

RFC

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△AOE^^COF,得△AOE、△COF的面積相等，從

而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為48力C的面積.

【解答】解：???四邊形ABCO是矩形，AB=3,

，OA=OC,A8=CO=3,AD//BC,

：.NAEO=NCFO；

XVZAOE=ZCOF,

在aAOE和△CO尸中，

rZAE0=ZCF0

?OA=OC，

ZAOE=ZCOF

，AAOE^ACOF,

:，S&AOE=S&COF,

S用彩=SMOE+S/.BOF+SACOD=SACOF+S,\BOF+S,\COD=S^BCD,

VS^BCD—^BC*CD—^-X4X3=6，

?,?5陰影=6.

故答案為6.

6.（2022?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法-一判斷即可.

【解答】解：A、對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項不符合題意；

8、有一個角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項不符合題意；

C、對角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項不符合題意；

。、對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項符合題意.

故選：D.

7.（2022?黃石）如圖，正方形0ABe的邊長為將正方形0ABe繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)

45°,則點B的對應點Bi的坐標為（)

y八

A.(-&,0)B.(&,0)C.(0,近)D.(0,2)

【分析】連接。8,由正方形的性質(zhì)和勾股定理得08=2,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得81在y軸

正半軸上，且0劭=。8=2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接。5,

?.,正方形OABC的邊長為五,

：.OC=BC=&,N8CO=90。，NBOC=45。，

?*-OB=VOC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2,

；將正方形OABC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)45°后點B旋轉(zhuǎn)到Bi的位置,

8在)，軸正半軸上，且0以=。8=2,

.?.點七的坐標為(0,2),

故選：D.

8.(2022?重慶)如圖，在正方形ABC。中，AE平分NBAC交3c于點E,點尸是邊AB上

一點，連接。凡若BE=AF,則/CDF的度數(shù)為()

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到NA。下的度數(shù)，從而

可以求得/C￡?F的度數(shù).

【解答】解：???四邊形A8CO是正方形,

：.AD=BA,/D4F=NABE=90°,

在△DA尸和△ABE中，

'AD=BA

<ZDAF=ZABE?

AF=BE

△DAFQXABE(SAS),

ZADF=NBAE,

：AE平分N8AC,四邊形ABC。是正方形,

AZBAE=AzBAC=22.5°,ZADC=90°,

2

ZADF=22.5°,

：.ZCDF^ZADC-ZADF^9QQ-22.5°=67.5°,

故選：C.

9.（2022?廣州）如圖，正方形ABC￡＞的面積為3,點E在邊CD上，且CE=1,NA8E的

平分線交AO于點凡點M,N分別是BE,BF的中點，則MN的長為（）

0

A.迎B.近C.2-V3D.娓%

222

【分析】連接E兄由正方形ABC。的面積為3,CE=],,可得DE=&-1,tan/EBC

CE=1=V3,；即得NEBC=30°，又4尸平分/ABE,可得/ABF="l/A8E=30°,

BCV332

故A尸=-^-=1,DF=AD-AF=43-1,可知EF=&DE=&X（5/3-1）=76-

V3

&,而M,N分別是BE,8尸的中點，即得MN=1FF=V6-V2

2'2

【解答】解：連接EE如圖：

A0

,/正方形ABCD的面積為3,

：.AB=BC=CD=AD=43'

'：CE=1,

-1,tanNE8C=絲=」=返，B

BCV33

AZEBC=30°,

NABE=ZABC-NEBC=60",

?.,AF平分NABE,

AZABF=^ZABE=30°,

2

在RtZ\A8F中，4/=膽=1,

近

：.DF=AD-AF^y/3-1,

：.DE=DF,是等腰直角三角形，

.,衣=&OE=6X（V3-1）=娓-M，

'：M,N分別是BE,8F的中點,

是△BEF的中位線，

MN=AfF=返''五一.

22

故選：D.

10.(2022?恩施州)如圖，在四邊形48CC中，乙4=/8=90°,AD^lOcm,BC=Scm,

點P從點。出發(fā)，以la〃/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向

點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動.設點P的運動時間為

A.當f=4s時，四邊形ABMP為矩形

B.當f=5s時，四邊形CDP