高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 12.3 格林公式及其應(yīng)用

設(shè)D為連通的平面區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域否則,稱為復(fù)連通區(qū)域.則稱D為平面單連通區(qū)域,所圍成的部分都屬于D,如果D內(nèi)任一閉曲線12.3格林公式及其應(yīng)用12.3.1格林(Green)公式例如,是單連通區(qū)域，當(dāng)觀察者沿邊界前進(jìn)時(shí),規(guī)定:邊界曲線L的正向區(qū)域D總在他的左邊.是復(fù)連通區(qū)域.L+l稱為復(fù)合閉曲線設(shè)平面閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中L是

D的取正向的邊界曲線.格林公式格林公式的實(shí)質(zhì):

溝通了沿閉曲線的積分與二重定理1格林(Green)公式函數(shù)積分之間的聯(lián)系.為便于記憶,格林公式可記做對(duì)復(fù)連通區(qū)域D,D的全部邊界的曲線積分,D來(lái)說(shuō)都是正向.格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域且邊界的方向?qū)^(qū)域由格林公式,得設(shè)閉區(qū)域D的面積為S,L是

D的正向邊界曲線.解由格林公式其中L為圓周方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.例1

計(jì)算其中解L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.例2

計(jì)算其中不能直接用格林公式.因被積函數(shù)中的點(diǎn)(x,y)在曲線上,再用格林公式.可先用曲線方程將被積函數(shù)化簡(jiǎn),則解令由格林公式例3

計(jì)算其中D是由直線

分析:但由可知非常簡(jiǎn)單.其中AO是從點(diǎn)⌒的上半圓周到點(diǎn)此積分路徑⌒不是閉曲線!例4

計(jì)算為應(yīng)用格林公式需補(bǔ)上一段曲線,補(bǔ)充的曲線要簡(jiǎn)單,使之構(gòu)成閉曲線.因而這里補(bǔ)直線段的直線段.通常補(bǔ)與坐標(biāo)軸平行解由格林公式的方程為故所以,

解的正向邊界.令有例5

計(jì)算其中L為橢圓形區(qū)域

不能直接用格林公式!作輔助圓取順時(shí)針方向,由L和l所圍成的復(fù)連通區(qū)域不包含原點(diǎn).

在上應(yīng)用格林公式,得其中l(wèi)

的方向取順時(shí)針方向BAL1L2定義1否則,稱曲線積分與路徑有關(guān).恒成立，則稱曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),12.3.2平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).設(shè)G一個(gè)開區(qū)域,P(x,y)和

Q(x,y)在區(qū)域給定兩個(gè)點(diǎn)

A、B,如果對(duì)于G內(nèi)任意以及從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任何兩條曲線L1，L2,

等式定理2設(shè)G是平面上的單連通區(qū)域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2)對(duì)G內(nèi)任一閉曲線C,則下列四個(gè)命題等價(jià):(3)在G內(nèi),曲線積分

與路徑無(wú)關(guān);在G內(nèi)恒成立;解原式=所以,曲線積分與路徑無(wú)關(guān).例6

計(jì)算其中L為令由點(diǎn)解令有例7

計(jì)算其中L為

故該曲線積分在任意不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域的一段弧.

中與路徑無(wú)關(guān).

其參數(shù)方程為A點(diǎn)對(duì)應(yīng)

B點(diǎn)對(duì)應(yīng)于是

選擇新的路徑其中C為任意常數(shù).12.3.3全微分方程

則稱微分方程設(shè)P(x,y)和Q(x,y)一階偏導(dǎo)數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)連續(xù),且存在某個(gè)二元函數(shù)

使為全微分方程,或恰當(dāng)方程.方程的通解為此時(shí),曲線積分

與路徑無(wú)關(guān),或的求法:則取解1所以,是全微分方程.原方程的通解為例8求方程的通解.(x,y)解2因所以,是全微分方程.通解為例8求方程的通解.解設(shè)積分與路徑無(wú)關(guān)其中