高等數(shù)學(xué)教程 下冊 第4版 習(xí)題詳解 習(xí)題12.3_第1頁
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文檔簡介

習(xí)題12.3(A)組利用Green公式計算下列曲線積分(1),其中為圓周逆時針方向.解:其中。(2),其中是由與所圍成區(qū)域的正向邊界曲線.解:(3),其中是由點沿拋物線到點的一段弧.解:將此段弧補(bǔ)上直線BA后,用格林公式有。(4),是在圓周上由點到的一段.解:將此段弧不上直線段到及到后,利用格林公式有原式。利用曲線積分計算由下列曲線所圍成的平面圖形的面積.橢圓解:設(shè)區(qū)域D為橢圓內(nèi)部,S為其面積,L為D的正向邊界,則由格林公式得設(shè)參數(shù)方程為則星形線.解:同上,由格林公式得。3.計算,而為(1)的正向邊界.解:由格林公式得原式(2)的正向邊界.解:令,,當(dāng)時而內(nèi)在處不連續(xù),故不能直接利用格林公式,作輔助線為以為圓心,為半徑的圓周,方向為順時針方向,于是與圍城的復(fù)聯(lián)通區(qū)域不包含圓點,的邊界是有向閉曲線,顯然在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),因此利用格林公式得則的參數(shù)方程為則原式。4.驗證下列在整個平面內(nèi)是某一個函數(shù)的全微分,并求一個這樣的函數(shù)。(1)驗證:,則是某個函數(shù)的全微分由得先關(guān)于作不定積分待定。此式兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)得解得,則。(2)驗證:,則是某個函數(shù)的全微分由得先關(guān)于作不定積分由得,解得,取,則。5.求下列微分方程的通解:(1)解:令則因此原方程是全微分方程,選取則原方程的通解為(為任意常數(shù))。(2)解:因此原方程為全微分方程。則原方程通解為(為任意常數(shù))6.計算,其中為正常數(shù),是在圓周上由點到點的一段弧.解:設(shè)其中積分與路徑無關(guān),可選擇到的直線段代替弧設(shè)的參數(shù)方程為則。7.確定常數(shù),使在右半平面上為某個二元函數(shù)的全微分,并求出一個.解:由題意得,即上式在右半平面上恒成立,則有成立,即則對積分后有求導(dǎo),則取即可,得。(B)組1.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個力場,試證明質(zhì)點在該場內(nèi)移動時,場力所作的功與路徑無關(guān)。證明:做功則因此場力做功與路徑無關(guān)。設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),證明當(dāng)時,曲線積分與路徑無關(guān),并計算.證明:設(shè).當(dāng)時則曲線積分與路徑無關(guān)。3.設(shè)L是不經(jīng)過點(2,0),(-2,0)的分段光滑的簡單閉曲線,L取正向,試就L的不同情形計算曲線積分解:設(shè),.若所圍區(qū)域不含和點時,由格林公式得若所圍區(qū)域只含其中一點時,(不妨設(shè)含點).則在內(nèi)作以為圓心,為半徑的圓,取順時針方向的圓,利用格林公式有則則,其中設(shè)的參數(shù)方程為

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