初一奧數(shù)題(附答案)

初一奧數(shù)題(附答案)

2.設(shè)a,b,c為實數(shù)，且IaI+a=0,IabI=ab,IcI-c=0,求代數(shù)式IbI-Ia+bI-Ic-bI

+Ia-cI的值.

3.若m<0,n>0,ImI<InI,且Ix+mI+Ix-nI=m+n,求x的取值范圍.

4.設(shè)(3x-l)7=a7x7+a6x6+...+alx+a0,試求a0+a2+a4+a6的值.

6.解方程2Ix+1I+Ix-3I=6.

8.解不等式IIx+3I-Ix-lII>2.

10.x,y,z均是非負(fù)實數(shù)，且滿足：x+3y+2z=3,3x+3y+z=4,求u=3x-2y+4z的最大值

與最小值.

11.求x4-2x3+x2+2x-l除以x2+x+l的商式和余式.

12.如圖1-88所示.小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一

捆草，又在南山坡砍一捆柴給奶奶送去.請問：小柱應(yīng)該選擇怎樣的路線才能使路程最短？

13.如圖1—89所示.AOB是一條直線,OC,OE分別是/AOD和/DOB的平分線，/COD=55。.求

ZDOE的補角.

14.如圖1一90所示.BE平分NABC,ZCBF=ZCFB=55°,ZEDF=70°.求證：BCIIAE.

15.如圖1—91所示.在AABC中，EF±AB,CD±AB,ZCDG=ZBEF.求證：ZAGD=Z

ACB.

16.如圖1一92所示.在AABC中，/B=/C,BD_LAC于D.求

17.如圖1-93所示.在AABC中，E為AC的中點，D在BC上，且BD：DC=1：2,AD與

BE交于F.求4BDF與四邊形FDCE的面積之比.

18.如圖1—94所示.四邊形ABCD兩組對邊延長相交于K及L,對角線ACUKL,BD延長線

交KL于F.求證：KF=FL.

19.任意改變某三位數(shù)數(shù)碼順序所得之?dāng)?shù)與原數(shù)之和能否為999?說明理由.

20.設(shè)有一張8行、8列的方格紙，隨便把其中32個方格涂上黑色,剩下的32個方格涂上白色.下

面對涂了色的方格紙施行“操作”，每次操作是把任意橫行或者豎列上的各個方格同時改變顏

色.問能否最終得到恰有一個黑色方格的方格紙？

21.如果正整數(shù)p和p+2都是大于3的素數(shù)，求證：6I(p+1).

22.設(shè)n是滿足下列條件的最小正整數(shù)，它們是75的倍數(shù)，且恰有

23.房間里凳子和椅子若干個，每個凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當(dāng)它們?nèi)蝗俗虾螅?/p>

共有43條腿(包括每個人的兩條腿)，問房間里有幾個人？

24.求不定方程49x-56y+14z=35的整數(shù)解.

25.男、女各8人跳集體舞.

(1)如果男女分站兩列；

(2)如果男女分站兩列，不考慮先后次序，只考慮男女如何結(jié)成舞伴.問各有多少種不同情況？

26.由1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，有多少個大于34152?

27.甲火車長92米，乙火車長84米，若相向而行，相遇后經(jīng)過1.5秒(s)兩車錯過，若同向而行

相遇后經(jīng)6秒兩車錯過，求甲乙兩火車的速度.

28.甲乙兩生產(chǎn)小隊共同種菜，種了4天后，由甲隊單獨完成剩下的，又用2天完成.若甲單獨

完成比乙單獨完成全部任務(wù)快3天.求甲乙單獨完成各用多少天？

29.一船向相距240海里的某港出發(fā)，到達目的地前48海里處，速度每小時減少10海里，到達

后所用的全部時間與原速度每小時減少4海里航行全程所用的時間相等，求原來的速度.

30.某工廠甲乙兩個車間，去年計劃完成稅利750萬元，結(jié)果甲車間超額15%完成計劃，乙車

間超額10%完成計劃，兩車間共同完成稅利845萬元，求去年這兩個車間分別完成稅利多少萬

元？

31.已知甲乙兩種商品的原價之和為150元.因市場變化，甲商品降價10%,乙商品提價20%,

調(diào)價后甲乙兩種商品的單價之和比原單價之和降低了1%,求甲乙兩種商品原單價各是多少？

32.小紅去年暑假在商店買了2把兒童牙刷和3支牙膏，正好把帶去的錢用完.已知每支牙膏比

每把牙刷多1元，今年暑假她又帶同樣的錢去該商店買同樣的牙刷和牙膏，因為今年的牙刷每把

漲到1.68元，牙膏每支漲價30%,小紅只好買2把牙刷和2支牙膏，結(jié)果找回4角錢.試問去

年暑假每把牙刷多少錢？每支牙膏多少錢？

33.某商場如果將進貨單價為8元的商品，按每件12元賣出，每天可售出400件，據(jù)經(jīng)驗，若

每件少賣1元，則每天可多賣出200件，問每件應(yīng)減價多少元才可獲得最好的效益？

34.從A鎮(zhèn)到B鎮(zhèn)的距離是28千米，今有甲騎自行車用0.4千米/分鐘的速度，從A鎮(zhèn)出發(fā)駛

向B鎮(zhèn)，25分鐘以后，乙騎自行車，用0.6千米/分鐘的速度追甲，試問多少分鐘后追上甲？

35.現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60%,含鎰40%；第二種含鎰10%,含銀90%；第三種含銅

20%,含鋅50%,含銀30%.現(xiàn)各取適當(dāng)重量的這三種合金，組成一塊含銀45%的新合金，重

量為1千克.

(1)試用新合金中第一種合金的重量表示第二種合金的重量；

(2)求新合金中含第二種合金的重量范圍；

(3)求新合金中含鎬的重量范圍.

參考答案

2.因為IaI=-a,所以a<0,又因為IabI=ab,所以b<0,因為IcI=c,所以c>0.所以a+b<0,

c-b>0,a-c<0.所以

原式=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b.

3.因為m<0,n>0,所以ImI=-m,InI=n.所以ImI<InI可變?yōu)閙+n>0.當(dāng)x+m>0

時，Ix+mI=x+m；當(dāng)x-n<0時，Ix-nI=n-x.故當(dāng)-mgxWn時，

Ix+mI+Ix-nI=x+m-x+n=m+n.

4.分別令x=l,x=-l,代入已知等式中，得

a0+a2+a4+a6=-8128.

10.由已知可解出y和z

因為y,z為非負(fù)實數(shù)，所以有

u=3x-2y+4z

11.所以商式為x2-3x+3,余式為2x-4

12.小柱的路線是由三條線段組成的折線（如圖1—97所示）.

我們用“對稱”的辦法將小柱的這條折線的路線轉(zhuǎn)化成兩點之間的一段“連線”（它是線段）.設(shè)甲村

關(guān)于北山坡（將山坡看成一條直線）的對稱點是甲，；乙村關(guān)于南山坡的對稱點是乙，，連接甲，乙，，

設(shè)甲所連得的線段分別與北山坡和南山坡的交點是A,B,則從甲一A-B一乙的路線的選擇

是最好的選擇（即路線最短）

顯然，路線甲-A-B一乙的長度恰好等于線段甲的長度.而從甲村到乙村的其他任何路線，

利用上面的對稱方法，都可以化成一條連接甲與乙，之間的折線.它們的長度都大于線段甲ZL所

以，從甲-A-B一乙的路程最短.

13.如圖1—98所示.因為OC,OE分另!J是/AOD,/DOB的角平分線，又ZAOD+ZDOB=

ZAOB=180°,所以ZCOE=90°.

因為NCOD=55。，所以/DOE=9（T-55o=35。.

因此,NDOE的補角為180°-35°=145°.

14.如圖1—99所示.因為BE平分/ABC,所以

ZCBF=ZABF,

又因為ZCBF=ZCFB,所以/ABF=/CFB.

從而ABIICD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

由/CBF=55。及BE平分/ABC,所以ZABC=2x55°=l10°.①

由上證知ABIICD,所以ZEDF=ZA=70°,②

由①，②知BCUAE（同側(cè)內(nèi)角互補，兩直線平行）.

15.如圖1-100所示.EF±AB,CDXAB,所以NEFB=NCDB=90。，

所以EFIICD（同位角相等，兩直線平行）.所以NBEF=/BCD（兩直線平行，同位角相等）.

①又由已知NCDG=/BEF.②由①，②NBCD=NCDG.

所以BCIIDG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以NAGD=/ACB（兩直線平行，同位角相等）.

16.在ABCD中，

/DBC+/C=90。(因為/BDC=90。)，①又在AABC中，/B=/C,所以

ZA+ZB+ZC=ZA+2ZC=180°,

所以由①，②

17.如圖1—101,設(shè)DC的中點為G,連接GE.在AADC中，G,E分別是CD,CA的中點.所

以，GEIIAD,即在4BEG中，DFUGE.從而F是BE中點.連結(jié)FG.所以

又SAEFD=SABFG-SEFDG=4SABFD-SEFDG,

所以SAEFGD=3SABFD.

設(shè)SZ\BFD=x,則SEFDG=3x.又在ABCE中，G是BC邊上的三等分點，所以SACEG=SA

BCEE,

從而所以SEFDC=3x+2x=5x,

所以SABFD：SEFDC=1：5.

18.如圖1-102所示.

由已知ACHKL,所以SZ\ACK=SZ\ACL,所以

即KF=FL.+bl=9,a+al=9,于是a+b+c+al+bl+cl=9+9+9,即2(a十b+c)=27,矛盾！

20.答案是否定的.設(shè)橫行或豎列上包含k個黑色方格及8-k個白色方格，其中g(shù)kW8.當(dāng)改變

方格的顏色時，得到8-k個黑色方格及k個白色方格.因此，操作一次后，黑色方格的數(shù)目“增

加了"(8-k)-k=8-2k個，即增加了一個偶數(shù).于是無論如何操作，方格紙上黑色方格數(shù)目的奇偶性

不變.所以，從原有的32個黑色方格(偶數(shù)個)，經(jīng)過操作，最后總是偶數(shù)個黑色方格，不會得

到恰有一個黑色方格的方格紙.

21.大于3的質(zhì)數(shù)p只能具有6k+l,6k+5的形式.若p=6k+l(k"),則p+2=3(2k+l)不是質(zhì)

數(shù)，所以，p=6k+5(k>0).于是，p+l=6k+6,所以，6I(p+1).

22.由題設(shè)條件知n=75k=3x52xk.欲使n盡可能地小，可設(shè)n=2a3p5y(p>l,y>2),且有(a+l)(p+l)(y

+1)=75.

于是a+1,p+1,丫+1都是奇數(shù)，a,0,丫均為偶數(shù).故取尸2.這時(a+l)(p+l)=25.

所以故(a,0)=(0,24),或(a,0)=(4,4),SPn=20?324?52

23.設(shè)凳子有x只，椅子有y只，由題意得3x+4y+2(x+y)=43,

即5x+6y=43.

所以x=5,y=3是唯一的非負(fù)整數(shù)解.從而房間里有8個人.

24.原方程可化為

7x-8y+2z=5.

令7x-8y=t,t+2z=5.易見x=7t,y=6t是7x-8y=t的一組整數(shù)解.所以它的全部整數(shù)解是

而t=l,z=2是t+2z=5的一組整數(shù)解.它的全部整數(shù)解是

把t的表達式代到x,y的表達式中，得到原方程的全部整數(shù)解是

25.(1)第一個位置有8種選擇方法，第二個位置只有7種選擇方法，…，由乘法原理，男、女

各有8x7x6x5x4x3x2x1=40320

種不同排列.又兩列間有一相對位置關(guān)系，所以共有2x403202種不同情況.

⑵逐個考慮結(jié)對問題.

與男甲結(jié)對有8種可能情況，與男乙結(jié)對有7種不同情況，…，且兩列可對換，所以共有

2x8x7x6x5x4x3x2x1=80640種不同情況.

26.萬位是5的有4x3x2xl=24（個）.

萬位是4的有4x3x2xl=24（個）.

萬位是3,千位只能是5或4,千位是5的有3x2xl=6個，千位是4的有如下4個：

34215,34251,34512,34521.

所以，總共有24+24+6+4=58

個數(shù)大于34152.

27.兩車錯過所走過的距離為兩車長之總和，即92+84=176（米）.

設(shè)甲火車速度為x米/秒，乙火車速度為y米/秒.兩車相向而行時的速度為x+y；兩車同向而行

時的速度為x-y,依題意有

解之得

解之得x=9（天）,x+3=12（天）.

解之得x=16（海里/小時）.

經(jīng)檢驗，x=16海里/小時為所求之原速.

30.設(shè)甲乙兩車間去年計劃完成稅利分別為x萬元和y萬元.依題意得

解之得

故甲車間超額完成稅利

乙車間超額完成稅利

所以甲共完成稅利400+60=460（萬元），乙共完成稅利350+35=385（萬元）.

31.設(shè)甲乙兩種商品的原單價分別為x元和y元，依題意可得

由②有

0.9x+L2y=148.5,③

由①得x=150-y,代入③有

0.9（150-y）+1.2y=148.5,

解之得y=45（元），因而，x=105（元）.

32.設(shè)去年每把牙刷x元，依題意得

2x1.68+2（x+1）（1+30%）=[2x+3（x+1）]-0.4,

即2xl.68+2xl.3+2xl.3x=5x+2.6,

即2.4x=2xl.68,

所以x=1.4（元）.

若y為去年每支牙膏價格，則y=1.4+1=24（元）.

33.原來可獲利潤4x400=1600元.設(shè)每件減價x元，則每件仍可獲利（4-x）元，其中0<x<4.由

于減價